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高中数学人教版必修1课件:2.1.2 第一课时 指数函数及其性质


2.1.2 第一课时

指数函数及其性质 指数函数及其性质

指数函数的定义
[提出问题] 观察下列从数集A到数集B的对应: ①A=R,B=R,f:x→y=2x;
?1? ②A=R,B=(0,+∞),f:x→y=?2?x. ? ?

问题1:这两个对应能构成函数吗?

提示:能.
问题2:这两个函数有什么特点? 提示:底数是常数,指数是自变量.

[导入新知] 指数函数的定义
x y = a (a>0且a≠1) 叫做指数函数,其中x是自变量,函 函数

数的定义域为R.

[化解疑难 ] 指数函数的概念中规定 “ a>0,且 a≠ 1” 的原因 (1)若 a= 0,则当 x>0 时, ax= 0;当 x≤ 0 时, ax 无意义. (2)若 a<0,则对于 x 的某些数值,可使 ax 无意义.如(- 2)x, 1 1 这时对于 x= , x= ,?,在实数范围内函数值不存在. 4 2 (3)若 a= 1,则对于任何 x∈ R,ax= 1,是一个常量,没有研 究的必要. 为了避免上述各种情况的发生,所以规定 a>0,且 a≠ 1.在 规定以后,对于任何 x∈ R, ax 都有意义,且 ax>0.

指数函数的图象与性质
[提出问题] 问题 1:试作出函数 y=2 (x∈R)和
x

?1? y=?2?x(x∈R)的图象. ? ?

提示:如图所示:

问题2:两函数图象有无交点? 提示:有交点,其坐标为(0,1).
问题3:两函数的定义域是什么?值域是什么?单调性如何?
提示:定义域都是R;值域都是(0,+∞);函数y=2x是增函
?1? 数,函数y=?2?x是减函数. ? ?

[导入新知] 指数函数的图象和性质
a>1 0<a<1





性 质

定义域 值域

过定点 单调性

R ___ (0 ,+∞) _________ 1 过点 (0,1) ,即x= 0 时,y=__ 增函数 减函数 是R上的_______ 是R上的_______

[化解疑难] 透析指数函数的图象与性质 (1)当底数a大小不确定时,必须分a>1和0<a<1两种情况 讨论函数的图象和性质. (2)当a>1时,x的值越小,函数的图象越接近x轴;当 0<a<1时,x的值越大,函数的图象越接近x轴. (3)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二 象限.

指数函数的概念
[例1] (1)下列函数:


①y=2· 3x;②y=3x 1;③y=3x;④y=x3. 其中,指数函数的个数是 A.0 C.2 B.1 D.3 ( ) ( )

(2)若函数y=(a-2)2ax是指数函数,则 A.a=1或a=3 C.a=3 B.a=1 D.a>0,且a≠1

[解析]

(1)①中,3x的系数是2,故①不是指数函数;

②中,y=3x+1的指数是x+1,不是自变量x,故②不是指数 函数; ③中,y=3x,3x的系数是1,幂的指数是自变量x,且只有3x一 项,故③是指数函数; ④中,y=x3中底数为自变量,指数为常数,故④不是指数 函数.所以只有③是指数函数.
2 ? ??a-2? =1, (2)由指数函数定义知? ? ?a>0,且a≠1,

所以解得a=3.

[答案]

(1)B

(2)C

[类题通法] 判断一个函数是否为指数函数的方法 判断一个函数是不是指数函数,其关键是分析该函数是否具 备指数函数三大特征: (1)底数a>0,且a≠1; (2)ax的系数为1; (3)y=ax中a是常数,x为自变量,自变量在指数位置上.

[活学活用] 下列函数中是指数函数的是________(填序号). ①y=2· ( 2) ;②y=2
x x-1

?π? ;③y=?2 ?x; ? ?

1 1 ④y=xx;⑤y=3-x;⑥y=x 3 .

解析:①中指数式( 2)x的系数不为1,故不是指数函数;②中 y= 2
x-1

1 x = · 2 ,指数式2x的系数不为1,故不是指数函数;④ 2

中底数为x,不满足底数是唯一确定的值,故不是指数函数; ⑤中指数不是x,故不是指数函数;⑥中指数为常数且底数不 是唯一确定的值,故不是指数函数. 答案:③

指数函数的图象问题
[例2] (1)如图是指数函数①y=ax,②y=

bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与 1的大小关系为 A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c (2)函数y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的图象过定点________. ( )

[解析]

(1)由图象可知③④的底数必大于

1,①②的底数必小于1. 过点(1,0)作直线x=1,如图所示,在第一 象限内直线x=1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底 数,则1<d<c,b<a<1,从而可知a,b,c,d与1的大小关系为 b<a<1<d<c.

(2)法一:因为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点 (0,1),所以在函数y=ax 3+3中,令x=3,得y=1+3=4,即函


数的图象过定点(3,4). 法二:将原函数变形,得y-3=ax-3,然后把y-3看作是(x -3)的指数函数,所以当x-3=0时,y-3=1,即x=3,y=4, 所以原函数的图象过定点(3,4). [答案] (1)B (2)(3,4)

[类题通法] 底数a对函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”: 当a>1时,指数函数的图象“上升”;当0<a<1时,指数函数的 图象“下降”. (2)底数的大小决定了图象相对位置的高低:不论是a>1, 还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越靠近y轴. 当a>b>1时, ①若x>0,则ax>bx>1; ②若x<0,则1>bx>ax>0. 当1>a>b>0时, ①若x>0,则1>ax>bx>0; ②若x<0,则bx>ax>1.

