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17学年高中数学第一章常用逻辑用语1.4生活中的优化问题举例课时作业理新人教A版选修2_2

1.4 生活中的优化问题举例 利用导数解决优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.______是求函数 最值问题的有力工具. 解决优化问题的基本思路是: 参考答案: 导数 重点 难点 易错 一、最大值问题 利用导数解决生活中的优化问题 利用导数解决利润最大、用料最省、效率最高等问题 求利润最大、用料最省、效率最高等问题时,易忽略实际意义 实际生活中利润最大,容积、面积最大,流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值. 若在定义域内只有一个极值点,且在极值点附近左增右减,则此时唯一的极大值就是最大值. 【例 1】如图所示,在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形,再把它沿虚线折起,做成一 个无盖的长方体箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少? 【解析】设箱子的底边长为 x cm,则箱子高 h ? 箱子容积 V ( x) ? x h ? 2 60 ? x cm, 2 60 x 2 ? x3 (0 ? x ? 60) , 2 得 V ?( x) ? 60 x ? 3 2 x ,令 V ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 (不合题意,舍去), x2 ? 40 . 2 60) 内变化时, V ?( x ) 的正负如下表: 当 x 在 (0, 1 因此在 x ? 40 处,函数 V ( x) 取得极大值,并且这个极大值就是函数 V ( x) 的最大值. 将 x ? 40 代入 V ( x) ,得最大容积为 40 ? 2 60 ? 40 ? 16 000(cm3 ) . 2 3 所以,箱子底边长取 40 cm 时,容积最大,最大容积为 16 000 cm . 【名师点睛】 (1)求几何体面积或体积的最值问题,关键是分析几何体的几何特征,根据题意选择适当的 量建立面积或体积的函数,然后再用导数求最值. (2)注意根据实际意义对求出的解进行取舍. 二、最小值问题 实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用 料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关,解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体 的面积、体积入手),将这一指标表示为自变量 x 的函数,利用导数或其他方法求出最值,但一定要注意自 变量的取值范围. 【例 2】一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为 10 海里/小时时,燃料费是每小 时 6 元,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元,问轮船的速度是多少时,航行 1 海里所需的费用总和最 小? 【解析】设速度为 v 海里/小时时的燃料费是每小时 p 元,那么由题设的比例关系得 p ? k· v3 ,其中 k 为比 例系数,又 v ? 10 时,p=6,则 k ? 6 ? 0.006 ,于是有 p ? 0.006v3 . 103 1 小时, v 又设当船的速度为每小时 v 海里时,航行 1 海里所需的总费用为 q 元, 因为每小时所需的总费用是 0.006v3 ? 96 (元),而航行 1 海里所需的时间为 所以,航行 1 海里的总费用为 q ? 所以 q' ? 0.012v ? 1 96 (0.006v 3 ? 96) ? 0.006v 2 ? , v v 96 0.012 3 ? 2 (v ? 8 000) , v2 v 令 q? ? 0 ,解得 v ? 20 . 当 0 ? v ? 20 时, q? ? 0 ;当 v ? 20 时, q? ? 0 , 故当 v ? 20 时,q 取得最小值, 即速度为 20 海里/小时时,航行 1 海里所需的费用总和最小. 2 【名师点睛】本题是费用最少问题,若在定义域内只有一个极值点,且在极值点附近左减右增,则此时唯 一的极小值就是最小值. 1.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s ? A.0 秒 C.2 秒末 1 3 3 2 t ? t ? 2t ,那么速度为零的时刻是 3 2 B.1 秒末 D.1 秒末和 2 秒末 2.现做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20 cm,要使其体积最大,则其高应为 A. 20 3 cm 3 B.100 cm C.20 cm D. 20 cm 3 3.某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子,其容积为 48 m3 ,高为 3 m,如果箱底每平方米的造价为 15 元, 箱壁每平方米的造价为 12 元,则箱子的最低总造价为 A.900 元 C.818 元 B.840 元 D.816 元 4.已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y ? 4 ? x2 在 x 轴上方的曲线上,则这种矩形 中面积最大者的边长为__________. 5.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 .某幢建筑物要建造可 使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万 元)与隔热层厚度 x (单位:厘米)满足关系: C ( x) ? k (0 ? x ? 10) ,若不建隔热层,每年能源 3x ? 5 消耗费用为 8 万元.设 f ( x ) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f ( x ) 的表达式; 3 (2)隔热层修建多厚时,总费用 f ( x ) 达到最小,并求最小值. 6.请你设计一个包装盒,如图,ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等 腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状 的包装盒.E,F 在 AB 上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=x(cm). (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值?

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