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重庆八中2011届高三第二次月考数学(文)


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重庆八中 高 2011 级高三(上)第二次月考 数学试题(文科)
第 I 卷(选择题 共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设 f : x ?| x | 是集合 A ? {?2,0, 2} 到集合 B 的映射,象集为 C ,则 A ? C ? ( A. {0} B. {2} C. {0, 2} D. {?2, 0} ( D. ( ? ,1) 8 ( D. ?2 ) ) )

2.函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) ? 1 图象的一个对称中心是 4 A. (? ? ,0) 8 B. (? ? ,1) 8 C. ( ? ,0) 8

3 3.已知函数 f ( x) ? x ? sin x ? 1 ,若 f (a) ? 3 ,则 f (?a) =

A.3

B. ?3

C. ?1

4.若点 A( x, y) 是 300°角终边上异于原点的一点,则 B. ? 3

y 的值为 x
D. ?





A. 3

C.

3 3

3 3
( )

5.在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? a6 ? A. 1 2 B. ? 1 2

10? ,则 sin(a4 ? a7 ) 的值为 3
C.

3 3

D. ?

3 3
( )

6.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a ? (2,0),| b |? 1, 则 | a ? 2b | = A. 3 B.2 3 C.4 D.12

?

?

?

?

?

?

7.如图, y ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, 0 ? ? ? ? ? 的图象经过点 ? ? , 0 、 7? , 0 ,且最大值 6 6 为 2,最小值为 ?2 ,则该函数的解析式为
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?π 6

?

? ?

?

y
2





O

7π 6

x

?2

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3x ? ? ) 2 4 x ? B. y ? 2 sin( ? ) 2 4 3x ? ? ) C. y ? 2 sin( 2 6 x ? D. y ? 2 sin( ? ) 2 6
A. y ? 2 sin( 8.某人朝正东方向走 x km 后,向右转 150? ,然后朝新方向走 3 km ,结果他离出发点恰 好 3 km 那么 x 的值为 A. 3 B. 2 3 C. 2 3 或 3 D.3 ( )

9 . 已 知 等 比 数 列 {an } 满 足 an ? 0, n? N * , 且 a3 ? a2n?3 ? 4 n (n ? 1) , 则 当 n ? 1 时 ,

log2 a1 ? log a 3?? ? loga n2? 1? 2 2
A. n
2

( C. n(2n ? 1) D. (n ? 1)2



B. (n ? 1) 2

10.已知 F ? x ? ? f x ? 1 ? 1 是 R 上的奇函数, an ? f (0) ? f ( 1 ) ? f ( 2 ) ?? n n 2

?

?

? f ( n ? 1) ? f (1)(n ? N ? ) ,则数列 {an } 的通项公式为 n





A. an ? n ? 1

B. an ? n

C. an ? n ? 1

D. an ? n 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11. tan 2010? ? ;

12.在数列 ?an ? 中, a1 ? ?1, an?1 ? an ? 3n ? 1,则 an ? __________; 13 . 已 知 P 在 直 线 AB 上 , O 不 在 直 线 AB 上 , 且 OP ? ? 2 x ? 1? OA?? x? 2 OB 则 ? ,

????

??? ?

????

x?



14.已知 ? , ? ? 3? , ? , sin ?? ? ? ? ? ? 3 , sin ? ? ? ? 12 ,则 cos ? ? ? =____; 4 5 4 4 13 15.定义在 ?? ?,??? 上的偶函数 f ?x ? 满足 f ?x ?1? ? ? f ?x ? ,且在 ? ?1, 0? 上是增函数,下
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?

?

?

?

?

?

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面是关于 f ?x ? 的判断: ① f ?x ? 是周期函数; ② f ?x ? 的图像关于点 1 , 0 中心对称; 2 ③ f ?x ? 的图像关于直线 x ? 1 对称; ④ f ?x ? 在 ?0,1? 上是增函数; 其中正确的判断是 (把所有正确的判断都填上) . ..

? ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? 3 cos2 x ? (Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅲ)求 f (x) 图象的对称轴,对称中心.

3 ( x ? R) 2

17. (本题满分 13 分) 若 A, B, C 是平面直角坐标系中的共线三点,且 OA ? OB , OA ? ?2i ? mj ,

??? ?

??? ?

??? ?

?

?

??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? (其中 i , j 分别是直角坐标系 x 轴, y 轴方向上的单位 OB ? ni ? j , OC ? 5i ? j ,
向量, O 为坐标原点) ,求实数 m, n 的值.

