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重庆高考理科数学试题解答题分类解析09-13概率与分布列期望


09-13 重庆高考数学理科试题分类解析----概率离散型随机变量的分布列
(2009 重庆理科 17 解答题第 2 题) . (本小题满分 13 分, (Ⅰ)问 7 分, (Ⅱ)问 6 分) 某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分 别为

2 1 和 ,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的 4 株大树中: 3 2
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

(Ⅰ)两种大树各成活 1 株的概率; (Ⅱ)成活的株数 ? 的分布列与期望.

(2010 重庆理科 17 解答题第 2 题) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分.) 在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排 在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为 1,2,?,6) ,求: (Ⅰ)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率; (Ⅱ)甲、乙两单位之间的演出单位个数 ? 的分布列与期望.

(2011 重庆理科 17 解答题第 2 题) (本小题满分 13 分。 (Ⅰ)小问 5 分(Ⅱ)小问 8 分.) 某市公租房房屋位于 A.B.C 三个地区,设每位申请人只申请其中一个片区的房屋,且 申请其中任一个片区的房屋是等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (Ⅰ)若有 2 人申请 A 片区房屋的概率; (Ⅱ)申请的房屋在片区的个数的 ? 分布列与期望。

(2012 重庆理科 17 解答题第 2 题)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且 先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球三次时投篮结束 . 设甲每次投篮投中的概率为

1 1 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各次投篮互不影响. 3 2
(1)求甲获胜的概率; (2)求投篮结束时甲的投篮次数 ? 的分布列与期望.

(2013 重庆理科 18 解答题第 2 题) .某商 场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次 摸奖中, 摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球, 再从装有1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球,根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数,设一.二.三等奖如 下: 奖级 一等奖 二等奖 三等奖 摸出红.蓝球个数 3红1蓝 3红0蓝 2红1蓝 获奖金额 200 元 50 元 10 元

其余情况无奖且每次摸 奖最多只能获得一个奖级。 (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E ? X ? 。

1

(2009 重庆理科 17 解答题第 2 题)解析: 设 Ak 表示甲种大树成活 k 株,k=0,1,2; Bl 表示乙种大树成活 l 株,l=0,1,2 则 Ak , Bl 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有

2 1 1 1 P ( Ak ) ? C k 2 ( ) k ( ) 2? k , P( Bl ) ? C l 2 ( )l ( ) 2?l . 据此算得 3 3 2 2 1 4 4 1 1 1 P ( A0 ) ? , P ( A1 ) ? , P ( A2 ) ? ; P ( B0 ) ? , P ( B1 ) ? , P ( B2 ) ? . 9 9 9 4 2 4 4 1 2 (Ⅰ) 所求概率为 P( A2 ? B1 ) ? P( A1 ) ? P( B1 ) ? ? ? . 9 2 9
(Ⅱ) 解法一: ? 的所有可能值为 0,1,2,3,4,且

1 1 ? ? , 4 36 4 1 1 ? ? ? , 9 4 6 1 1 4 1 4 113 P(? ? 2 )? P (A B )? P(2 A? 0B )? ? ? ? ? = ? , 0 ? B 2 )? P (1A ? 1 9 4 9 2 9 436 4 1 4 1 1 P(? ? 3) ? P( A1 ? B2 ) ? P( A2 ? B1 ) ? ? ? ? ? . 9 4 9 2 3 4 1 1 P(? ? 4) ? P( A2 ? B2 ) ? ? ? . 9 4 9
综上知 ? 有分布列为

1 P(? ? 0 )? P (A A ) ? P( ) 0 ? B 0 )? P (0 0B ? 9 1 1 P(? ? 1 )? P (A B )? ? 0 ? B 1 )? P (1A ? 0 9 2

?
P

0 1/36

1 1/6

2 13/36

3 1/3

4 1/9

从而, ? 的期望为 E? ? 0 ? 解法二:分布列的求法同上

1 1 13 1 1 7 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? (株) 36 6 36 3 9 3 2 3 1 2

令 ?1,?2 分别表示甲乙两种树成活的株数,则 ?1 : B(2, ),? 2 : B(2, ) 故有 E?1 =2 ? = ,E? 2 ? 2 ?

2 4 3 3

1 7 ? 1 ,从而知 E? ? E?1 ? E? 2 ? 2 3

(2010 重庆理科 17 解答题第 2 题)解析(命题意图:本小题主要考查等可能事件、随机变 量的分布列、数学期望等概念及相关计算,考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力. 其中第(2)问是课本上常见的类型题) : (Ⅰ)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数” ,则 A 表示“甲、乙的序号为偶 数” ,由等可能性事件的概率计算公式得 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?

C32 1 4 ? 1? ? . 2 5 5 C6

2

(Ⅱ)? 的所有可能值为 0,1,2,3,4,且 P(? ? 0) ?

5 1 4 4 ? , P(? ? 1) ? 2 ? , 6 C2 3 C6 15

P(? ? 2) ?

2 2 1 1 3 1 . ? , P(? ? 3) ? 2 ? , P(? ? 4) ? 2 ? 2 C6 5 C6 15 C6 15

从而知 ? 有分布列为:

?
P

0
1 3

1
4 15

2
1 5

3
2 15

4
1 15

所以, E? ? 0 ?

1 4 1 2 1 4 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 3 15 5 15 15 3
4

(2011 重庆理科 17 解答题第 2 题)解析:
2 (Ⅰ)所有可能的申请方式有 3 种,恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式有 C4 22 种,

从而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为

2 C4 22 8 ? 4 3 27

C32 24 ? 2 14 3 1 (Ⅱ) ,p ?? ? 2 ? ? , ? 的所有可能值为 1,2,3.又 p ?? ? 1? ? 4 ? ? 3 27 34 27
2 3 C4 A 4 p ?? ? 3? ? 4 3 ? 。综上知, ? 的分布列为: 3 9

?

?

?

1

2

3

1 14 4 27 27 9 1 14 4 65 ? 2 ? ? 3? ? 从而有 E? ? 1? 27 27 9 27

p

(2012 重庆理科 17 解答题第 2 题)解析: 设 Ak , Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中,则 P ? Ak ? ?

1 1 , P ? Bk ? ? , k ? ?1, 2,3? . 3 2

(1)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率 计算公式知, P ? C ? ? P ? A1 ? ? P A1 B1 A2 ? P A1 B1 A2 B2 A3

?

? ?

?

? P ? A1 ? ? P A1 P B1 P ? A2 ? ? P A1 P B1 P A2 P B2 P ? A3 ?

? ? ? ?
2

? ? ? ? ? ? ? ?

1 2 1 1 ? 2 ? ? 1 ? 1 1 1 1 13 ? . ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 3 3 2 3 ? 3 ? ? 2 ? 3 3 9 27 27

2

3

P ?? ? 1? ? P ? A1 ? ? P A1 B1 ? (2) 由独立性知, ? 的所有可能取值为 1, 2,3 .

?

?

1 2 1 2 ? ? ? , 3 3 2 3

2 1 1 ?2? ?1? 2 P ?? ? 2? ? P A1 B1 A2 ? P A1 B1 A2 B2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 2 3 ?3? ?2? 9 ?2? ?1? 1 P ?? ? 3? ? P A1 B1 A2 B2 ? ? ? ? ? ? .综上知, ? 有分布列为: ? 3? ? 2? 9

?

? ? ?

?
2

2

2

?

2

?
P

1

2

3

2 1 9 9 2 2 1 13 从而, E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? (次) . 3 9 9 9
(2013 重庆理科 18 解答题第 2 题)解析:

2 3

4


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