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高三数学专题复习——应用题


高三数学专题复习——应用题
应用题是高考数学试题中一种常见型题, 是考察学生对语言表达问题的理解—— 即对阅读理解能力的考查。 也是考生失分较多的一种题型, 解答这类问题的要害是深 刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化 ,这就需要建立恰当的数学 模型。 应用题其实不难,主要是要认真解读题意,了解一些现实意义,读题要认真,要 把每句话的含义读懂,要将关键数据等在草稿纸上记下来,使题意一目了然。这样才 能列出有关式子, 从而解决问题。 其实, 只要列出了有关式子, 后面的解答就不难了! 应用题是切合社会实际, 是检验学生对社会实践活动的参与, 也是检验学生对所 学知识的掌握和灵活应用。 根据前几年的考题可知: 今年的应用题应落在与函数结合 的问题中,可能是环保问题、也可能是经济效益问题、还可能是与某实际图形结合的 问题等等。并注意高中与大学衔接部分——如:概率统计。 一、直击高考: (2014 年是与解三角形有关的问题) (2014?上海)如图,某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD,其中 D 为 顶端,AC 长 35 米,CB 长 80 米,设点 A、B 在同一水平面上,从 A 和 B 看 D 的仰角分别 为 α 和 β. (1) 设计中 CD 是铅垂方向, 若要求 α≥2β, 问 CD 的长至多为多少 (结果精确到 0.01 米) ? (2) 施工完成后, CD 与铅垂方向有偏差, 现在实测得 α=38.12°, β=18.45°, 求 CD 的长 (结 果精确到 0.01 米) .

(2013 上海)甲厂以 x千 克 / 小 时 的 速 度 运 输 生 产 某 种 产 品 ( 生 产 条 件 要 求

3 1? x ? 10 ) ,每小时可获得利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元. x
(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并 求最大利润. (2012 文、理 21) 海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方 向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度) ,则救援船恰好在失事 船正南方向 12 海里 A 处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线

12 2 x ;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发 t 小时后,失 49 事船所在位置的横坐标为 7t . (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标.若此时两船恰好 会合,求 y?
救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?

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二、典例精析 例 1:提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般况 下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数。 当桥上的的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不 超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明;当 20 ? x ? 200 时,车流速 度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 ? ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位: 辆/每小时) f ?x ? ? xv?x ? 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时)

v x

注:本题还是不难理解的,但是对于(Ⅱ)若没有给出 f ?x ? ? xv?x ? ,直接要你求车流 量的最大值,你是否知道就是求 f ?x ? ? xv?x ? 的呢?

例 2:某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比,比例 系数为 k .轮船的最大速度为 15 海里/小时.当船速为 10 海里/小时, 它的燃料费是每小时 96 元,其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时 150元.假定运行过程中轮船 以速度 v 匀速航行. (1)求 k 的值; (2)求该轮船航行 100 海里的总费用 W (燃料费+航行运作费用)的最 小值.

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例 3、 (2015 上海一模奉贤) .为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用 若干年时间更换一万辆燃油型公交车。每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为 电力型车和混合动力型车。今年初投入了电力型公交车 128 辆,混合动力型公交车 400 辆, 计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加 50% ,混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆.设 an 、bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,设 Sn 、Tn 分 别为 n 年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。 (1)求 S n 、 T n ,并求 n 年里投入的所有新公交车的总数 Fn ; (2)该市计划用 7 年的时间完成全部更换,求 a 的最小值.

例 4(理)① 某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9。 已知这组数据的平均数为 10,方差为 2,则|x-y|的值为( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 )

(理)②已知随机变量 ? 所有的取值为 1, 2,3 ,对应的概率依次为 p1 , p2 , p1 ,若随机变量

? 的方差 D? ?

1 ,则 p1 ? p2 的值是 2



(理)③一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a ,得 2 分的概率为 b ,不得分的概率 2 1 为 c (a、b、c ? (0,1)) ,已知他投篮一次得分的均值为 2 分,则 ? 的最小值为( ) a 3b 32 28 16 14 A. B. C. D. 3 3 3 3

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三、巩固提高 练习: 1、 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律: 每生产产品 x (百台) ,其总成本为 G(x)万元,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 100 台的生产成 本 为 1 万 元 ( 总 成 本 = 固 定 成 本 + 生 产 成 本 ), 销 售 收 入 R(x) 满 足 R(x)= ?

?? 0.4 x 2 ? 4.2 x ? 0.8 ?10.2

(0 ? x ? 5) .假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规 ( x ? 5)

律. (1)要使工厂有盈利,产品 x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时赢利最大?并求此时每台产品的售价为多少?

