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推理与证明复习


推理与证明
一、巩固练习 1.数列 2,5,11,20,x,47,?中的 x=________. 2.给出下列三个类比结论. ①(ab)n=anbn 与(a+b)n 类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α+β)类比,则有 sin(α+β)=sin αsin β ; ③(a+b)2=a2+2ab+b2 与 (a ? b)2 类比,则有 (a ? b) 2 ? a ? 2a ? b ? b 其中结论正确的序号是________. ?1?x 3. “因为指数函数 y=ax 是增函数(大前提),而 y=?3? 是指数函数(小前提),所 ? ? ?1?x 以函数 y=?3? 是增函数(结论)”, 上面推理的错误在于_______错误导致结论错. ? ? 2S 4. 我们知道一个边长为 a, 面积为 S 的正三角形的内切圆半径 r=3a, 由此类比, 若一个正四面体的一个面的面积为 S, 体积为 V, 则其内切球的半径 r=________. 5.设 a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),则 a 与 b 大小关系为________. 6.否定“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时,正确的反设为________. 7.p= ab+ cd,q= ma+nc· q 的大小为________. 8.若等差数列{an}中公差 d≠0,则 a1+a8 与 a4+a5 的大小关系为________. 9.在用反证法证明数学命题时,如果原命题的否定事项不止一个时,必须将结 论的否定情况逐一驳倒,才能肯定原命题的正确. 例如:在△ABC 中,若 AB=AC,P 是△ABC 内一点,∠APB>∠APC,求 证:∠BAP<∠CAP,用反证法证明时应分:假设________和________两类. 10.观察下列几个三角恒等式: ①tan 10°tan 20°+tan 20°tan 60°+tan 60°tan 10°=1; ②tan 5°tan 100°+tan 100°tan(-15°)+tan(-15°)tan 5°=1; ③tan 13°tan 35°+tan 35°tan 42°+tan 42°tan 13°=1. 一般地,若 tan α ,tan β ,tan γ 都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到 的一个结论为________.
1
2 2

b d m+n(m、n、a、b、c、d 均为正数),则 p、

二、典型例题 考点一 归纳推理

【例 1】观察下列等式: 1=1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15, 13+23=9, 13+23+33=36, 13+23+33+43=100, 13+23+33+43+53=225. 可以推测:13+23+33+?+n3=________(n∈N*,用含有 n 的代数式表示). 【训练 1】 已知经过计算和验证有下列正确的不等式: 3+ 17<2 10, 7.5 + 12.5<2 10, 8+ 2+ 12- 2<2 10,根据以上不等式的规律,请写出 13=1,

一个对正实数 m,n 都成立的条件不等式________. 考点二 类比推理

【例 2】?在平面几何里,有“若△ABC 的三边长分别为 a,b,c,内切圆半 1 径为 r,则三角形面积为 S△ABC=2(a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论, “若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球的半径为 r, 则四面体的体积为________”. 【训练 2】 已知命题:“若数列{an}为等差数列,且 am=a,an=b(m<n,m, n∈N*),则 am+n= b·n-a· m ” .现已知数列{bn}(bn>0,n∈N*)为等比数列,且 n-m

bm=a,bn=b(m<n,m,n∈N*),若类比上述结论,则可得到 bm+n=________.

考点三

演绎推理

2

n+2 【例 3】?数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= n Sn(n∈N+),证
?Sn? 明:(1)数列? n ?是等比数列; ? ?

(2)Sn+1=4an.

【训练 3】 已知函数 f(x)=

2x-1 (x∈R), 2x+1

(1)判定函数 f(x)的奇偶性; (2)判定函数 f(x)在 R 上的单调性,并证明.

考点四

综合法的应用

3

a2 b2 c2 【例 4】?设 a,b,c>0,证明: b + c + a ≥a+b+c.

1 1 【训练 4】 设 a,b 为互不相等的正数,且 a+b=1,证明:a+b>4.

考点五

分析法的应用

?a+mb?2 a2+mb2 ? ≤ 【例 5】?已知 m>0,a,b∈R,求证:? . 1+m ? 1+m ?

【训练 5】 已知 a,b,m 都是正数,且 a<b.

求证:

a+m a > . b+m b

考点六

反证法的应用

x-2 【例 6】?已知函数 f(x)=ax+ (a>1). x+1
4

(1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)用反证法证明 f(x)=0 没有负根.

【训练 6】 已知 a,b 为非零向量,且 a,b 不平行,求证:向量 a+b 与 a-b 不平行.

考点七

数学归纳法

1、用数学归纳法证明恒等式 例 7、用数学归纳法证明:当 n ? N ? 时, ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (?1)n (2n ?1) ? (?1)n ? n

练习:用数学归纳法证明: 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? (2n ?1)2 ? (2n)2 ? ?n(2n ? 1)

2、用数学归纳法证明不等式 (1)求证:
1 1 1 5 ? ?? ? ? (n ? 2, n ? N ? ) n ?1 n ? 2 3n 6
5

练习:证明不等式: 1 ?

1 1 1 ? ?? ? ? 2 n (n ? N ? ) 2 3 n

3、利用数学归纳法证明整除问题 (1)用数学归纳法证明 f (n) ? 3? 52n?1 ? 23n?1 对任意 n ? N ? ,都能被 17 整除。

4、归纳——猜想——证明 已知数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1, Sn ? n2an (n ? N ?) (1)试求出 S1 , S2 , S3 , S4 ,并猜想 Sn 表达式;
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(2)证明你的猜想并求出 an 的表达式。

三、补充练习 1.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第五个等式应为________. 2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 S4, S8-S4, S12-S8, S16-S12 成等差数列. 类 T16 比以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,________,______,T
12

成等比数列. 3. 数 列 ?an ? 满 足 an ? 0(n ? N ?), Sn 为 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 并 且 满 足
Sn ? 1 1 (an ? ) ,求 S1 , S2 , S3 的值,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法证明。 2 an

4.设直线 l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数 k1,k2 满足 k1k2+2=0. (1)证明 l1 与 l2 相交; (2)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x2+y2=1 上.
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5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+Sn=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.

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