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【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 理 新人教A版


第二节

命题及其关系、充分条件与必要条件

1.命题的概念

在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以 判断真假 的 陈述句叫做命题. 其中 判断为真 的语句叫真命题,判断为假 的 语句叫假命题.

2.四种命题及相互关系

3.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有 相同 的真假性;
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题, 它们的真假性 没有 关 系.

4.充分条件与必要条件
(1)如果 p?q,则 p 是 q 的 充分条件 ,q 是 p 的 必要条件 .
(2)如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的 充要条件 .

1.易混否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又 否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.
2. 注意区别 A 是 B 的充分不必要条件(A?B 且 B 与 A 的充分不必要条件是 B(B?A 且 A A);

B)两者的不同.

[试一试] 1. (2013· 福建高考)设点 P(x, y), 则“x=2 且 y=-1”是“点

P 在直线 l:x+y-1=0 上”的 A.充分而不必要条件

(

)

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:“x=2且y=-1”满足方程x+y-1=0,故“x=2且y=
-1”可推出“点P在直线l:x+y-1=0上”;但方程x+y-1 =0有无数多个解,故“点P在直线l:x+y-1=0上”不能推出 “x=2且y=-1”,故“x=2且y=-1”是“点P在直线l:x+y -1=0上”的充分不必要条件.

答案:A

2.“在△ABC 中,若∠C=90° ,则∠A、∠B 都是锐角”的否命 题为:____________________.
解析:原命题的条件:在△ABC 中,∠C=90° , 结论:∠A、∠B 都是锐角.否命题是否定条件和结论. 即“在△ABC 中, 若∠C≠90° , 则∠A、 ∠B 不都是锐角”.

答案: “在△ABC 中, 若∠C≠90° , 则∠A、 ∠B 不都是锐角”

1.判断充分条件和必要条件的方法

(1)命题判断法:
设“若 p,则 q”为原命题,那么:

①原命题为真,逆命题为假时,p 是 q 的充分不必要条件;
②原命题为假,逆命题为真时,p 是 q 的必要不充分条件;

③原命题与逆命题都为真时,p 是 q 的充要条件;
④原命题与逆命题都为假时,p 是 q 的既不充分也不必要条件.

(2)集合判断法:

从集合的观点看,建立命题 p,q 相应的集合:p:A={x|p(x) 成立},q:B={x|q(x)成立},那么:

①若 A?B,则 p 是 q 的充分条件;若 A B 时,则 p 是 q 的 充分不必要条件;
②若 B?A,则 p 是 q 的必要条件;若 B A 时,则 p 是 q 的 必要不充分条件;

③若 A?B 且 B?A,即 A=B 时,则 p 是 q 的充要条件.

(3)等价转化法:

p 是 q 的什么条件等价于綈 q 是綈 p 的什么条件.
2.转化与化归思想

由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而当 判断一个命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题 的真假.

[练一练]

1. (2014· 济南模拟)设 x∈R, 则“x2-3x>0”是“x>4”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析: 由 x2-3x>0 得 x>3 或 x<0, 此时得不出 x>4, 但当 x>4 时,不等式 x2-3x>0 恒成立,所以正确选项为 B .
2.与命题“若 a∈M,则 b?M”等价的命题是________.

解析:原命题与其逆否命题为等价命题.
答案:若 b∈M,则 a?M

π 1.命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是 4 π A.若 α≠ ,则 tan α≠1 4

(

)

π B.若 α= ,则 tan α≠1 4

π π C.若 tan α≠1,则 α≠ D.若 tan α≠1,则 α= 4 4 π 解析: 命题“若 α= , 则 tan α=1”的逆否命题是“若 tan α≠1, 4
π 则 α≠ ”. 4
答案:C

2.以下关于命题的说法正确的有 ________(填写所有正确命题的序 号).

①“若 log2a>0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是 减函数”是真命题;
②命题“若 a=0, 则 ab=0”的否命题是“若 a≠0, 则 ab≠0”;

③命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆命题为真命 题;

④命题“若 a∈M, 则 b?M”与命题“若 b∈M, 则 a?M”等价.

解析:对于①,若 log2a>0=log21,则 a>1,所以函数 f(x)=logax 在其定义域内是增函数,故①不正确;对于②,依据一个命题的否 命题的定义可知,该说法正确;对于③,原命题的逆命题是“若 x +y 是偶数,则 x、y 都是偶数”,是假命题,如 1+3=4 是偶数, 但 3 和 1 均为奇数,故③不正确;对于④,不难看出,命题“若 a ∈M,则 b?M”与命题“若 b∈M,则 a?M”是互为逆否命题,因 此二者等价,所以④正确.综上可知正确的说法有②④.
答案:②④

[类题通法]
在判断四个命题之间的关系时, 首先要分清命题的条件与结 论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题 关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应的有了它的 “逆命题”“否命题”“逆否命题”; 判定命题为真命题时要进 行推理,判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概 念的命题的判定要从概念本身入手.

[典例]

(1)(2013· 山东高考)给定两个命题 p,q.若綈 p ( )

是 q 的必要而不充分条件,则 p 是綈 q 的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2013· 北京高考 )“φ =π ”是“曲线 y= sin(2x +φ )过坐 标原点”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

链 接

若A?B,则A是B的充分条件; 若B?A,则A是B的必要条件; 若A?B,B?A,则A是B的充要条件;

[解析]

(1)由 q?綈 p 且綈 p

q 可得 p?綈 q 且綈 q

p ,

所以 p 是綈 q 的充分而不必要条件. (2)由 sin φ=0 可得 φ=kπ(k∈Z), 此为曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点的充要条件, 故“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而 不必要条件.

