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2013东北师大附中高考第二轮复习 :专题二 《不等式综合能力训练》


2013 东北师大附中高考第二轮复习 :专题二 《不等式综合能力训练》
一、选择题 1.“x>y 且 m>n”是“x+m>y+n”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.不充分不必要条件 2.若 a <-5,则下列关系式中正确的是( A.a >-5a
4 3

) C.a <25
6

B.a <

2

?5 a

D.a> 3 ? 5

3.a,b∈R,且 a>b,则下列不等式中恒成立的是( A.a >b
2 2

) D.

B.(

1 a 1 b ) <( ) 2 2

C.lg(a-b)>0

a >1 b

4.若 a<0,-1<b<0,下面结论正确的是( ) 2 2 2 A.a>ab>ab B.ab>ab >a C.ab>a>ab 5.已知 a +b +c =1,那么下列不等式中成立的是( A.(a+b+c) ≥1
2 2 2 2

D.ab >ab>a )

2

1 B.ab+bc+ca≥ 2
D.ab >ab>a
2

C.|abc|≤

3 9

6.x 为实数,且|x-3|-|x-1|>m 恒成立,则 m 的取值范围是( A.m>2 B.m<2 C.m>-2

) D.m<-2 )

7.若 a、b、c、d 满足条件:c<d,a+d<b+c 和 a+b=c+d,则下列不等式中正确的是( A.a<c<b<d B.b<c<d<a C.c<a<b<d D.a<c<d<b 8.已知实数 x、y 满足 x +y =1,则(1-xy)(1+xy)(
2 2

)

1 ,也有最大值 1 2 3 C.有最小值 ,但无最大值 4
A.有最小值 9.若关于 x 的不等式 A.2

B.有最小值

3 ,也有最大值 1 4

D.有最大值 1,但无最小值

x?a >0 的解集为-3<x<-1 或 x>2,则 a 的取值为( x ? 4x ? 3 1 1 B. C.- D.-2 2 2
2



10.若 a>0,ab>0,ac<0,则关于 x 的不等式:
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c >b 的解集是( a?x



c <x<a} a c C.{x|a<x<a- } b
A.{x|a-
2

c 或 x>a} b c D.{x|x<a 或 x>a- } b
B.{x|x<a-
2

11.已知集合 A={x|x -2x-3>0},B={x|x +ax+b≤0},若 A∪B=R,A∩B=(3,4 ] 则有( A.a=3,b=4 B.a=3,b=-4
2



C.a=-3,b=4

D.a=-3,b=-4 )

12.若关于 x 的不等式: -ax-6a<0 有解且解区间长度不超过 5 个单位长, a 的取值范围是 x 则 ( A.-25≤a≤1 B.a≤-25 或 a≥1 C.-25≤a<0 或 1≤a<24 D.-25≤a<-24 或 0<a≤1 二、填空题 13.不等式(

1 x 2 ?8 -2x ) >3 的解集是 3



14.不等式

lg 2 x ? lg x 2 ? 6 <1 的解集是 lg x
2

。 。 ③(

15.若对于任意 x∈R,都有(m-2)x -2(m-2)x-4<0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 16.设 0<a<1,给出下面五个不等式①loga(a +1)<loga(a +1) a <a
a 2 2 3

②a >( 。

a 2

a a ) 2

a a a ) >a ④ 2

⑤loga(1-a)>0,其中不正确的不等式的序号是

三、解答题 17.解关于 x 的不等式: x 4 ? 4x 2 ? 4 <2x+1。

18.(1)若 x、y∈{(x,y)|x,y 是正实数集},且 x+y=1,求证: (1+

1 1 )(1+ )≥9; x y

(2)已知 x∈R,求证:-2≤

2x 2 ? 2x ? 1 <2。 x2 ? x ?1
x x

19.已在 a>0 且 a≠1,解关于 x 的不等式:1+log 1 (4-a )≥log 1 (a -1)
2 4

20.设 a<b,b>1,M=[a,b],函数 f(x)=x -2ax+a +1,x∈M, (1)求 f(x)的值域 N。 (2)求使[1-a,b-a+1] ? N 的 a 的取值范围以及 b 由 a 表示的取值范围。 21.已知函数 f(x)=x +px+q,对于任意θ ∈R,有 f(sinθ )≤0,且 f(sinθ +2)≥0; (1)求 p、q 之间的关系式; (2)求 p 的取值范围;
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2

2

2

(3)如果 f(sinθ +2)的最大值是 14,求 p 的值,并求此时 f(sinθ )的最小值。

22.设 f(x)=ax +bx+c,若 f(1)= x+
2

2

7 ,问是否存在 a、b、c∈R,使得不等式: 2

1 3 2 ≤f(x)≤2x +2x+ 对一切实数 x 都成立,证明你的结论。 2 2

参考答案
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【综合能力训练】 1.A 2.A 3.B 14.(0,

