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专题28 空间中的垂直关系


专题 28 空间中的垂直关系
姓名:
一、选择题 1 .若空间三条直线 a、b、c 满足 a ? b, b ? c ,则直线 a 与 c

分数:
( )

A.一定平行; C.一定是异面直线; 都有可能

B.一定相交; D .平行、相交、是异面直线 A1

D1 ( B1 )

C1

2 .在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,下列几种说法正确的是

A. A1C1 ? AD C. AC1 与 DC 成 45 ? 角

B. D1C1 ? AB D. A1C1 与 B1C 成 60 ? 角 A

D B ( )

C

3 .已知平面 ?、?、? ,则下列命题中正确的是

A. ? ∥ ?,? ? ?,则? ? ? B. ? ? ?,? ? ?,则? ∥ ? C. ? ? ? ? a,? ? ? ? b,? ? ?,则a ? b D. ? ? ?,? ? ? ? a,a ? b,则b ? ?
4 . 已知两条不同直线 m 、 n, 两个不同平面 α 、 β. 给出下面四个命题 :① m⊥α, n⊥α ? m//n

m ? ? , n ? ? ? m//n

② α//β, ③ m//n, m//α ? n//α ④ α//β, m//n, m⊥α ? n⊥β. 其中正确命题的序号是 ( ) ) C.①④ D.②③ (

A.①③

B.②④

5 .设 ?、、?、? 为平面, m、n、l 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是

A. ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? l C. ? ? ? , ? ? ? , m ? ?

B. ? ? ? ? m,? ? ? , ? ? ? D. n ? ? , n ? ? , m ? ?

6 .已知 a, b 是异面直线,下列四个命题中,真命题的个数为

①必存在平面 ? , ? 分别过 a, b ,使 ? // ? ; ②必存在直线 l ,使 l ⊥ a , l ⊥ b ; ③必存在平面 ? ,使 a ? ? ,且 b ? ? ④必存在平面 ? 过 a ,使 b ? ? . A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7 .如图:已知 ABCD 是矩形,且 PA ? 平面 ABCD ,下列结论中不正确的是 A. PB ? BC B. PD ? CD C. PB ? BD D. PA ? BD
8 .已知 a、 b、 c 是不重合的直线, ?、?、? 、? 是不重合的平面. 则下列命

P ( ( A ) ) D

B (

C )

题中正确的是

第 1 页 共 5 页

A.若 b ∥ ? , ? ? ? ? a ,则 a ∥ b . B. ? ? ? ? a ,若 b、c 在 ? 内的射影相互平行,则在 ? 内的射影也相互平行. C. ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ,若 ? ∥ ? , ? ∥ ? ,则 a ∥ b . D.若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? .
9 . 直角三角形 ABC 的直角边 AB 在平面 α 内,顶点 C 在 α 外,且 C 在 α 内的射影为 C1(C1 不在 AB 上),则△ ABC1

是 A. .直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 10.已知直线 m 和不同的平面 α,β,下列命题中正确的是 A.









? ??? ? ? m // ? m ? ??
m // ? ? ? ? ? // ? m // ? ?

B.

? ??? ??m? ? m ???

C.

D.

? // ? ? ? ? m // ? m ???

S ( )

11.如图,正四面体 S-ABC 中,D 为 SC 的中点,E 为 AB 的中点,则直线 BD 与 SE 一定

相互 A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 A E
12.已知 a, ? 是平面, m, n 是直线,则下列命题中不正确 的是 ...

D
( B )

C

A.若 m // a, a ? ? ? n, 则 m // n C.若 m ? a, m ? ? , 则 a // ?

B.若 m // n, m ? a, 则 n ? a D.若 m ? a, m ? ? , 则 a ? ? ( )

13.已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的

A.充分不必要条件 C.充要条件
14.下列命题中,正确的命题是

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

A.过空间任一点 P 均存在着与平面 ? 平行的直线 B.过空间任一点 P 均存在着与平面 ? 垂直的直线 C.过空间任一点 P 均存在着与平面 ? 平行的无数多条直线 D.过空间任一点 P 均存在着与平面 ? 垂直的无数多条直线 15.已知 m、 l 四异面直线,那么 ①必存在平面 a ,过 m 且与 l 平行; ③必存在平面 ? ,与 m、 l 都垂直; A.①②
二、填空题
第 2 页 共 5 页

②必存在平面 ? ,过 m 且与 l 垂直; ④必存在平面? ,过 m、 l 的距离都相等 C.②③ D.①④ ( )

B.①③

16.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,过对角线 BD1 的一个平面交 AA1 于 E,交 CC1 于 F,给出下列四个

结论: ①四边形 BFD1E 一定是平行四边形; ②四边形 BFD1E 有可能是正方形; ③四边形 BFD1E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形; ④平面 BFD1E 有可能垂直于平面 ABB1A1. 其中正确的结论有__________.(写出所有正确结论的编号) A E 17.下列命题正确 的序号是____________. .. (其中 l,m 表示直线, ? , ? , ? 表示平面) (1)若 l ? m, l ? ? , m ? ? , 则? ? ? ; (3)若 ? ? ? , ? // ? , 则? ? ? ; A1 B D F B1 D1 C1 C

(2)若 l ? m, l ? ? , m ? ? , 则? ? ? ; (4)若 l // m, l ? ? , m ? ? , 则? ? ?

