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2-2-1 双曲线及其标准方程


基础巩固强化 一、选择题 1.(2012~2013 学年度四川南部中学高二期末测试)双曲线 3x2 -4y2=-12 的焦点坐标为( A.(± 5,0) C.(± 7,0) [答案] D y2 x2 [解析] 双曲线 3x -4y =-12 化为标准方程为 3 - 4 =1,∴a2 2 2 ) B.(0,± 5) D.(0,± 7) =3,b2=4,c2=a2+b2=7,∴c= 7,又∵焦点在 y 轴上,故选 D. x2 y2 2. 已知方程 - =1 表示双曲线, 则 k 的取值范围是( 1+k 1-k A.-1<k<1 C.k≥0 [答案] A [解析] 由题意得(1+k)(1-k)>0,∴(k-1)(k+1)<0,∴-1<k<1. x2 y2 x2 y2 3.椭圆 4 +m2=1 与双曲线m2- 2 =1 有相同的焦点,则 m 的值 是( ) A.± 1 C.-1 [答案] A [解析] 验证法:当 m=± 1 时,m2=1, 对椭圆来说,a2=4,b2=1,c2=3. 对双曲线来说,a2=1,b2=2,c2=3, B.1 D.不存在 B.k>0 D.k>1 或 k<-1 ) 故当 m=± 1 时,它们有相同的焦点. 直接法:显然双曲线焦点在 x 轴上,故 4-m2=m2+2. ∴m2=1,即 m=± 1. 4 . (2012 ~ 2013 学年度宁夏宁大附中高二期末测试 ) 双曲线 x2 y2 - =1 的焦距是( m2+12 4-m2 A.4 C.8 [答案] C [解析] 由题意知,a2=m2+12,b2=4-m2,∴c2=a2+b2=16, ∴c=4,故双曲线的焦距为 8. 5.已知点 F1(-4,0)和 F2(4,0),曲线 C 上的动点 P 到 F1、F2 距 离之差为 6,则曲线 C 的方程为( x2 y 2 A. 9 - 7 =1 x2 y 2 B. 9 - 7 =1(y>0) x2 y 2 x2 y2 C. 9 - 7 =1 或 7 - 9 =1 x2 y 2 D. 9 - 7 =1(x>0) [答案] D [解析] 由双曲线的定义知,点 P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点,实 x2 y2 轴长为 6 的双曲线的右支,其方程为: 9 - 7 =1(x>0) 6.已知双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 的直线与双曲 线的左支交于 A、B 两点,线段 AB 的长为 5,若 2a=8,那么△ABF2 的周长是( ) ) ) B.2 2 D.与 m 有关 A.16 C.21 [答案] D B.18 D.26 [解析] |AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a =8, ∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16, ∴|AF2|+|BF2|=16+5=21, ∴△ABF2 的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5 =26. 二、填空题 7.双曲线的焦点在 x 轴上,且经过点 M(3,2)、N(-2,-1),则 双曲线标准方程是________. x2 y2 [答案] 7 - 7 =1 3 5 x2 y2 [解析] 解法一:设双曲线方程为:a2-b2=1(a>0,b>0) 又点 M(3,2)、N(-2,-1)在双曲线上, 9 4 ? ?a2-b2=1 ∴? 4 1 ? ?a2-b2=1 7 2 ? a = ? 3 ,∴? 7 2 ? b = ? 5 . 解 法 二 : 设 双 曲 线 方 程 为 mx2 + ny2 = 1(m>0 , n<0) , 则 ?

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