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福建省2013届高考数学一轮总复习 第1讲 集合的概念及运算课件 文 新课标


了解集合、空集与全集的含义,理解集合
之间的包含与相等,交集、并集和补集的含义, 会求两个集合的交集、并集与补集,能运用韦 恩图和集合语言解决有关问题.

1. 集 合 的 有 关 概 念  

?1 ? 一 般 的 , 某 些 指 定 的 对 象 集 中 在 一 起 就 构 成 了
一个集合,集合中的每个对象叫这个集合的元素.

?2?元 素 与 集 合 的 关 系 有 两 种 : ①
② ________ .

________ ,

?3?集 合 中 元 素 的 性 质 : ③ ?4?集 合 的 表 示 法 : ④

____________________ .

________________________ . _______

?5?集 合 的 分 类 . 按 元 素 个 数 可 分 为 : ⑤
_____________________________ .

?6?两 个 集 合 A与 B之 间 的 关 系 :

?7 ?常 用 数 集 的 记 法 :

2.集 合 的 运 算 及 运 算 性 质

【要点指南】 ① 属 于 “? ”; ② 不 属 于 “? ”; ③确定性、互异性、无序性; ④列举法、描述法、韦恩图法; ⑤空集、有限集、无限集; ⑥ 2 ; ⑦ 2 - 1 ; ⑧ 且 ; ⑨ { x | x ? A 且 x ? B };
n n

⑩或;

{ x | x ? A 或 x ? B };

{ x | x ? U 且 x ? A}

1.(2012· 福州一中模拟)i 为虚数单位, 若集合 S={-1,0,1}, 则( ) A.i∈S C.i3∈S B.i2?S D.i4∈S

【解析】由 i2=-1∈S,i4=1∈S,故选 D.

2.(2011· 广东卷)已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y 为实数,且 x+y=1},则 A∩B 的元素个数为( A.4 C.2 ) B.3 D.1

【解析】由题意知,A、B 都为点集,A∩B 即为直线与 圆的交点所组成的集合.
?x2+y2=1 ?x=0 ?x=1 方法 1:由? ?? 或? , ?x+y=1 ?y=1 ?y=0

故 A∩B={(0,1),(1,0)},故选 C. 方法 2: 由几何法易知直线 x+y=1 与圆 x2+y2=1 相交, 且有两个交点,故选 C.

3.(2011· 浙江卷)若 P={x|x<1},Q={x|x>1},则( A.P?Q C.?RP?Q B.Q?P D.Q??RP

)

【解析】由题意?RP={x|x≥1},故 Q??RP,故选 D.

4.(2011· 格致中学模拟)设集合 P={3,log2a},Q={a, b},若 P∩Q={0},则 P∪Q=( A.{3,0} C.{3,0,2} ) B.{3,0,1} D.{3,0,1,2}

【解析】由题意,0∈P?log2a=0?a=1; 又 0∈Q?b=0, 即 P={3,0},Q={0,1},故 P∪Q={3,0,1}.

5.已知 M={x|x≤1},N={x|x>p},要使 M∩N≠?,则 p 应满足的条件是( A.p>1 C.p<1 ) B.p≥1 D.p≤1

【解析】在数轴上表示出 M={x|x≤1},N={x|x>p}, 可得 p<1.



集合的基本关系及应用

【例 1】(1)已知集合 P={x|x2≤1},M={0},则集合 P、M 的关系为__________. (2)若集合 A={x|x2+2x-8<0},B={x|5-m<x<2m-1}. (ⅰ)若 A∩B=A,求实数 m 的取值范围; (ⅱ)若 U=R,A∩(?UB)=A.求实数 m 的取值范围.

【解析】(1)易知 P={x|-1≤x≤1},M={0},0∈P, 所以 M?P(或 M?P). (2)易知 A={x|-4<x<2}. (ⅰ)若 A∩B=A,则 A?B;
?5-m≤-4 由数轴可得? ,解之得 m≥9. ?2m-1≥2

(ⅱ)由 A∩(?UB)=A,得 A??UB,所以 A∩B=?,
?2m-1≤-4 由 数 轴 得 , 5 - m≥2m - 1 或 ? ?5-m<2m-1 ?5-m≥2 ? ,解之得 m≤3. ?5-m<2m-1



【点评】(1)判断两集合的关系常有两种方法:①化简集合, 从表达式中寻找集合间的关系;②用列举法表示集合,从 元素中寻找集合关系; (2)已知集合关系求参数时,关键是将两集合间的关系 转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,常用 韦恩图、数轴直观分析; (3)“A?B”中包含“A=B”,注意所列不等式可取 “=”,“A?B”中不包含“A=B”,但不等式也可能取 “=”,应检验,固根而不失根.

素材1

(1)下面四个命题中,正确的有 ③④ ①{0}=?; ②0∈?; ③??{?}; ④?∈{?}.

.

(2)若 A={(x,y)||x+2|+ y+1=0},B={-2,-1},则 必有( ) B.A?B D.A∩B=?

A.B?A C.A=B

【解析】(1){0}表示含有一个元素 0 的集合,{0}≠?;0 与?是元素与集合的关系, 0??; {?}表示含有一个元素?的集合, 故正确的命题有③④. (2)因为 A={(-2,-1)},表示点集,B={-2,-1}, 为数集,两个集合不可能有公共部分,故选 D.



