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无锡市2015年秋学期普通高中高三期末考试试卷4


无锡市 2015 年秋学期普通高中高三期末考试试卷 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.已知集合 A={-1,0,1},B={0,a,2},若 A∩B={-1,0},则 a=____________. 1+2i 2.若复数 z= (i 为虚数单位),则 z 的模为____________. 3-i 3.按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63,则判断框中的整数 M 的值是_________.

(第 3 题)

(第 4 题)

4.随机抽取 100 名年龄在[10,20),[20,30),…,[50,60)年龄段的市民进行问卷调查,由此得到样本的频 率分布直方图如图所示,从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 8 人,则在[50,60)年龄段抽 取的人数为____________. π 5.将函数 f(x)=2sin2x 的图象上每一点向右平移 个单位,得函数 y=g(x)的图象,则 g(x)=____________. 6 6.从 1, 2, 3, 4 这四个数中一次随机取两个数, 则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为____________.

(第 8 题) 2 7.已知 sin(α-45°)=- ,且 0°<α<90°,则 cos2α 的值为____________. 10 8.在圆锥 VO 中,O 为底面圆心,半径 OA⊥OB,且 OA=VO=1,则 O 到平面 VAB 的距离为__________. 9.设△ABC 是等腰三角形, ∠ABC=120°, 则以 A, B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为____________. 10.对于数列{an},定义数列{bn}满足:bn=an+1-an(n?N*),且 bn+1-bn=1(n?N*),a3=1,a4=-1,则 a1 =__________. 11.已知平面向量 α,β 满足|β|=1,且 α 与 β-α 的夹角为 120°,则 α 的模的取值范围为__________. 1 12.过曲线 y=x- (x>0)上一点 P(x0,y0)处的切线分别与 x 轴,y 轴交于点 A,B,O 是坐标原点,若△OAB x 1 的面积为 ,则 x0=____________. 3 13.已知圆 C:(x-2)2+y2=4,线段 EF 在直线 l:y=x+1 上运动,点 P 为线段 EF 上任意一点,若圆 C 上 → → 存在两点 A,B,使得PA·PB≤0,则线段 EF 长度的最大值是____________.

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?-|x3-2x2+x|,x<1, ? 14. 已知函数 f(x) = ? 若对于 ? t ? R , f(t)≤kt 恒成立,则实数 k 的取值范围是 ?lnx,x≥1, ? ____________. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 m=(sinB-sinC,sinC-sinA),n=(sinB +sinC,sinA),且 m⊥n. (1) 求角 B 的大小; (2) 若 b=c· cosA,△ABC 的外接圆的半径为 1,求△ABC 的面积.

16(本小题满分 14 分) 如图,平面 PAC⊥平面 ABC,AC⊥BC,PE∥CB,M 是 AE 的中点. (1) 若 N 是 PA 的中点,求证:平面 CMN⊥平面 PAC; (2) 若 MN∥平面 ABC,求证:N 是 PA 的中点.

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17. (本小题满分 14 分) 在一个直角边长为 10m 的等腰直角三角形 ABC 的草地上,铺设一个也是等腰直角三角形 PQR 的花地,要 求 P,Q,R 三点分别在△ABC 的三条边上,且要使△PQR 的面积最小.现有两种设计方案: 方案一:直角顶点 Q 在斜边 AB 上,R,P 分别在直角边 AC,BC 上; 方案二:直角顶点 Q 在直角边 BC 上,R,P 分别在直角边 AC,斜边 AB 上. 请问应选用哪一种方案?并说明理由.

18.(本小题满分 16 分) x2 y2 1 已知椭圆 M: 2 + 2=1(a>b>0)的离心率为 ,一个焦点到相应的准线的距离为 3,圆 N 的方程为(x-c)2 a b 2 2 2 2 +y =a +c (c 为半焦距),直线 l:y=kx+m(k>0)与椭圆 M 和圆 N 均只有一个公共点,分别设为 A,B. (1) 求椭圆方程和直线方程; PB (2) 试在圆 N 上求一点 P,使 =2 2. PA

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19.(本小题满分 16 分) a+e-2 已知函数 f(x)=lnx+ (a>0). x (1) 当 a=2 时,求出函数 f(x)的单调区间; (2) 若不等式 f(x)≥a 对于 x>0 的一切值恒成立,求实数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 16 分) 已知数列{an}与{bn}满足 an+1-an=q(bn+1-bn),n?N*. (1) 若 bn=2n-3,a1=1,q=2,求数列{an}的通项公式; (2) 若 a1=1,b1=2,且数列{bn}为公比不为 1 的等比数列,求 q 的值,使数列{an}也是等比数列; M (3) 若 a1=q,bn=qn(n?N*),且 q?(-1,0),数列{an}有最大值 M 与最小值 m,求 的取值范围. m

