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求函数解析式[1]


函数专讲【函数的解析式】
【求函数解析式的方法】 把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫函数的解析式,简称解析式。 求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x) 满足某个等式,这个等式除 f ( x) 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方 程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。 【待定系数法】(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等) 若已知 f ( x) 的结构时,可设出含参数的表达式,再根据已知条件,列方程或方程组,从 而求出待定的参数,求得 f ( x) 的表达式。 【例 1】已知函数 f(x)是一次函数,且满足关系式 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x)的解析式。 分析:所求的函数类型已定,是一次函数。 设 f(x)=ax+b(a≠0)则 f(x+1)=?,f(x-1)=? 解:设 f(x)=ax+b(a≠0),由条件得:3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17,∴f(x)=2x+7 【例 2】求一个一次函数 f(x),使得 f{f[f(x)]}=8x+7 分析:所求的函数类型已定,是一次函数。 设 f(x)=ax+b(a≠0)则 f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解:设 f(x)=ax+b(a≠0),依题意有 a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴ a 3 x +b( a 2 +a+1)=8x+7,∴f(x)=2x+1 【评注:】 待定系数法是一种重要的数学方法,它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。

待定系数法 例题: 设二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) 且图象在 y 轴上的截距为1,在 x 轴截 得的线段长为 2 2 ,求 f ( x) 的解析式。

1

解法一、 设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

由 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) 得 4a ? b ? 0
x1 ? x2 ? ? ? 2 2 ? b 2 ? 4ac ? 8a 2 a

又 c ?1

1 , b ? 2, c ? 1 2 1 ? f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 2
解得 a ?

解法二、 由 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) 得 y ? f ( x) 的对称轴为

?设 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? k
? f (0) ? 1 ? 4a ? k ? 1
?

x ? ?2

x ?x
1

2

?a ?

1 , k ? ?1 2

? 2 2 ? 2 ?k ? 2 2 a

? f ( x) ?

1 ( x ? 2) 2 ? 1 2 1 ? x2 ? 2x ? 1 2

解法三、 ? y ? f ( x) 有对称轴 x ? ?2 又 x1 ? x 2 ? 2 2 ? y ? f ( x) 与 轴交点为 (?2 ? 2,0) , (?2 ? 2,0)

x

故设 f ( x) ? a( x ? 2 ? 2)( x ? 2 ? 2)

? f (0) ? 1 ? a ?
? f ( x) ?

1 2

1 ( x ? 2 ? 2)( x ? 2 ? 2) 2 1 ? x2 ? 2x ? 1 2

2

函数专讲【函数的解析式】
【求函数解析式的方法】 【换元法】(注意新元的取值范围) 已知 f ( g ( x)) 的表达式,欲求 f ( x) ,我们常设 t ? g ( x) ,从而求得 x ? g ?1 (t ) ,然后代入
f ( g ( x)) 的表达式,从而得到 f (t ) 的表达式,即为 f ( x) 的表达式。

【配凑法(整体代换法)】 若已知 f ( g ( x)) 的表达式,欲求 f ( x) 的表达式,用换元法有困难时,(如 g ( x) 不存在反 函数)可把 g ( x) 看成一个整体,把右边变为由 g ( x) 组成的式子,再换元求出 f ( x) 的式子。 【例题】已知 f(x-1)= x 2 -4x,解方程 f(x+1)=0 分析:如何由 f(x-1),求出 f(x+1)是解答此题的关键 解 1:f(x-1)== ( x ? 1) 2 -2(x-1)-3,∴f(x)= x 2 -2x-3 f(x+1)= ( x ? 1) 2 -2(x+1)-3= x 2 -4,∴ x 2 -4=0,x=± 2 解 2:f(x-1)= x 2 -4x,∴f(x+1)=f[(x+2)-1]= ( x ? 2) 2 -4(x+2)= x 2 -4,∴ x 2 -4=0,x=± 2 解 3:令 x-1=t+1,则 x=t+2,∴f(t+1)= (t ? 2) 2 -4(t+2)= t 2 -4 ∴f(x+1)= x 2 -4,∴ x 2 -4=0,∴x=± 2 评注:只要抓住关键,采用不同方法都可以达到目的。 解法 1,采用配凑法; 解法 2,根据对应法则采用整体思想实现目的; 解法 3,采用换元法, 这些不同的解法共同目的是将 f(x-1)的表达式转化为 f(x+1)的表达式。 【小结:】待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法,其中,待定系数 法只适用于已知所求函数类型求其解析式,而换元法与配凑法所依据的数字思想完全相同-整体思想。 【消元法】 【构造方程组】(如自变量互为倒数、已知 f(x)为奇函数且 g(x)为偶函数等) 若已知以函数为元的方程形式,若能设法构造另一个方程,组成方程组,再解这个方程 组,求出函数元,称这个方法为消元法。 【赋值法】 在求某些函数的表达式或求某些函数值时,有时把已知条件中的某些变量赋值,使问题 简单明了,从而易于求出函数的表达式。

3

换元法 例题:根据条件,分别求出函数f ( x ) 的解析式
1 1 (1) f (1 ? ) ? 2 ? 1 x x

1 1 (2) f ( x ? ) ? x 2 ? 2 x x

换元法 (1)解:令 1 ?

