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高中数学第一章导数及其应用11变化率与导数导数的起源素材新人教A版选修22


导数的起源 一、早期导数概念----特殊的形式 大约在 1629 年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法 1637 年左右他 写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分 f(A+E)-f(A),发现的 因子 E 就是我们所说的导数 f'(A)。 二、17 世纪----广泛使用的“流数术” 17 世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展在前人创造性研究的基础上大数学 家牛顿、 莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。 牛顿的微积分理论被称为“流数 术”他称变量为流量称变量的变化率为流数相当于我们所说的导数。 牛顿的有关“流数术” 的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》 流数理论的实质概括为他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程在于自变量的 变化与函数的变化的比的构成最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。 三、19 世纪导数----逐渐成熟的理论 1750 年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第四版写的“微分”条目中提 出了关于导数的一种观点可以用现代符号简单表示{dy/dx)=lim(oy/ox)。1823 年柯西在他 的《无穷小分析概论》中定义导数如果函数 y=f(x)在变量 x 的两个给定的界限之间保持连 续并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值那么是使变量得到一个 无穷小增量。19 世纪 60 年代以后魏尔斯特拉斯创造了 ε -δ 语言对微积分中出现的各种类 型的极限重加表达导数的定义也就获得了今天常见的形式。 四、实无限将异军突起微积分第二轮初等化或成为可能 微积分学理论基础大体可以分 为两个部分。 一个是实无限理论即无限是一个具体的东西一种真实的存在另一种是潜无限指 一种意识形态上的过程比如无限接近。 就数学历史来看两种理论都有一定的道理。 其中实无限用了 150 年后来极限论就是现在 所使用的。 光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题后来由波粒二象性来统一。 微积分无 论是用现代极限论还是 150 年前的理论都不是最好的手段。 1

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