4.B

5.C

6.D

7.D

8.B

9.D

10.C

11.D

12.D

13.( - 2,4)

1 ) ? (1,100) 15.(-2,2) 16.③④ 1000
2 2

?x 2 ? 2x ? 3 ? 0 ?? 1 ? x ? 3 ? 17.[解]原不等式化为:|x -2|<2x+1 ? -2x-1<x -2<2x+1 ? ? 2 ? ? ?x ? 2x ? 1 ? 0 ? x ? ?1 ? 2 ?
或 x>-1+ 2 .∴不等式的解集是:-1+ 2 <x<3. 18.(1)令 x=sin2θ ,y=cos2θ 则(1+

1 1 1 1 )(1+ )=(1+ )+(1+ ) 2 x cos 2θ sin θ y

? (1 ? csc2 ? )(1 ? sec2 ? )
=(2+cot2θ )(2+tan2θ ) =5+2(tan2θ +cot2θ )≥5+2·2=9

2x 2 ? 2x ? 1 (2)令 y= ,去分母,整理得(y-2)x2+(2-y)x+y+1=0。当 y≠2 时,要方程有实数解,须Δ 2 x ? x ?1
=(2-y)2-4(y-2)(y+1)≥0 中,得 3=0,矛盾 ∴综上 y≠2,即得证. 19.[解] 原不等式化为 得-2≤y≤2, 又∵y≠2 ∴-2≤y<2, y=2 时,代入(y-2)x2+(2-y)x+y+1=0 当

?1 ? a x ? 4 ? 1 ? x x ?log 1 2 (4 ? a ) ? log 1 (a ? 1) 4 ? 2
由(2)推得 log 1
2

(1) ( 2)

1 1 1 ,(4-ax)≥ log 1 (ax-1) ? [ (4-ax)]2≤ax-1,整理得:(ax)2-12ax+20≤0。∴2 2 2 2 2

≤ax≤10. 即 2≤ax<4。∴当 a>1 时,loga2≤x<loga4. 当 0<a<1 时,loga4<x≤loga2。 20.[解](1)f(x)=(x-a)2+1,∵x∈M,即 x∈[a,b],∴函数 f(x)在区间[a,b]内单调递增,∴当 x=a 时 f(x) 有最小值 1,当 x=b 时,f(x)有最大值(b-a)2+1∴f(x)的值域 N=[1,(b-a2)+1]。 (2) ? 依题应有 ?
2 ? ?1 ? a ? 1

?b ? a ? 1 ? (b ? a ) 2 ? 1 ?

又∵b>1 时

∴a≤0,b∈ [a+1,+∞]. 21.[解] (1)∵-1≤sinθ ≤1,1≤sinθ +2≤3,∴原题设即为 x∈[-1,1]时,f(x)≤0,当 x∈[1,3]时,f(x)
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≥0。 ∴当 x=1 时,f(x)=0, ∴1+p+q=0 ∴q=-(1+p) (2)f(x)=x2+px+q=x2+px-(1+p),∵当 sinθ =-1 时 f(-1)≤0, ∴1-p-1-p≤0 ∴p≥0 (3)注意 f(x)在[1,3]上递增,∴当 x=3 时 f(x)有最大值,即 9+3p+q=14,9+3p-1-p=14, ∴p=3 此时 f(x)=x2+3x-4,求 f(sinθ )的最小值,即求当 x∈[-1,1]时 f(x)的最小值。又 f(x)=(x+ 显然此函数在[-1,1]上递增,∴当 x=-1 时,f(x)有最小值 f(-1)=1-3-4=-6。

3 2 25 )- 。 2 4

7 7 1 3 3 3 得 a+b+c= 。令 x2+ =2x2+2x+ ? x=-1,由 f(x)≤2x2+2x+ 推得 f(-1)≤ 。 2 2 2 2 2 2 1 3 3 由 f(x)≥x2+ 推得 f(-1)≥ ,∴f(-1)= 2 2 2 3 5 ∴a-b+c= ,故 2(a+c)=5,a+c= 且 b=1 2 2 5 ∴f(x)=ax2+x+( -a) 2 5 1 依题意:ax2+x+( -a)≥x2+ 对一切 x∈R 成立,即 (a ? 1) x 2 ? x ? (2 ? a) ? 0 都成立,∴a>1,且 2 2 3 3 Δ =1-4(a-1)(2-a)≤0。推得(2a-3)2≤0 ∴ a ? ,∴f(x)= x2+x+1 2 2 3 2 3 易验证: x +x+1≤2x2+2x+ 对 x∈R 都成立。 2 2 3 1 3 ∴存在实数 a= ,b=1,c=1 使得不等式 x2+ ≤f(x)≤2x2+2x+ 对一切 x∈R 都成立。 2 2 2
22.[解]由 f(1)=

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