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试题探究三种“境界”——2013年高考江西卷第20题纵向、横向、拓展探究及反思


2013年8月

同圈圈蔺

坛 线

试题探究三种“境界"
——2013年高考江西卷第20题纵向、横向、拓展探究及反思
◎江苏省西亭高级中学
陆王华

2013年高考江西卷第20题为解析几何题,它是一道 考查了椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、直线的斜率 等知识的综合试题,看似常规,却彰显对常规数学思想方 法以及通性通法的运用,突出“淡化层次内的区分,强化 层次间的区分”的评价理念,考查了学生综合应用知识及

由{y翥≥得c…2肛砒铀以毛乙批o.
谢(戈l,y1),日(戈2,弛),

贿舭F淼朋声等等.
后硎:—旦,||}萨—旦,矗萨三—-生=五一三,
戈l—c 菇2一c

探究问题的能力,值得继续学习与研究. 一、试题呈现
题目

y广堡 yl一一

n一旦 y2-一

旦七一旦 一托一一
竺一r



(2013年高考江西卷理科第20题):如图1,椭

圆c:等+吾=1(口>6>o)经过点 P(?,丢),离心率e=÷,直线z
的方程为戈=4. (I)求椭圆C的方程;
图1

所以后用+矗罔:——旦+——旦
茗l—C 菇2一C

y广一y2-一

62

62

y只川∥,一。(y。坳)一旦(戈,帆:)+兰堕



(戈1一c)(戈2一c)

又因为y1戈川谚l=2玩许2^c(计慨2),yl呵F矗(zl慨2)一2而c,
所以

(ⅡM日是经过右焦点础勺任一弦(不经过点户),设直

线A曰与直线2相交于点M,记PA,咫,删的斜率分别为忌。,
后:,后,问:是否存在常数A,使得南,“:=从,?若存在,求A的
值;若不存在,说明理由. 二、试题探究 1.纵向探究

h“萨—二乏老面产
2概佛:一f 2矗。+!‰慨:)+2后。2+三堕
戈1茗2一c

L戈l+名2』+c。

2矗(矾2c2.铂:)一f2詹。+堡1(2施2c)+f2_j}。2+呈堕1(矾2+6z)
(矾2c2-扔z)_c(2觑2c)+c2(以2+62)

妣62c2_2矗0262+丝一26‰+丝
竺:



不难发现,戈:4恰好是准线戈:!,定点P(1,要1恰好
是f。,竺1,这是偶然还是必然?“.j}。如212磷对一般的椭圆
是否也成立?经过探究可以得下面结论:

一c忍2+c262

竺:2.]I一丝.
—64


又后f^F后一三,故后埘+忌fB=2矗f"


上面的结论中,点腋省轴上,很自然联想到,若将点F
改在y轴上,情况如何? 笔者通过探究得到如下结论: 结论2:如图2,已知椭圆C:



结论1:点P(c,等)是椭圆c:吾+吾=l(口>6>o)上一


o/



D‘

点.AB是经过右焦点F(c,0)且不垂直于戈轴的任一弦(不



过点P),设直线A曰与准线f:戈=竺相交于点肘,记黝,咫,

三+等=1(口>6>o),F(o,s)(一6<s<
(r D一

肼的斜率分别为后崩,||}胁矗朋,则五舟“罔=妣朋.

6且s≠0)为短轴上一点,点P(£,s)
L2

刃 静。 1K。/’
图2

证明:设直线A曰的方程为尸.|}(石一。),则Mf生,竺后1,
万方数据

在椭圆上,直线Z的方程为y=生.

高中版中。?擞-?黧——一



同盈
后fM,矗馏,而删,贝0矗崩+矗罔=2七删.
3.拓展探究

2013年8月

A曰是经过点j’且小垂豆石轴的仕一弦(小经过点P),议直 线A B与直线Z相交于点肘,若以,咫,肼的斜率存在且分

为F,彤1上茗轴,A曰是经过焦点珀勺任一弦(不过尸点),设直

线A曰与准线z相交于点M,记尉,咫,删的斜率分别为

别为kkk则去+去=丢.
证明:由结论1的证明得

由题意,尼。+后z=一三岩,后-后z=:;;专;等,
(1+2,醛)n:‰2+2(c疗瑚+62nt)J|}+62+26硫f=0.