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1.-1 解析:-1?B={0,a,2},a=-1.本题考查集合概念及基本运算,属于容易题. 1+2i 1+7i 2 2 2. 解析:z= = ,z 的模为 .本题考查复数的基本运算,属于容易题. 2 10 2 3-i 3.5 解析:当 A=1 时,S=3;当 A=2 时,S=7;当 A=3 时,S=15;当 A=4 时,S=31;当 A=5 时, S=63;则判断框中的整数 M 的值是 5.本题考查伪代码的知识,关键把握每一次循环体执行情况.本题属于容易 题. 4.2 解析: 不小于 40 岁的人数为 100×(0.015+0.005)×10=20, 在[50, 60)年龄段的人数为 100×0.005×10 8 x =5,设在[50,60)年龄段抽取的人数为则 = ,则 x=2.本题主要考查了分层抽样的概念,频率分布直方图基 20 5 础知识.本题属于容易题. π π π 5.2sin?2x- ? 解析: 将函数 f(x)=2sin2x 的图象上每一点向右平移 个单位, 得函数 g(x)=2sin2?x- ?= 6 3? 6? ? ? π 2sin(2x- ).本题主要考查三角函数的图象变换(平移变换).本题属于容易题. 3 2 6. 解析:从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,共有 6 种取法;取出的数中一个是奇数一个是偶 3 2 数共 4 种取法;则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为 .本题考查了古典概型求法,主要是用列举法列出 3 基本事件总数.本题属于容易题. 7 2 1 3 7. 解析:由 sin(α-45°)=- ,展开得 sinα -cosα =- ,又 sin2α +cos2α =1,sinα = ,cosα = 25 10 5 5 4 7 ,则 cos2α =cos2α -sin2α = .本题考查了三角函数的和差角公式,同角三角函数关系,二倍角公式.本题属 5 25 于容易题. 3 1 1 1 1 3 ×1×1?×1= ×? × 2× 2× ?× 8. 解析:设 O 到平面 VAB 的距离为 h,由 VVOAB=VOVAB 得 ×? ? 3 3 ?2 3 ?2 2? 3 h,则 h= .本题考查了等积法求点到平面的距离,属于容易题. 3 1+ 3 9. 解析:设 AB=BC=2,由题意知 2c=2,2 3-2=2a,则 c=1,a= 3-1,则双曲线的离心率 2 1+ 3 为 .本题考查了双曲线的定义及离心率求法.本题属于容易题. 2 10.8 解析:b3=a4-a3=-1-1=-2,由 b3-b2=1,则 b2=-3,而 b2=a3-a2=-3,得 a2=4.又 b2-b1 =1,则 b1=-4,而 b1=a2-a1=4-a1=-4,则 a1=8.本题考查了利用列举法借助递推公式求数列中的项,属 于容易题. a c asinC 2 3? 11.?0, 解析:设△ABC 中,a=|β|=1,A=60°,|α |=c,由正弦定理得 = ,则 =c, sinA sinC sinA 3 ? ? 2 3 2 3? 2 3? 即 c= sinC.又 0<sinC≤1,即 c 的取值范围为?0, ,则 α 的模的取值范围为?0, .本题考查了利用正 3 3 3 ? ? ? ? 弦定理将向量问题转化成解三角形问题,属于中等题. 1? ? 1? 1 12. 5 解析:P(x0,y0)处的切线斜率为 1+ 2,则切线方程为 y-? (x-x0) ,当 x=0 时,y ?x0-x0?=?1+x2 x0 0? -2 2x0 1 2 2x0 1 = ;当 y=0 时,x= 2 .S△OAB= × × 2 = ,则 x0= 5.本题考查了导数的几何意义、直线方程,属 x0 2 x0 x0+1 3 x0+1 于中等题. 3 2 13. 14 解析:因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= >2,所以直线 l 与圆 C 相离.因为点 P 在直线 l 上,两 2 → → → → → → → → 点 A,B 在圆 C 上,所以|PA|>0,|PB|>0.因为PA·PB=|PA|·|PB|·cosθ ≤0,所以 cosθ ≤0,所以PA与PB的夹 → → 角∠APB 为钝角或直角.因为圆 C 上存在两点 A,B,使得PA·PB≤0,所以只要 PA,PB 分别与圆 C 都相切时 使得∠APB 为钝角或直角, 此时点 P 所在的线段长即为线段 EF 长度的最大值. 当 PA, PB 分别与圆 C 都相切时, 在 Rt△CAP 中, 当∠APB 为直角时, ∠CPA=45°, CA=2, 则 PC=2 2.所以, 线段 EF 长度的最大值为 2 PC2-d2