[答案] (1)A

(2)A

[类题通法]

充要条件的判断,重在“从定义出发”,利用命题“若 p,则 q”及其逆命题的真假进行区分,在具体解题中,要注意分清“谁 是条件”“谁是结论”,如“A 是 B 的什么条件”中,A 是条件, B 是结论,而“A 的什么条件是 B”中,A 是结论,B 是条件.有 时还可以通过其逆否命题的真假加以区分.

[针对训练]

下列各题中,p 是 q 的什么条件?
(1)在△ABC 中,p:A=B,q:sin A=sin B;
(2)p:|x|=x,q:x2+x≥0.

解:(1)若 A=B,则 sin A=sin B,即 p?q. 又若 sin A=sin B,则 2Rsin A=2Rsin B,即 a=b. 故 A=B,即 q?p. 所以 p 是 q 的充要条件. (2)p:{x||x|=x}={x|x≥0}=A, q:{x|x2+x≥0}={x|x≥0,或 x≤-1}=B,∵A B, ∴p 是 q 的充分不必要条件.

[典例]

已知 P={x|x2-8x-20≤0},S={x|1-m≤x≤1

+m}. (1)是否存在实数 m ,使 x ∈ P 是 x ∈S 的充要条件,若存

在,求出 m 的范围;
(2)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的必要条件,若存 在,求出 m 的范围.

集合A与B有 什么关系?

集合A与B有 什么关系?

[解]

(1)由 x2-8x-20≤0 得-2≤x≤10,

∴P={x|-2≤x≤10}, ∵x∈P 是 x∈S 的充要条件,∴P=S,
? ?1-m=-2, ∴? ? ?1+m=10, ? ?m=3, ∴? ? ?m=9,

这样的 m 不存在. (2)由题意 x∈P 是 x∈S 的必要条件,则 S?P.
? ?1-m≥-2, ∴? ? ?1+m≤10,

∴m≤3.

综上,可知 m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件.

保持本例条件不变,若綈 P 是綈 S 的必要不充分 条件,求实数 m 的取值范围. 解:由例题知 P={x|-2≤x≤10},

∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件, ∴P?S 且 S? / P. ∴[-2,10] [1-m,1+m].
? ?1-m≤-2, ∴? ? ?1+m>10 ? ?1-m<-2, 或? ? ?1+m≥10.

∴m≥9,即 m 的取值范围是[9,+∞).

[类题通法]

利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围,其 依据是充分、必要条件的定义,其思维方式是:

(1)若 p 是 q 的充分不必要条件,则 p?q 且 q? / p;

(2)若 p 是 q 的必要不充分条件,则 p? / q,且 q?p;
(3)若 p 是 q 的充要条件,则 p?q.

m 1 (2013· 浙江名校联考)一次函数 y=- n x+n的图像同时经过第一、 三、四象限的必要不充分条件是 A.m>1,且 n<1 B.mn<0 ( )

[针对训练]

C.m>0,且 n<0 D.m<0,且 n<0 m 1 m 1 解析:因为y=- n x+n经过第一、三、四象限,故- n >0,n

<0,即m>0,n<0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条 件为mn<0.
答案:B

[课堂练通考点]

1.(2013· 安徽高考)“(2x-1)x=0”是“x=0”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件

(

)

D.既不充分也不必要条件 1 1 解析:由(2x-1)x=0可得x= 或0,因为“x= 或0”是 2 2
“x=0”的必要不充分条件.
答案:B

2. (2013· 九江一模)命题“若 x2>y2, 则 x>y”的逆否命题是( A.“若 x<y,则 x2<y2” C.“若 x≤y,则 x2≤y2” B.“若 x>y,则 x2>y2” D.“若 x≥y,则 x2≥y2”

)

解析:根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命 题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则 x2≤y2”.

答案:C

3.(2014· 福建质检)已知向量 a=(m2,4),b=(1,1),则“m =-2”是“a∥b”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

解析:依题意,当m=-2时,a=(4,4),b=(1,1),所以 a=4b,a∥b,即由m=-2可以推出a∥b;当a∥b时, m2=4,得m=± 2,所以不能推得m=-2,即“m=- 2”是“a∥b”的充分而不必要条件.
答案:A

4.(2013· 聊城期末)设集合 A,B 是全集 U 的两个子集,则 A B 是(?UA)∪B=U 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

解析:如图所示,A B?(?UA)∪B=U;但(?UA)∪B= U? / A B,如A=B,因此A B是(?UA)∪B=U的充分不 必要条件.
答案:A

5.命题“若 a>b,则 a-1>b-1”的否命题是________.

答案:若 a≤b,则 a-1≤b-1

?创新题?已知集合 A={x|y=lg(4-x)}, 6. 集合 B={x|x<a}, 若 P: “x∈A”是 Q:“x∈B”的充分不必要条件,则实数 a 的取值 范围是________.
解析: A={x|x<4}, 由题意得 A B 结合数轴易得 a>4. 答案:(4,+∞)


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