18.AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在平面,C 是圆周上的任意 一 点 ,则 四 面 体

P -ABC 的 四 个 面 中 是 直 角 三 角 形 的 共 有
19.设 α、β、γ 是三个不同的平面,a、b 是两条不同的直线,给出下列 4 个命题:

个。

①若 a∥α,b∥α,则 a∥b; ②若 a∥α,b∥β,a∥b,则 α∥β; ③若 a⊥α,b⊥β,a⊥b,则 α⊥β; ④若 a、b 在平面 α 内的射影互相垂直,则 a⊥b. 其中正确命题的序号是____________.

P 、 Q 、 R 分别是表面 A1 B1C1 D1 、 BCC1 B1 、 20.棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点

ABB1 A1 的中心,给出下列结论:
① PR 与 BQ 是异面直线;② RQ ? 平面 BCC1 B1 ; ③平面 PQR ∥平面 D1 AC ;④过 P 、 Q 、 R 的平面截该正方体所得截面是边长为 2 的等边三角形. 以上结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号) 21.给出以下命题: ①已知命题 p、q,若“p 或 q”为真,则“p 且 q”为假; ②已知平面 α、β 均垂直于平面 γ,α∩γ=a,β∩γ=b,则 α⊥β 的充要条件是 a⊥b; ③若函数 f(x)为偶函数,则必有 f(-x)=f(x)=f(|x|)恒成立. 其中正确命题的番号是 . 22.如图,若边长为 4 和 3 与边长为 4 和 2 的两个矩形所在平面互相垂直,则

4 3

?
?

cos ? : cos ? ?
23 . P 为棱长为 1 的正方体

2

ABCD ? A1B1C1D1 表面上的动点,且 AP ? 2 ,则动点 P 的轨迹的长度为

________________.
24.在空间给出下列五个命题:

①如果两条直线 a 、 b 分别平行于直线 c ,则 a ∥ b ;
第 3 页 共 5 页

②如果直线 a 与平面 ? 内的一条直线平行,则 a ∥ ? ; ③如果直线 a 与平面 ? 内的两条直线都垂直,则 a ⊥ ? ; ④如果平面 ? 内的两条直线都平行于平面 ? ,则 a ∥ ? ; ⑤如果平面 ? 内的一条直线 a 垂直于平面 ? 内的任意一条直线,则 ? ⊥ ? 其中是真命题的是_____________ (将所有真命题的序号填上)
25.如图甲所示,在△ ABC 中,AB⊥A
2

C.AD⊥BC,D A B B D C C 图乙
D

是垂足,则 AB ? BD ? BC ,该结论称为射影定理. 如图乙所示,在三棱锥 A-BCD 中, AD⊥平面 ABC, AO⊥ 平面 BCD,O 为垂足,且 O 在△ BCD 内. 类比射影定理, 试探究 S?ABC 、 S ?BCO 、 S ?BCD 这三者之间满足怎样的关 系式_______________.

A

D O

图甲

C B

A
三、解答题 26.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中.

(1)求证:AC⊥平面 B1 BDD1 (2)求三棱锥 B-ACB1 体积. A1

D1 B1

C1

27.如图,ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD,M,N 分别为 PC,AB 中

点,求证:MN⊥PC.

28. 如图,四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点.

(Ⅰ)证明:PA∥平面 EDB; (Ⅱ)证明:DE⊥平面 PBC.

P
D

E
B E

C

29 . 已 知 四 棱 锥

P ? ABCD

底 面 是 直 角 梯

A P D

形 , BA ? AD , CD ? AD , PA ? 底面ABCD , CD ? 2 ,

PA ? AD ? AB ? 1 , E 为 PC 中点.
A

C B

第 4 页 共 5 页

(1)求证: BE ∥平面 PAD ; (2)求证: BE ? 平面PDC

D1
30.在直四棱住 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA 1

C1 B1
F E D C B

? 2 ,底面是边长为1 的 正方形, E 、 F 、 G 分别是棱 B1B 、 D1 D 、 DA 的中点. (Ⅰ)求证:平面 AD1E // 平面 BGF ; (Ⅱ)求证: D1E ? 面 AEC .

A1

G A

第 5 页 共 5 页


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