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3 2? = 14.本题考查了直线与圆的位置关系、向量数量积等内容.本题属于难题. ? 2 ? 1 ? lnt 14.? ?e,1? 解析:①当 t≥1 时,f(t)=lnt,即 lnt≤kt 对于 t?[1,+∞)恒成立,所以 k≥ t ,t?[1,+∞).令 1-lnt lnt lnt g(t)= ,则 g′(t)= 2 ,当 t?(1,e)时,g′(t)>0,则 g(t)= 在 t?(1,e)时为增函数;当 t?(e,+∞)时,g′ t t t lnt 1 1 (t)<0,则 g(t)= 在 t?(e,+∞)时为减函数.所以 g(t)max=g(e)= ,所以 k≥ .②当 0<t<1 时,f(t)=-t(t-1)2, t e e 即-t(t-1)2≤kt 对于 t?(0,1)恒成立,所以 k≥-(t-1)2,t?(0,1),所以 k≥0.③当 t≤0 时,f(t)=t(t-1)2,即 1 t(t-1)2≤kt 对于 t?(-∞,0]恒成立,所以 k≤(t-1)2,t?(-∞,0],所以 k≤1.综上, ≤k≤1.本题考查了分段 e 函数、利用导数求最值,以及恒成立问题等内容,借助分类讨论使问题得到解决.本题属于难题. 15.解:(1) 因为 m⊥n,所以 sin2B-sin2C+sinA(sinC-sinA)=0,即 sinAsinC=sin2A+sin2C-sin2B.(2 分) a2+c2-b2 1 由正弦定理得 ac=a2+c2-b2,所以 cosB= = .(4 分) 2ac 2 π 因为 B?(0,π ),所以 B= .(6 分) 3 2 2 2 b b +c -a (2) 因为 c· cosA=b,所以 = ,即 b2=c2-a2.(8 分) c 2bc 又 ac=a2+c2-b2,b=2RsinB= 3,(10 分) 解得 a=1,c=2.(12 分) 1 3 所以 S△ABC= acsinB= .(14 分) 2 2 16.证明:(1) 因为平面 PAC⊥平面 ABC,AC 为两平面的交线,AC⊥BC,BC ? 平面 ABC,所以 BC⊥平面 PAC.(2 分) 又 PE∥CB,M、N 分别为 AE、AP 的中点,所以 MN∥PE,(3 分) 所以 MN∥BC,即 MN⊥平面 PAC.(5 分) 又 MN ? 平面 CMN,所以平面 CMN⊥平面 PAC.(7 分) (2) 因为 PE∥CB,BC ? 平面 ABC,PE ? 平面 ABC, 所以 PE∥平面 ABC.(9 分) 设平面 PAE 与平面 ABC 的交线为 l,则 PE∥l.(10 分) 又 MN∥平面 ABC,MN ? 平面 PAE,所以 MN∥l.(11 分) 所以 MN∥PE.(12 分) 因为 M 是 AE 的中点,所以 N 为 PA 的中点.(14 分) 17.解:方案一:过 Q 作 QM⊥AC 于 M,作 QN⊥BC 于 N, 因为△PQR 为等腰直角三角形,且 QP=QR, 所以△RMQ≌△PNQ, 所以 QM=QN, =2

(2 2)2-?

2

从而 Q 为 AB 的中点,(2 分) 则 QM=QN=5m.(3 分) 5 设∠RQM=α,则 RQ= ,α ?[0°,45°), cosα 1 25 所以 S△PQR= ×RQ2= ,(4 分) 2 2cos2α 25 所以 S△PQR 的最小值为 m2.(6 分) 2 方案二:设 CQ=x,∠RQC=β,β ?(0°,90°),
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x 在△RCQ 中,RQ= ,(8 分) cosβ 在△BPQ 中,∠PQB=90°-β,

QP BQ 所以 = , sinB sin∠BPQ 10-x x 即 = , sin ( 45° +β) 2 cosβ 2 x 10 化简得 = ,(10 分) cosβ sinβ +2cosβ 1 所以 S△PQR= ×RQ2 2 50 = . (sinβ +2cosβ )2 因为(sinβ +2cosβ )2≤5,所以 S△PQR 的最小值为 10m2.(13 分) 综上,应选用方案二.(14 分) c 1 = , a 2 18.解:(1) 由题意知 2 解得 a=2,c=1,所以 b= 3,(2 分) a -c=3, c 2 x y2 所以椭圆 M 的方程为 + =1,(4 分) 4 3 2 圆 N 的方程为(x-1) +y2=5.(5 分) x2 y2 ? ? 4 + 3 =1, 由直线 l:y=kx+m 与椭圆 M 只有一个公共点,所以由? 得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,

? ? ?

