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09年高考数学数列复习知识表


数列知识精要
数列
[数列的通项公式] a n ? ?
?a1 ? S1 (n ? 1) ?S n ? S n?1 (n ? 2)

[数列的前 n 项和] S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an

等差数列
[等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就 叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。 [等差数列的判定方法] 1. 定义法:对于数列 ?an ? ,若 an?1 ? an ? d (常数),则数列 ?an ? 是等差数列。 2.等差中项:对于数列 ?an ? ,若 2an?1 ? an ? an?2 ,则数列 ?an ? 是等差数列。 [等差数列的通项公式] 如果等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,则等差数列的通项为 an ? a1 ? (n ? 1)d 。 [说明]该公式整理后是关于 n 的一次函数。 n(a1 ? a n ) n(n ? 1) [等差数列的前 n 项和] 1. S n ? 2. S n ? na1 ? d 2 2 [说明]对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数。 [等差中项] 如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。即: A ?
a?b 或 2A ? a ? b 2

[说明]:在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一 项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 [等差数列的性质] 1.等差数列任意两项间的关系:如果 an 是等差数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项,且 2. 对于等差数列 ?an ? ,若 n ? m ? p ? q ,则 an ? am ? a p ? aq 。
a1 ? an ????? ????? ? a , a , a , ? , a , a , 2? 3 n?2 n ?1 a n ? ?? ,如图所示: 1 ? ? ? ?? ?? ? a2 ? an ?1
*

m ? n ,公差为 d ,则有 an ? am ? (n ? m)d

也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2

3.若数列 ?an ? 是等差数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N ,那么 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 成 等差数列。如下图所示:
S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ?

4.设数列 ?an ? 是等差数列, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是前 n 项的和,则 有如下性质:

Sk

S 2k ? S k

S 3k ? S 2 k

1 前 n 项的和 S n ? S 奇 ? S 偶 ○ 2 当 n 为偶数时, S 偶 ? S奇 ? d ,其中 d 为公差; ○ 2 3 当 ○ n 为 奇 数 时 , 则 S 奇 ? S偶 ? a中 , S奇 ?
S奇 n ? 1 n ?1 n ?1 ? , a中 , S偶 ? a中 , S偶 n ? 1 2 2

n

S ? S偶 Sn ? 奇 ? n (其中 a中 是等差数列的中间一项) 。 S奇 ? S偶 S奇 ? S偶
' 5.若等差数列 ?an ? 的前 2n ? 1 项的和为 S 2 n?1 ,等差数列 ?bn ? 的前 2n ? 1 项的和为 S 2 , n ?1



a n S 2 n ?1 ? ' 。 bn S 2 n ?1

等比数列
[等比数列的概念] [定义]如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就 叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示( q ? 0 ) 。 [等比中项] 如果在 a 与 b 之间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。 G b 2 也就是,如果是的等比中项,那么 ? ,即 G ? ab 。 a G [等比数列的判定方法] 1. 定义法:对于数列 ?an ? ,若
a n ?1 ? q ( q ? 0) ,则数列 an

?an ?是等比数列。

2 2.等比中项:对于数列 ?an ? ,若 an an?2 ? an an ? 是等比数列。 ?1 ,则数列 ?

[等比数列的通项公式]

如果等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则等比数列的通项为 an ? a1q n?1 。 [等比数列的前 n 项和] 1 Sn ? ○
a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 1? q

2 Sn ? ○

a1 ? a n q (q ? 1) 1? q

3 当 q ? 1 时, S n ? na1 ○

[等比数列的性质] 1.等比数列任意两项间的关系:如果 an 是等比数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项,且 3. 对于等比数列 ?an ? ,若 n ? m ? u ? v ,则 an ? am ? au ? av
a1?an ????? ?????? a , a , a , ? , a n?2 , a n?1 , a n 2 ?3 ? ?? 。如图所示: 1 ? ? ? ?? ?? ? a2 ?an ?1
*

m ? n ,公比为 q ,则有 an ? am q n?m

也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2

4.若数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N ,那么 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 成等 比数列。如下图所示:

S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

[练习] 1.数列 ?an ? 中, a15 ? 10 , a45 ? 90 ,若 ?an ? 是等差数列,则 a 60 ? 比数列,则 a 60 ? ; ; 2.在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a9 ? a11 ? a15 ? a17 ? 0 ,则 S 21 ? 3.两个等差数列,它们的前 n 项和之比为 4.等差数列 ?an ? 的公差为

;若 ?an ? 是等

5n ? 3 ,则它们的第 9 项之比为 2n ? 1




1 ,且 S100 ? 145,则 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a99 ? 2

5.项数为奇数的等差数列,奇数项之和为 44,偶数项之和为 33,求此数列的中间项; 6.


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