[活学活用] 函数f(x)=ax与g(x)=-x+a的图象大致是 ( )

解析:当a>1时,函数f(x)=ax单调递增,当x=0时,g(0)=a >1,此时两函数的图象大致为选项A. 答案:A

与指数函数有关的定义域、值域问题
[例3] 求下列函数的定义域和值域:

[解] (1)要使函数式有意义,则1-3x≥0,即3x≤1=30. 因为函数y=3x在R上是增函数,所以x≤0, 故函数y= 1-3x的定义域为(-∞,0]. 因为x≤0,所以0<3x≤1,所以0≤1-3x<1, 所以 1-3x∈[0,1),即函数y= 1-3x的值域为[0,1).

(2)要使函数式有意义,则 x-4≠0,解得 x≠4,所以函数 的定义域为{x∈R|x≠4}.
1 1 1 因为 ≠0, 所以 2 x ?4 ≠1, 即函数 y=2 x ?4 的值域为{y|y>0 x-4

且 y≠1}. (3)要使函数式有意义,则-|x|≥0,解得 x=0,所以函数 y
?2? =?3? ? ? ?2? =?3? ? ?
-|x|

的定义域为{x|x=0}.而 的值域为{y|y=1}.

?2? y=?3? ? ?

-|x|

?2? =?3?0=1,则函数 ? ?

y

-|x|

[类题通法] 指数型函数的定义域、值域的求法 (1)求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察函数是 y=ax型还是y=af(x)型,前者的定义域是R,后者的定义域与f(x) 的定义域一致,而求y= f?ax? 型函数的定义域时,往往转化为 解指数不等式(组). (2)求与指数函数有关的函数的值域时,在运用前面介绍的 求函数值域的方法的前提下,要注意指数函数的值域为(0, +∞),切记准确运用指数函数的单调性.

[活学活用] 求下列函数的定义域和值域: 1 - ; 9

(1)y=

;(2)y=

3

2x-1

?1? 2 x-x 2 解:(1)对于任意的x∈R,函数y=?2? 都有意义,故函数y= ? ? ?1? 2 ? ? 2 x-x 的定义域是R. ?2?

(3)y=ax-1(a>0,且a≠1).

由2x-x =-(x-1) +1≤1,且函数y=
?1? ?1 ? 2 x-x 2 可知函数y=?2? 的值域是?2,+∞?. ? ? ? ?

2

2

?1? ? ? x在R上是减函数, ?2?

(2)要使函数解析式有意义,需 3

2x-1

1 - ≥0, 9

? 1 ? 1 解得 x≥- ,故函数的定义域是?-2,+∞?,函数的值域是[0, 2 ? ?

+ ∞ ). (3)函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的定义域是 R,值域是(0,+∞), 故函数 y=ax-1(a>0,且 a≠1)的定义域是 R,值域是(-1, + ∞ ).

5.利用换元法求函数的值域

[典例]

(12分)已知函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1),当x≥0

时,求函数f(x)的值域.

[解题流程]

[活学活用]
?1? ?1? x 求函数y=?4? +?2?x+1的值域. ? ? ? ?
?1? 解:令t=?2?x,则t>0, ? ?

y=f(t)=t

2

? 1 ?2 3 +t+1=?t+2? + . 4 ? ? ? 1? 2 ?t+ ? + 2? ?

因为函数f(t)=

3 在(0,+∞)上为增函数,所以y∈ 4

(1,+∞),即函数的值域为(1,+∞).

[随堂即时演练]
1.已知1>n>m>0,则指数函数①y=mx,②y=nx的图象为( )

解析:由于0<m<n<1,所以y=mx与y=nx都是减函数,故 排除A,B,作直线x=1与两条曲线相交,交点在下面的是 函数y=mx的图象,故选C. 答案:C

2.若函数y=(1-2a)x是实数集R上的增函数,则实数a的取值范 围为
?1 ? A.?2,+∞? ? ? ? 1? C.?-∞,2? ? ?

( B.(-∞,0)
? 1 1? D.?-2,2? ? ?

)

解析:由题意知,此函数为指数函数,且为实数集R上的增函 数,所以底数1-2a>1,解得a<0. 答案:B

3.当a>0,且a≠1时,函数f(x)=ax 1-1的图象一定过点______.


解析:当x+1=0,即x=-1时,显然f(x)=0,因此图象一定 过点(-1,0). 答案:(-1,0)

?1? 4.函数f(x)=?3?x-1,x∈[-1,2]的值域为________. ? ?

1 ?1?x 解析:∵-1≤x≤2,∴ ≤?3? ≤3. 9 ? ? 8 ?1?x ∴- ≤?3? -1≤2. 9 ? ?
? 8 ? ∴值域为?-9,2?. ? ? ? 8 ? 答案:?-9,2? ? ?

5.已知函数f(x)=a (1)求a的值;

x-1

? 1? (x≥0)的图象经过点?2,2?,其中a>0且a≠1. ? ?

(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.
? 1? 解:(1)因为函数图象过点?2,2?, ? ?

1 1 所以a = ,则a= . 2 2 ?1? - (2)f(x)=?2?x 1(x≥0), ? ? 由x≥0,得x-1≥-1,
2-1

?1? - ?1?- x 1 于是0<?2? ≤?2? 1=2. ? ? ? ?

所以函数的值域为(0,2].

课时跟踪检测见课时达标检测(十四)


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