? ?y=kx+m,

①(6 分) 所以Δ =64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0 得 m2=3+4k2. ②(7 分) |k+m| 由直线 l:y=kx+m 与 N 只有一个公共点,得 = 5, 1+k2 即 k2+2km+m2=5+5k2, ③(8 分) 将②代入③得 km=1, ④ 1 由②,④且 k>0,得 k= ,m=2.(9 分) 2 1 所以直线 l:y= x+2.(10 分) 2 3 1 -1, ?,(11 分) (2) 将 k= ,m=2 代入①可得 A? 2? ? 2 又过切点 B 的半径所在的直线 l′为 y=-2x+2,所以得交点 B(0,2).(12 分) 2 x2 PB 0+(y0-2) 设 P(x0,y0),因为 =2 2,则 =8, PA 3 2 y0- ? (x0+1)2+? 2? ? 2 2 化简得 7x0+7y0+16x0-20y0+22=0. ⑤(13 分) 2 又 P(x0,y0)满足 x2 0+y0-2x0=4, ⑥ 3x0+5 将⑤-7×⑥得 3x0-2y0+5=0,解得 y0= , ⑦(14 分) 2 9 将⑦代入⑥得 13x2 ,(15 分) 0+22x0+9=0,解得 x0=-1 或 x0=- 13
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9 19 - , ?.(16 分) 所以 P(-1,1)或 P? ? 13 13? e 19.解:(1) 当 a=2 时,函数 f(x)=lnx+ , x 1 e x-e 所以 f′(x)= - 2= 2 ,(2 分) x x x 所以当 x?(0,e)时,f′(x)<0,则函数 f(x)在(0,e)上单调减;(3 分) 当 x?(e,+∞)时,f′(x)>0,则函数 f(x)在(e,+∞)上单调增.(4 分) a+e-2 (2) 由题意知 lnx+ ≥a 恒成立, x 等价于 xlnx+a+e-2-ax≥0 在(0,+∞)上恒成立,(6 分) 令 g(x)=xlnx+a+e-2-ax,则 g′(x)=lnx+1-a. - 令 g′(x)=0,得 x=ea 1,(7 分)
- - - x (0,ea 1) ea 1 (ea 1,+∞) g′(x) 0 - + g(x) ↓ 极小 ↑ - - - - 所以 g(x)的最小值为 g(ea 1)=(a-1)ea 1+a+e-2-aea 1=a+e-2-ea 1.(9 分) - - 令 t(x)=x+e-2-ex 1,则 t′(x)=1-ex 1,(10 分) 令 t′(x)=0,得 x=1,且

x t′(x) t(x) (11 分)

(0,1) + ↑

1 0 极大

(1,+∞) - ↓

1 e(e-2)-1 所以当 a?(0,1)时,g(x)的最小值 t(a)>t(0)=e-2- = >0,(12 分) e e a -1 当 a?[1,+∞)时,g(x)的最小值为 t(a)=a+e-2-e ≥0=t(2),(14 分) 所以 a?[1,2].(15 分) 综上,a?(0,2].(16 分) 20.解:(1) 由 bn=2n-3 且 q=2 得 an+1-an=4,所以数列{an}为等差数列.(2 分) 又 a1=1,所以 an=4n-3.(4 分) (2) 由条件可知 an-an-1=q(bn-bn-1), 所以 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =q(bn-bn-1)+q(bn-1-bn-2)+…+q(b2-b1)+a1 =qbn-qb1+a1=qbn-2q+1.(6 分) - 不妨设{bn}的公比为 λ(λ≠1),则 an=2qλn 1-2q+1, 1 由{an}是等比数列知 a2 2=a1a3,可求出 q= ,(7 分) 2 1 - 经检验,an=2qλn 1,此时{an}是等比数列,所以 q= 满足条件.(8 分) 2 (3) 由条件可知 an-an-1=q(bn-bn-1), 所以 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =q(bn-bn-1)+q(bn-1-bn-2)+…+q(b2-b1)+a1=qbn-qb1+a1, + + 即 an=qn 1-q2+q,a2n=q2n 1-q2+q.(10 分) + + + 因为 q?(-1,0),所以 a2n+2-a2n=q2n 3-q2n 1=q2n 1(q2-1)>0,则{a2n}单调递增;(11 分) + a2n+1-a2n-1=q2n 2-q2n=q2n(q2-1)<0,则{a2n-1}单调递减.(12 分) 2n+1 又 a2n-a1=q -q2<0, 所以数列{an}的最大项为 a1=q=M,(13 分) + - a2n+1-a2=q2n 2-q3=q3(q2n 1-1)>0, 所以数列{an}的最小项为 a2=q3-q2+q=m,(14 分) M q 1 则 = 3 2 = 2 . m q -q +q q -q+1
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因为 q?(-1,0),所以 q2-q+1?(1,3), M 1 ? ,1 .(16 分) 所以 ?? m ?3 ?

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