上述结论l中,直线一定要过焦点码?若坐标改为
(m,0),准线变为直线Z:并=兰,上述结论还成立吗?通过
探究,得到下面结论:

于是去+去一2鲁芝等,
因为直纵B过点只o,。),所以m一土,

结论5:点Pfm,旦、/孺)是椭圆c:≤+丢:1(D6>
\ 口 /



6‘

0)上一点.AB是经过只m,0)的任一弦(不过瞧),设直线
A日与直线z:戈=兰相交于点M,记以,船,m,的斜率分别
为后崩,后用,后肌则矗m“.阳==妣胼

所以去+}2篆等越等斗一前
将y:竺代MB方程,得

证明:设直线A日的方程为{舻m“co瞅’代入椭圆方
【y=tslna,

以川+n(等q)=1’
所以 吼
●一如

程6‰2+nV一扔2=0得(62cos缸+施in缸)f2+26硫cosa+6‰2一
扔z=o,

茅_

●一m

声_





由韦达定理有£,+£:=一i型字鲁,z。£:=
6七0s龟+盯%ln‘理
m m

百!譬二擘≥.把戈:生代人直线AB的方程可得y:旦兰!生 6‘cOs钮+鹏m钮
tand,即肘f竺,竺竺tan“1,设A(m+tlc咖^sind),B(m+
£2cosa,£2sind),J听以

又因为(∽)在椭圆上,所以s2—62-一警,于是去=m一 鲁卿去亡丢.
2.横向探究 对于双曲线和抛物线也有类似结论:

后萨—!———生一:tan仅一—生,
竺一m

——tan仪一——。V矿一m产 堡兰壁ta呶一鱼、/再孑

口、/存m2

结论3:点P(c,等)是双曲线c:吾一吾=,(。>。,6>。)


n,



,)‘

上一点.A曰是经过右焦点只c,0)的任一弦(不过P点),设

直线4B与右准线Z:戈=竺相交于点M,记尉,咫,肼的斜
率分别为无用,矗用,南刑,则||}尉“萨觋朋(证明略).

托尉=——=tand一——, 坼竺兰:兰!瑚一!盟,






V旷一m。

后萨———生—~:ta艘一塑型. o竺:兰!瑚艘一!盟.


结论4:点P(等,p)是抛物线G:严=2p戈(p>o)上一点. A曰是经过焦点F(号,o)的任一弦(不过瞧),设直线4B
与准线z:戈一要相交于点M,记PA,瑚’,用f的斜率分别为
后崩,.j}甩,矗肼,则后崩“萨觋朋(证明略).

坼后旷flana一坚1+ftan仅一坚)
mlCOSa




m'c0Sa



:2tana一!!圭翌!型!!
mlf2cOsd

:2t删一!!圭蜂二垫至竺竺!! 僦os瞍(6锄2_0262)
:2tana一

据圆锥曲线的对称性,改变焦点趿相应准线的位
置,上述结论也同样成立. 于是得到圆锥曲线的一个统一定理: 定理:点P是圆锥曲线E上一点,准线为Z,对应的焦点

趴佩
垄竺



又因为庇舻ta眦一—』旦一,所以盎PA“甩=2七朋.
n、,蕾一m÷

——霹一十??善l:-7高中版
万方数据

2013年8月

回国固固

坛 线

立足基础,突出能力,注重思维,锐意创新
——2013年安徽省高考数学试题评析与教学启示
◎安徽省六安中学陆学政(特级教师) ⑩安徽省六安一中 袁家锋

2013年是安徽省实施新课程标准以来的第五次高
考,总体来看,数学试卷充分尊重了文理差异,在结构、题 量、分值分布、主干知识考查等方面延续了前几年的自主 命题风格,试题背景公平、科学规范、设计新颖,遵循了数 学的学科特点,选材源于教材又高于教材,既注重考查学 生对基础知识、基本技能、基本数学思想方法的理解与掌 握,又注重考查学生继续学习应具备的数学素养和潜能,