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18. (本题满分 13 分) 市工商局于今年 3 月份,对市内流通领域的饮料进行了质量监督抽查,结果显示, 某种刚进入市场的 X 饮料的合格率为 80%,现有甲,乙,丙 3 人聚会,选用 6 瓶该饮 料,并限定每人喝两瓶,求: (Ⅰ)甲喝两瓶 X 饮料,均合格的概率; (Ⅱ)甲、乙、丙每人喝两瓶,恰有一人喝到不合格饮料的概率(精确到 0.01) .

19. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中 , a , b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 cos B ? ? b . cos C 2a ? c (Ⅰ )求角 B 的大小; (Ⅱ )若 b ? 13 , a ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

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20. (本题满分 12 分) 已知 f ( x) 是二次函数,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5), 且 f ( x ) 在区间 ? ?1, 4? 上 的最大值是 12. (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ) 是否存在实数 m, 使得方程 f ? x ? ? 37 ? 0 在区间 (m, m ? 1) 内有且只有两个不等的 x 实数根?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

21. (本题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公比 q ? 0 ,前 n 项和为 Sn .
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(Ⅰ)试比较

S3 S5 与 的大小; a3 a5
lg an lg a2 lg a3 ? ??? ? n(n ? N *) ,数列 {bn } 满足: 2 3 n

(Ⅱ)设 {an } 满足: lg a1 ?

bn ?

1 (lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg an ? lg k ) , 求数列 {an } 的通项公式和使数列 {bn } 成 n

等差数列的 正数 k 的值.

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参考答案

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.C 提示: C ? ?0, 2? , A ? C ? ?0, 2?

? 2 x ? ? ? 2k ? ? 2.B 提示:由 ? 得所有中心为 Pk k? ? ? ,1 k ? Z . 4 8 ?y ?1 ?

?

?

3.C 提示: f (a) ? 3 ? a3 ? sin a ? 2,? f (?a) ? ?a3 ? sin a ? 1 ? ?2 ? 1 ? ?1 4.B 提示:由任意角三角函数定义

y ? tan 300? ? ? tan 60? ? ? 3 . x

5.D 提示 : ?an ? 等差,故 a4 ? a7 ? a5 ? a6 , 所以 sin ? a4 ? a7 ? ? sin 10? ? ? sin ? ? ? 3 3 2 3 ? ? 2 ?2 ? ? ?2 ? 2 ? ? ?2 6.B 提示: a ? 2b ? a ? 3a? ? 4b ? a ? 3 a b cos 60? ? b ? 12 . b 7.A 提示:易得 A ? 2 、 T ? 4? ,所以 ? ? 2? ? 3 ; 3 T 2 又由图知 ? ? , 0 对应的相位为 2k ? ? k ? Z ? , 6 即 3 ? ? ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? k ? Z ? , ? ? ? . 4 4 2 6 8.C 提示:作出方位图,在三角形中用余弦定理得

?

?

? ?

? 3?

2

? x 2 ? 32 ? 2 ? x ? 3cos ?180? ? 150? ? ? x2 ? 3 3x ? 6 ? 0 ? x ? 3 或 2 3 .

9.A 提示: log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ? log2 ? a1a3 ? a2n?1 ? , 令 T ? a1a3 ? a2n?1 ,倒序相乘得 T 2 ? ? a1a2n?1 ?? a3 a2n?3 ??? a2n?1a1 ? ? ? a3a2n?3 ?
n

? 4n

? ?

n

? 22 n ,所以 T ? 2n ,?原式 ? log2 2n ? n2 .

2

2

2

10.C 提示: F ? x ? 为奇函数 ? F ? ? x ? ? F ? x ? ? 0 , f 1 ? x ? f 1 ? x ? 2 ,利用倒序相 2 2
n n

? ? ? ? 加,得 a ? a ? ? f ? 0? ? f ?1?? ? ? f ? 1 ? ? f ? n ? 1?? ? ? ? ? f ?1? ? f ? 0?? ? ? ? n ? ? n ? ? ?
? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? n ? 1? ,故 an ? n ? 1 . ?? ? ??
n ?1个2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. )
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11.

3 提示: 3. tan 2010? ? tan ?180? ? 11 ? 30?? ? tan 30? ? 3 3

12. 3 n2 ? 5 n 提示: an ? a1 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ? ? ? ? an ? an?1 ? 2 2

? ?1 ? 2 ? 5 ? ? ? ? 3n ? 4? ?