2、 (2014 上海二模)某厂使用两种零件 A、B 装配两种产品 P、Q,该厂的生产能力是月 产 P 产品最多有 2500 件,月产 Q 产品最多有 1200 件;而且组装一件 P 产品要 4 个 A、2 个 B,组装一件 Q 产品要 6 个 A、8 个 B,该厂在某个月能用的 A 零件最多 14000 个;B 零件最多 12000 个.已知 P 产品每件利润 1000 元, Q 产品每件 2000 元, 欲使月利润最大, 需要组装 P、Q 产品各多少件?最大利润多少万元.

3 、随着机构改革工作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员 2a 人 (140< 2a <420,且 a 为偶数) ,每人每年可创利 b 万元.据评估,在经营条件不变的前提 下,每裁员 1 人,则留岗职员每人每年 多创利 0.01b 万元,但公司需付下岗职员每人每 ... .... 年 0.4b 万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的 大的经济效益,该公司应裁员多少人?

3 ,为获得最 4

4/4

4、某商场经过市场调查分析后得知,2013 年从年初开始的前 n 个月内,对某种商品需 求的累计数 f ( n) (万件)近似地满足下列关系:

f ( n) ?

1 n(n ? 2)(18 ? n) , n ? 1 ,2 , 3 , ?, 12 90

(Ⅰ)问这一年内,哪几个月需求量超过 1.3 万件? (Ⅱ)若在全年销售中,将该产品都在每月初等量投放市场,为了保证该商品全年不脱 销,每月初至少要投放多少件商品?(精确到件)

5. 有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安全,交通部门规定。大 桥上的车距 d(m)与车速 v(km/h)和车长 l(m)的关系满足: d ? kv l ?
2

1 l (k 为正的常数) , 2

假定车身长为 4m,当车速为 60(km/h)时,车距为 2.66 个车身长。 (1)写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式; (2)应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多?

6. 电信局根据市场客户的不同需求,对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案,则两 种方案付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分) (MN 平行 CD) (1) 若通话时间为两小时,按方案 A,B 各付话费多少元? (2) 方案 B 从 500 分钟以后,每分钟收费多少元? (3) 通话时间在什么范围内,方案 B 比方案 A 优惠?

7 某商场在促销期间规定:商场内所在商品按标价的 80%出售;同时,当顾客在该商场内消 5/5

费一定金额后,按以下方案获得相应金额的奖券: 消费金额(元)的 范围 获得奖券的金 额(元)

[200,400)
30

[400,500)
60

[500,700)
100

[700,900)
130

?? ??

根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如:购买标价为 400 元 的商品,则消费金额为 320 元,获得的优惠额为:400×0.2+30=110(元) 。设购买商 品得到的优惠率=

购买商品得到的优惠额 ,试问 商品的标价

(1)购买一件标价为 1000 元的商品,顾客得到的优惠率是多少? (2)对于标价在[500,800](元)内的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到 不小于

1 的优惠率? 3

8、位于 A 处的雷达观测站,发现其北偏东 45°,与 A 相距 20 2 海里的 B 处有一货船 正以匀速直线行驶,20 分钟后又测得该船只位于观测站 A 北偏东 45? ? ? 0 ? ? ? 45
0

?

0

?

的 C 处, AC ? 5 13 .在离观测站 A 的正南方某处 E, cos ?EAC ? ? (1)求 cos? ; (2)求该船的行驶速度 v(海里/小时) ;


2 13 13

B

C θ A

E

9、为了寻找马航 MH370 残骸,我国“雪龙号”科考船于 2014 年 3 月 26 日从港口 O 出 6/6

发,沿北偏东 ? 角的射线 OZ 方向航行,而在港口北偏东 ? 角的方向上有一个给科考船 补给物资的小岛 A , OA ? 300 13 海里,且 tan ? ?

2 1 , cos ? ? .现指挥部需要紧 3 13

急征调位于港口 O 正东 m 海里的 B 处的补给船,速往小岛 A 装上补给物资供给科考 船.该船沿 BA 方向全速追赶科考船,并在 C 处相遇.经测算当两船运行的航线与海岸 线 OB 围成的三角形 OBC 的面积 S 最小时,这种补给方案最优. (1)求 S 关于 m 的函数关系式 S ( m) ; (2)应征调位于港口正东多少海里处的补给船只,补给方案最优? Z C· 北

·A
O
第 21 题图



· B

高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型 , 另外,估测计算型和信息 迁移型也时有出现.当然,数学高考应用性问题关注当前国内外的政治,经济,文化, 紧扣 时代的主旋律,凸显了学科综合的特色,是历年高考命题的一道亮丽的风景线.

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