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高中数学 数列专题整合讲解


数列专题
基础知识梳理 1.数列:按 排列的一列数叫做数列;数列中的每个数都叫这个数列的项,记作 ;数列一般简记作 。 ,序号为

的项叫第 项,也叫通项,即 2.通项公式:如果数列 式。用

可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公

表示数列的通项公式,这里要注意同一个数列的通项公式的形式不一定唯一,不是每

个数列都有通项公式。 3.从函数观点看,数列实质上是定义域为 的函数,其图象是 。 4.数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;②按数列项与项之间的大小关系 分:递增数列, 数列, 数列, 数列。 5 递推公式定义:如果已知数列 的第 1 项(或前几项) ,且任一项 与 一项的 间的关系可以用一 等于同一个常数, 表示. 的等差中项,用等

个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 6..等差数列 一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它 这个数列就叫做等差数列. 7.等差中项 式表示为 由三个数 , = . . 为等差数列,且公差为 这个常数就叫做等差数列的 , 组成的等差数列,这时数

, 常用字母 叫做数 和

8.等差数列的通项公式 9. 等差数列的常见性质:若数列 (1) ;

,则此数列具有以下性质:

(2) (3)

; 则 .

10. 等差数列的前 项和公式 1:

公式 2:

.

11.在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列。 如: 公差为 ; 是等差数列;公差为 成等差数列. 12.等比数列
1/8



13.等差数列的性质 (1) (2)在等差数列中,若 (3) , , ; ,则 ,则数列 ,若 , , ,则 , , 为 ; 数列;

为等差数列,公差分别为

(4)在等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 差为 ;

,?为等差数列,公 ; 是不含

(5)等差数列的前 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,?也为等差数列,公差为 (6)通项公式是 常数项的二次函数的形式。 (注当 是一次函数的形式;前 项和公式 时,S n=na1, a n=a1)

(7)若





有最

值,可由不等式组

来确定 ;







有最

值,可由不等式组

来确定.

14.等比数列的性质

(1) (2)在等比数列中,若 (3)若 , ,

; ,则 ;若 , ,则数列 ; , , ,?为等比数列,公 ,则 , ; , ,

均为等比数列,且公比分别为 也为等比数列,且公比分别为

(4)在等比数列中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即
2/8

比为

; , , ,?也为等比数列,公比为 .

(5)等比数列的前 n 项和为 Sn,则

15.数列求和直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和: (1)等差数列的求和公式:

(2)等比数列的求和公式 16.数列求和倒序相加法:如果一个数列

(切记:公比含字母时一定要讨论) ,与首末两端等“距离”的两项的和等于同一常数,那么求

这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法,如等差数列的前 n 项和即是用此法推导的(阅读课本 39 页回顾 等差数列求和公式的推导过程) 。 17.数列求和错位相减法:数列 项和即可用此法来求 [深入探究]:错位相减法步骤是怎样进行的?需要注意哪些问题? 17.数列求和分组求和法:若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成, 则求和时可用分组转化法,分别求和。 18.数列求和裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式: ,其中 成等差数列, 成等比数列,那么这个数列的前 n

___________; 若 是等差数列,公差为 d 则

____________

___________;

___________; 典型例题: 例题 1. 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1)–1,7,–13,19,?; (3) ?; (2)

___________;

?;

(4)5,55,555,5555,?; (6)1,3,7,15,31,?.

(5)5,0,–5,0,5,0,–5,0,?;

例题 2. 如果

试写出数列
3/8

的前 3 项

例题 3. 已知数列

的前 项和为

,求数列

的通项公式;

例题 4. (1)已知数列 (2)已知数列

的前 项和

,则其通项 ,则其通项 =

= 。



的前 项和

例题 5. 已知数列 (1)若

. ,

①数列中有多少项是负数? ② 为何值时, (2)若 有最小值?并求出最小值. 且对于 ,都有 成立.求实数 的取值范围.

例题 6. 若数列

的通项公式为:

,设

,求数列

中的最大项.

例题 7. 已知数列 (1)求证:数列 (2)求数列

满足



,令



是等差数列; 的通项公式.

例题 8. 已知数列 _______.

是等差数列,若









4/8

例题 9. 在等差数列{an}中,已知 a5+a7=10,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S11 的值是 ( ). A.45 B.50 C.55 D.60[来源:学科网]

S4 S6 例题 10. 已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S1=1,S2=4,则S4的值为 ( ). 9 A.4 3 B.2 5 C.3 D.4

例题 11. 等差数列 例题 12. 已知

的前 项和为 是等差数列 ,

,已知 , 公差 ,

,则 为其前

的最小值为________. 项和 , 若 成等比数列 , 则

例题 13. 数列 (1)求证:数列 (2)并求数列

的前 项和为 是等比数列; 的通项公式.

,若



.

例题 14. 在数列 (1)证明数列 (2)求数列

中, 是等比数列; 的通项公式.

.

例题 15. 等比数列 (1)求数列

满足:



,且公比

.

的通项公式; ,求 的值.

(2)若该数列前 项和

例题 16. 已知首项为 的等比数列 (1)求数列 的通项公式;

的前 项和为



) ,且





成等差数列.

5/8

(2)证明:



) .

例题 17. (1)在等比数列

中,已知 , ,则

, , .

, ,则

=

. ____

(2)已知各项均为正数的等比数列 (3)在等比数列 中, ,

例题 18. 数列 (1) 求数列 (2) 等差数列 求 .

的前 n 项和记为 的通项公式;



的各项为正,其前 n 项和为

,且

,又

成等比数列,

例题 19. 已知数列 求:(1)数列 (2)数列 ,

为等差数列, 且 的通项公式 的前 项和 .



为等比数列, 数列

的前三项依次为 3,7,13.

例题 20. 设曲线 正奇数) ,且对任意 (1) 求出 ,点

处的切线为 ,数列 均在直线 上。

的首项

(其中常数 m 为

的通项公式;
6/8

(2) 令

,当

恒成立时,求出 n 的取值范围,使得



例题 21. 已知数列 的图象上. (1)求数列

的前 n 项和为

,对一切正整数 n,点(Sn,n)都在函数

的通项公式;

(2)设

,求数列

的前 n 项的和 Tn.

例题 22. 已知 . (1) 求数列 (2) 记

是等差数列,其前 n 项和为 Sn,

是等比数列,且





的通项公式; 证明

例题 23.已知数列{an}的前 n 项和 Sn,

例题 24. 已知数列{an}满足

且 a1=2,求 an.

例题 25. 已知数列{an}满足



,求 an

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例题 26.

,求 an.

例题 27. 在数列{an}中,

,求通项 an

例题 28. 在数列{an}中,

,求通项 an.

例题 29. 已知数列

的通项公式

,求数列

的前 n 项和



例题 30. 求数列

的前 n 项和.

例题 31. 设数列{an}满足 a1+3a2+3 a3+?+3 (1)证明:数列{an}为等比数列;

2

n-1

an=3,n∈N*.

n

(2)设

,求数列{bn}的前 n 项和 Sn

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