集合的运算
【例 2】 (1)(2011· 湖北卷)已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8},

A={1,3,5,7},B={2,4,5},则?U(A∪B)=( A.{6,8} B.{5,7} C.{4,6,7} D.{1,3,5,6,8}

)

(2)已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a +1)x+(a2-5)=0},若 A∪B=A,求实数 a 的取值范 围.

【 解 析 】 (1) 由 题 意 A ∪ B = {1,2,3,4,5,7} , 又 U = {1,2,3,4,5,6,7,8}. 所以?U(A∪B)={6,8},故选 A. (2)由 A∪B=A,则 B?A, 对于集合 B,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3). ①当 Δ<0,即 a<-3 时,B=?满足条件; ②当 Δ=0,即 a=-3 时,B={2}满足条件;

③当 Δ>0,即 a>-3 时,B=A={1,2}才能满足条件,
? 5 ?1+2=-2?a+1? ?a=- 2 则由根与系数的关系得? ,即? 2 ?1×2=a -5 ?a2=7 ?



矛盾; 综上,a 的取值范围是 a≤-3.

【点评】(1)进行集合的运算常用 Venn 图和数轴;一般地, 集合元素离散时用 Venn 图表示,集合元素连续时用数轴表示, 注意区间端点值的取舍; (2)有关 A∩B=?,A∪B=?,A∪B=A,B?A 等集合问题 时,往往容易忽略空集; (3)常用结论:A∩B=A?A?B;A∪B=A?B?A,?UA∩?
UB=?U(A∪B),?UA∪?UB=?U(A∩B).

素材2

某实验班有 21 个学生参加数学竞赛,17 个学生参加物理 竞赛,10 个学生参加化学竞赛,他们之间既参加数学竞赛又参 加物理竞赛的有 12 人,既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有 6 人,既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有 5 人,三科都参加的 有 2 人.现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观,问需要预 订多少张火车票?

【解析】该班学生参加竞赛如图所示,集合 A、B、C、D、 E、F、G 中的任何两个无公共元素,其中 G 表示三科都参加 的学生集合,card(G)=2.

因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有 12 人, 所以 card(D)=12-2=10.

同理,得 card(E)=6-2=4, card(F)=5-2=3. 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为 21、17、10. 所以 card(A)=21-2-10-4=5, card(B)=17-2-10-3=2, card(C)=10-3-2-4=1. 故需预定火车票的张数为 5+2+1+10+4+3+2=27.



集合的创新与应用

【例 3】对于集合 A、B,我们将{(a,b)|a∈A,b∈B} 记作 A×B.例如: A={1,2}, B={3,4}, A×B={(1,3), 则 (1,4), (2,3),(2,4)}. (1)已知 A×B={(1,2),(2,2)},则集合 A=__________, B=__________; (2)若 A 有 3 个元素,B 有 4 个元素,则 A×B 共含有 __________个元素.

【解析】(1)由 A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}的含义可知 A ={1,2},B={2}. (2)设 A={a1,a2,a3},B={b1,b2,b3,b4},则在 B 中 与 ai(i=1,2,3)组合的元素均有 4 个, 故共有 3×4=12 个元素.

【点评】 本题属于创新型的概念理解题.准确理解 A×B 是 解决本题的关键所在.

素材3

(1)定义集合运算: A*B={z|z=xy, x∈A, y∈B}, A={1,2}, 设 B={0,2},则集合 A*B 的所有元素之和为( A.0 C.3 B.2 D.6 )

(2)已知 P={a|a=(1,0)+m(0,1),m∈R},Q={b|b=(1,1) +n(-1,1),n∈R}是两个向量集合,则 P∩Q=( A. {(1,1)} C. {(1,0)} B. {(-1,1)} D. {(0,1)} )

【解析】 (1)因为 z=xy,x∈{1,2},y∈{0,2},故 xy=0,2,4, 从而 A*B={0,2,4},故集合 A*B 的所有元素之和为 6.故选 D. (2)方法 1:由已知可得 P={(1,m)},Q={(1-n,1+n)},
?1=1-n ?n=0 再由交集的含义,有? ,得? ,从而 P∩Q= ?m=1+n ?m=1

{(1,1)},故选 A.

方法 2:本题可以利用向量的几何意义解决. 依题意, P={a|a=(1,0)+m(0,1), m∈R}, Q={b|b=(1,1) +n(-1,1),n∈R},所对应的点的集合是 P={(x,y)|x=1}, Q={(x,y)|x+y=2},则 P∩Q={(1,1)},所以答案为 A.

备选例题

(1)已知全集 U=R,集合 M={x|-2≤x-1≤2}和 N= {x|x=2k-1,k=1,2,3?}的关系的韦恩图如图所示,则阴影 部分表示的集合为 {1,3} .

(2)某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱 乒乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动 但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 人.

【解析】(1)由题意,M={x|-1≤x≤3},N={正奇数}, 阴影部分表示的集合为 M∩N={1,3},故填{1,3}.

(2)方法 1:设所求人数为 x 人,则只喜爱乒乓球运动的人 数为 10-(15-x)=x-5, 故 15+x-5=30-8?x=12. 方法 2:由韦恩图可知,阴影部分共有 15+10+8-30=3 人, 故喜爱篮球但不喜爱乒乓球的有 15-3=12 人.

1.理解集合语言、把握元素的特征是分析解 决集合问题的前提. 2.化简集合(具体化、一般化、特殊化)是求 解集合问题的基本策略. 3.注意集合元素的三要素(尤其是互异性)、 不忘空集是解集合问题与防止出错的诀窍.

4.数形结合、分类讨论、补集思想、转换化 归是解集合问题能力的具体体现.


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