不高,学生只要能耐心审题,把握问题的实质,便不难找 到解题思路. 2.突出能力.背景新颖 今年安徽省高考试题进一步突出了对学生能力的考 查力度,试题构思巧妙、背景新颖、淡化形式、注重本质, 回避了模式化的“题型、套路”,能真正反映出考生的数学 素养.如文科第(20)题(理科第(17)题)以新定义“区间长

具有较强的选拔功能,为今后的中学数学教学起到了很 好的导向作用.
一、试题评析
1.立足基础。层次分明

度”为载体,将函数导数、方程、不等式等知识有机地融合 在一起,考查了学生综合应用数学知识解决问题的能力
以及分类讨论等重要思想方法.又如,学生习惯于根据已 知的递推公式求数列的通项公式,并熟记了这方面的各 种题型,只要“对路”,“一套了之”,而理(14)题则要求学 生能从平面几何的相似图形中提炼出数列的递推关系, 只要有了递推公式,求出通项公式就轻而易举了,重心前 置,效果明显. 解析几何解答题近几年一直是安徽省的特色试题, 2013年也不例外,主要表现在两个方面:一是以高等几 何中的极点、极线(包括切线)等为背景,题干简洁,结论 优美,内涵丰富;二是淡化固定的解题程序,即联立直线

无论是文科还是理科试卷,无论是客观题还是主观 题,都是按照由易到难排列,朴实自然、层次分明,很多题 目立足基础、人手容易,只要概念清楚,知识结构牢固,解 题基本功扎实,就能顺利解决,如文科选择题(1)~(7)、填 空题(11)。(13),理科选择题(1)~(7)、填空题(11)(12), 均属于“送分题”,有利于考生情绪的稳定和水平的正常 发挥;文科选择题(10)、填空题(15)、解答题(20)(21),理 科选择题(9)、填空题(14)(15)、解答题(19)(20)(21),相 对来说有一定的难度,少数题目甚至难度较大,对选拔优

与曲线方程一消元得到关于茗(或,,)的一元二次方程一
利用判别式、韦达定理等“设而不求”,而是突出解析几何

秀学生起到了关键作用;其余题目属于中等难度题,门槛

的学科本质——解析法(坐标法),重点考查数形结合思

类比可得,双曲线和抛物线也有下面结论:

与直线z:石=一m相交于点M,记PA,咫,m,的斜率分别为
先麒,矗甩,七删,贝4危胤+矗甩=2矗刖(证明略). 在平时课堂教学中,我们不仅要得到问题的答案,更 要让学生知道问题的一般规律即数学本质.正确认识必 然性与偶然性的辩证关系对于学习和研究数学有重要的
D‘

结论6:点Pfm,旦、佩)是双曲线c:丢一等:l(口>






0,6>0)上一点.AB是经过甙m,O)的任一弦(不过瞧),设


直线AB与直线f:戈=竺相交于点M,记以,f留,删的斜率
,扎

指导意义.在新课改理念指引下,就是要培养学生透过大 量的偶然性的表面现象去揭示其中蕴涵的一般规律,由
现象认识本质,由个别到一般,由经验上升为理论,这一 点在新课改中显得尤为重要.■

分别为后用,I|}甩,后刑,则||}瑚如甩=2.|}刖(证明略).

结论7:点P(m,、/甄)是抛物线c:广=2p石(|P>o)上
一点.AB是经过F(m,O)的任一弦(不过P点),设直线AB

万方数据

高中版中。?擞??-___一

试题探究三种“境界”——2013年高考江西卷第20题纵向、横向、拓 展探究及反思
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 陆王华 江苏省西亭高级中学 中学数学 Middle School Mathematics 2013(15)

引用本文格式:陆王华 试题探究三种“境界”——2013年高考江西卷第20题纵向、横向、拓展探究及反思[期刊论文]-中学数学 2013(15)


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