?1 ? ? 3n ? 4 ? ? n ? 3 n2 ? 5 n . 2 2 2

13.0 提示:A、B 、P 共线 ? 存在? ? R , 使 AP ? ? AB ? OP ? (1 ? ? )OA ? ?OB,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? OA 、 OB 不共线,

?1 ? ? ? 2 x ? 1 ? x ? 0. ? ?? ? x ? 2
14. ? 56 提示: ? , ? ? 3? , ? ? ? ? ? ? 3? , 2? , ? ? ? ? ? , 3? ,所以 65 4 2 4 2 4

?

?

?

?

?

?

cos ?? ? ? ? ? ? 1 ? sin 2 ?? ? ? ? ? 4 , 5

cos ? ? ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? ? ? 5 , 4 4 13

? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 4 ? ? ? 5 ? ? ? ? 3 ? ? 12 ? ? 56 . ? 4 4 ? 5 13 5 13 65 ? ?

15.①②③ 提示: f ?x ?1? ? ? f ?x ? ? f ? x ? 2? ? ? f ? x ? 1? ? ? ?? f ? x ?? ? f ? x ? , ? ? 周期 T ? 2 ,故①正确; f ? x ? 为偶函数 ? f ? ? x ? ? f ? x ? , 由 f ? x ? 1? ? ? f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? ? f ? ? x ? ? f ? x ? 图像关于 1 , 0 对称, 2 又 f ? x ? 图像关于 y 轴( x ? 0 )对称,故 x ? 1 也是图像的一条对称轴,故②③正确; 由 f ? x ? 为偶函数且在 ? ?1, 0? 上单增可得 f ?x ? 在 ?0,1? 上是减函数,故④错. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 13 分)

? ?

3 【解答】 f ( x) ? 1 sin 2 x ? cos 2 x = sin(2 x ? ? ) 3 2 2
(Ⅰ) T ? ? ; (Ⅱ)由 ? ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z ) 2 3 2

???3 分 ???5 分

? 5 可得单调增区间 [k? ? , k? ? ? ] ( k ? Z ) ,
12 12

???7 分

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由 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 3? ? 2k? (k ? Z ) 2 3 2 可得单减区间 [k? ? 5 ? , k? ? 11 ? ](k ? Z ) ; 12 12 (Ⅲ)由 2 x ? ? ? ? ? k? 得对称轴为 x ? 5? ? k? (k ? Z ) 3 2 12 2 由 2x ? ???9 分

?

? k? ? ? ? k? 得对称中心为 Pk ? ? , 0 ? , k ? Z. 3 ? 2 6 ?

???13 分

17. (本题满分 13 分) 【解答 1】∵ OA ? OB ,∴ ?2n ? m ? 0 , ∵ A 、 B 、 C 三点在同一直线上, ∴存在唯一的实数 ? 使得 AC ? ? AB , 而 AC ? OC ? OA ? 7i ? (m ? 1) j , ???6 分

??? ?

??? ?



???2 分

??? ?

??? ??? ? ?

?

?

??? ??? ??? ? ? ? ? ? AB ? OB ? OA ? (n ? 2)i ? (1 ? m) j ,
∴?

???8 分

?7 ? ? (n ? 2) , ?m ? 1 ? ? (m ? 1)
② ???10 分

消去 ? 得到 mn ? 5m ? n ? 9 ? 0 . 由 ①得到 m ? 2n ,代入②解得:

m ? 6, n ? 3 或 m ? 3, n ? 3 .
2
18. (本题满分 13 分)

???13 分

【解答】 (Ⅰ)记“第一瓶 X 饮料合格”为事件 A1 , “第二瓶 X 饮料合格”为事件 A2 ,

P ? A1 ? ? P ? A2 ? ? 0.8 , A1 与 A2 是相互独立事件,
则“甲喝 2 瓶 X 饮料都合格就是事件 A1 、 A2 同时发生,根据相互独立事件的概率乘法 公式得: P ? A A2 ? ? P ? A ? ? P ? A2 ? ? 0.8 ? 0.8 ? 0.64 1 1 ???6 分

(Ⅱ)记“一人喝到合格的 2 瓶 X 饮料”为事件 A , “三人每人喝 2 瓶 X 饮料只有一人 喝到不合格饮料”相当于进行 3 次独立重复试验,事件 A 发生两次. 根据 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率公式, 人喝 6瓶 X 饮料只有 1 人喝到 3
2 不合格的概率: P ? 2? ? C3 ? 0.642 ? ?1 ? 0.64? 3 3?2

? 0.44

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即甲、乙、丙 3 人中只有 1 人喝 2 瓶不合格的 X 饮料的概率为 0.44 19. (本题满分 12 分)

???13 分

2 2 2 2 2 2 【答案】 (Ⅰ)由余弦定理知: cos B ? a ? c ? b , cos C ? a ? b ? c .

