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高一数学指数函数 (2).doc


指数函数(2)
[教学目标] 知识与技能:1、能根据指数函数的性质解决有关函数单调性和奇 偶性。 2、掌握指数函数模型在实际中应用,体会增长率模型
是一种非常重要的函数模型。

[例题分析]
例 1、某工厂现有奖金 a 万元(a>100) ,由于坚持改革开放,生产蒸 蒸日上,每年奖金递增 20﹪,每年年底资助希望工程 b 万元(0 <b≤a﹒10﹪﹚若 m( m ? N * ) 年后,该厂奖金至少翻一番,求 m 的最小值。 分析:从简单具体的情形开始归纳出一般规律,用数学语言描述实际 问题探索满足条件的 m 同时需要用到指数函数的性质。 解: 1 年后有奖金 a(1 ? 20 ﹪) ? b ? a ? b 2 年后有奖金 ( a ? b)(1 ? 20 ﹪ ) ? b ? ( ) 2 a ? b ? b … m 年后有奖金
6 6 6 6 6 6 6 ( ) m a ? ( ) m ?1 b ? ( ) m ? 2 b ? ( ) m ?3 b ? ? ? b ? b ? ( ) m a ? 5b( ) m ? 5b 5 5 5 5 5 5 5 6 5 6 5 6 5

6 5

由题意有 ( ) m a ? 5b( ) m ? 5b ? 2a , 即 ( ) m (a ? 5b) ? 2a ? 5b
a 6 2a ? 5b ,即 a ? 10b , ∴ ( )m ? . 10 5 a ? 5b 2a ? 5b 6 ? 3 ,故只需 ( ) m ? 3 , m ? 7 又 a ? 5b 5

6 5

6 5

6 5

又0 ? b ?

故 m 的最小值为 7. 例 2、某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某产品的数量分别为 1 万件、 1.2 万件、1.3 万件,为了估测以后各月的产量,以这三个月的 产量为依据,用一个函数模拟产品月产量 y(万件)与月份数 x 的关系。 根据经验, 模拟函数可以选用二次函数或 y ? abx ? c(其 中 a、b、c 为常数) ,已知 4 月份该产品产量为 1.37 万件,请 问用以上哪个函数作为模拟函数较好?并求此函数的解析式。 解: 设二次函数 g ( x) ? px2 ? qx ? r ,由 g(1)=1,g(2)=1.2, g(3)=1.3,得
? p ? q ? r ?1 ? ? ? ? 4 p ? 2 q ? r ? 1 .2 ? ? 9 p ? 3q ? r ? 1.3 ? ? ? ? p ? ?0.05? ? ? 解得 ?q ? 0.35 ? ?r ? 0.7 ? ? ?

∴ g ( x) ? ?0.05x 2 ? 0.35x ? 0.7 , ∴ g (4) ? ?0.05?16 ? 0.35? 4 ? 0.7 ? 1.3 (万元) 设 f ( x) ? abx ? c , ,由 f(1)=1,f(2)=1.2,f(3)=1.3,得

?ab ? c ? 1 ? ? 2 ? ?ab ? c ? 1.2? ?ab3 ? c ? 1.3 ? ? ?

?a ? ?0.8? ? ? 解得 ?b ? 0.5 ? ?c ? 1.4 ? ? ?

∴ f ( x) ? ?0.8 ? 0.5 x ? 1.4 , ∴ f (4) ? ?0.8 ?
1 ? 1.4 ? 1.35 (万件) 16

∵ f (4) ? 1.35 ,更接近于 4 月份的产量,故用 y ? abx ? c 作为横拟函 数较好,此函数的解析式为 f ( x) ? ?0.8 ? 0.5 x ? 1.4 [本课练习] 1、如果某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长 5﹪,那么经过 x 年可以使木材蓄积量增长到原来的 y 倍,则函数的图象 y=f(x)大致
y y y y

0

x

0

x

0

x

0

x

(A) 为 ( B )

(B)

(C)

(D)

2、按复利计算,若存入银行 5 万元,年利率 2﹪,3 年后支取,则可 得利息(单位:万元) A: 5(1 ? 0.02) 3 C: 5(1 ? 0.02) 3 -5 ( C ) B: 5(1 ? 0.02) 2 D: 5(1 ? 0.02) 2 -5

3、50000 元存款,储蓄 1 年后,从利息中取出 125 元,其余的钱加到 本金里再储蓄 1 年,第二年的利率降低 0.27 ﹪,利息比第一年少了 115.2 元,求第一年的利率. 解:设第一年的利率为 x﹪,则第一年的利息为 500x 元, 第二年的利息为[50000(1+x﹪)-125]×(x-0.27)﹪. 由题意,500x-[50000(1+x﹪)-125]×(x-0.27)﹪=115.2 化简得 5x 2 ? 2.6 x ? 19.4625? 0 由计算器计算得 x ? 2.25或x ? ?1.73 (舍去) , 所以所求第一年的利率为 2.25﹪。 4、已知桶 1 与桶 2 通过水管相连,开始时桶 1 中有 aL 水,ts 后剩余 的水符合指数衰减函数 y1 ? ae?nt ,那么桶 2 中的水就是 y2 ? a ? ae?nt ,假 定 5min 后,桶 1 中的水与桶 2 中的水相等,那么再过多少分钟桶 1 中 的水只有 L? 解:由题意得 ae?5n ? a ? ae?5n ,即 e ?5 n ?
a 4 a 4

1 2



设再过 tmin 后桶 1 中的水只有 L, 那么
ae ? n ( t ? 5 ) ? a , 4 e ? n (t ?5) ? 1 4

② ③
t ? 5.

所以将①式平方,得 e ?10 n ? 比较②、③,得

1 4

? n(t ? 5) ? ?10n ,

所以再过 5min 后桶 1 中的水只有 L.

a 4


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