2ac

2ab

将上式代入 cos B ? ? b 得: a ? c ? b ? 2 2ab 2 ? ? b 2a ? c 2ac cos C 2a ? c a ? b2 ? c
2 2 2

整理得: a 2 ? c 2 ? b2 ? ?ac

2 2 2 ∴cos B ? a ? c ? b ? ?ac ? ? 1 2ac 2 2ac

∵B 为三角形的内角,? B ?

2 ? 3

(Ⅱ)将 b ? 13 , a ? c ? 4 , B ? 2 ? 代入 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,得 3

b2 ? ? a ? c ? ? 2ac ? 2ac cos B ,
2

b2 ? 16 ? 2ac 1 ? 1 ,? ac ? 3 2
∴ ?ABC ? 1 ac sin B ? S

? ?

2

3 3 4

??12 分

20. (本题满分 12 分) 【解答】 (Ⅰ)? f ( x ) 是二次函数,且 f ( x) ? 0 的解集是 ? 0, 5?

? 可设 f ( x) ? ax( x ? 5)(a ? 0).
? f ( x) 在区间 ??1, 4? 上的最大值是 f ? ?1? ? 6a .
由已知,得 6a ? 12, ? a ? 2, ? f ( x) ? 2x( x ? 5) ? 2x ? 10x( x ? R).
2

??4

分 (Ⅱ)方程 f ? x ? ? 37 ? 0 等价于方程 2 x3 ? 10 x 2 ? 37 ? 0 x 设 h ? x ? ? 2x3 ? 10x2 ? 37 ,则 h ' ? x ? ? 6x2 ? 20x ? 2x ?3x ? 10? .

? ? 当 x ? ? 10 , ?? ? 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数. ??8 分 3 ? h ? 3? ? 1 ? 0 , h ? 10 ? ? ? 1 ? 0 , h ? 4? ? 5 ? 0 , 3 27 而在区间 ? 0, 3? 、? 4, ?? ? ? 方程 h( x) ? 0 在区间 ? 3, 10 ? 、? 10 , 4 ? 内分别有惟一实数根, 3 3
当 x ? 0, 10 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 3 内没有实数根,
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所以存在惟一的自然数 m ? 3, 使得方程 f ( x ) ?

37 ?0 x

在区间 (m, m ? 1) 内有且只有两个不同的实数根. ??12 分 21. (本题满分 12 分) 【解答】 (Ⅰ)①当 q ? 1 时, ②当 q ? 0 且 q ? 1 时,

S3 S S S ? 3 , 5 ? 5 ,∴ 3 ? 5 . a3 a5 a3 a5

S3 S5 q 2 (1 ? q3 ) ? (1 ? q5 ) ?1 ? q ? ? ? ? 0, a3 a5 q 4 (1 ? q) q4

此时也有

S S S3 S5 ? . 综上可知: 3 ? 5 . a3 a5 a3 a5
????4 分

(Ⅱ)当 n ? 1 时, lg a1 ? 1 ? a1 ? 10 .

lg a1 ?

lg an lg a2 lg a3 ? ??? ? n, 2 3 n



∴当 n ? 2 时, lg a1 ? 将①—②得:

lg an?1 lg a2 lg a3 ? ??? ? n ? 1, ② 2 3 n ?1

lg a n ?1, n

∴ lg an ? n ,∴ an ? 10n . 综上可知:对 n ? N , an ? 10n .
*

????8 分
n ( n ?1)

∴ bn ? 1 lg k (a1 a2 ? ? ? an ) ? 1 lg k (10 ? 102 ? ? ? 10n ) ? 1 lg[k ? 10 2 ] ? 1 lg k ? n ? 1 . n n n n 2 1 1 1 要使 {bn } 成等差数列,则 bn?1 ? bn ? ? ( ????10 ? ) lg k 为常数, 2 n ?1 n 分 故只须 lg k ? 0 ,即 k ? 1 . ????12 分

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