1 ? t ?1 且 t ? 1 则 x

1 ?t x

? f (t ) ? (t ?1)2 ?1 ? t 2 ? 2t
即 f ( x) ? x ? 2x
2

( x ? 1)

凑配法 (2)解:f ( x ? 用

1 1 ) ? ( x ? )2 ? 2 x x

x

替代式中的 x ?

又考虑到

x?

1 ?2 x

1 x

? f ( x) ? x2 ? 2 ( x ? 2)

4

解函数方程组法 例题:已知3 f ( x) ? 2 f ( ) ? x ( x ? 0) x 求 f ( x)
1 ? 3 f ( x ) ? 2 f ( )? ? ? x 解:由 ? ?3 f ( 1 ) ? 2 f ( x) ? ? x ? 3x 2 f ( x ) ? ? 解得 5 5x x 1 x
1



( x ? 0)

代入法
例题:设函数 f ( x ) ? x ?

1 x

的图象为

C1 ,

C1 关于点 A(2,1) 对称的图象为 C2 ,
求C2 对应的函数 g ( x) 的表达式。

解: 设 y ? g ( x) 图象上任一点 ( x, y ) ,则关于
A(2,1) 对称点为 (4 ? x, 2 ? y) 在 y ? f ( x) 上, 1 即 2? y ? 4? x? 4? x 1 即 y ? x?2? x?4

故 g ( x) ? x ? 2 ?

1 ( x ? 4) x?4

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函数专讲【函数的解析式】
【例题】 (1)已知 f( x +1)=x+2 x ,求 f(x)的解析式。
1 1 )=x3+ ,求 f(x)的解析式。 x x (3)已知函数 f(x)是一次函数,且满足关系式 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x) 的解析式。 分析:此题目中的“f”这种对应法则,需要从题给条件中找出来,这就要有整体思想的应 用。即:求出 f 及其定义域. (1)解法一:【换元法】

(2)已知 f(x+

设 t= x +1≥1,则 x =t-1,∴x=(t-1)2 ∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1) ∴f(x)=x2-1(x≥1) 解法二:【凑配法】由 f( x +1)=x+2 x = ( x ? 1) 2 -1,∴f(x)= x 2 -1(x≥1) 【评注:】 ①f(t)与 f(x)只是自变量所用字母不同,本质是一样的。 ②求出函数解析式时,一定要注明定义域,函数定义中包括定义域这一要素。 1 1 1 1 1 (2)∵x3+ 3 =(x+ )(x2+ 2 -1)=(x+ )[(x+ )2-3] x x x x x 1 1 1 ∴f(x+ )=(x+ )[(x+ )2-3] x x x 2 3 ∴f(x)=x(x -3)=x -3x 1 1 ∴当 x≠0 时,x+ ≥2 或 x+ ≤-2 x x ∴f(x)=x3-3x(x≤-2 或 x≥2) (3)设 f(x)=ax+b 则 3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+2b+2a-2b=ax+b+5a=2x+17 ∴a=2,b=7 ∴f(x)=2x+7 评述:“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法,以上 3 个题目分 别采用了这三种方法。值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域。

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函数专讲【函数的解析式】
【例题】 (1)甲地到乙地的高速公路长 1500 公里,现有一辆汽车以 100 公里/小时的速度从甲地 到乙地,写出汽车离开甲地的距离 S(公里)表示成时间 t(小时)的函数。 分析:从已知可知这辆汽车是匀速运动,所以易求得函数解析式,其定义域由甲乙两地 之间的距离来决定。 解:∵汽车在甲乙两地匀速行驶,∴S=100t ∵汽车行驶速度为 100 公里/小时,两地距离为 1500 公里, 1500 ∴从甲地到乙地所用时间为 t= 小时 100 答:所求函数为:S=100t t∈[0,15] (2)某乡镇现在人均一年占有粮食 360 千克,如果该乡镇人口平均每年增长 1.2%,粮食 总产量平均每年增长 4%, 那么 x 年后若人均一年占有 y 千克粮食.求出函数 y 关于 x 的解析式。 分析:此题用到平均增长率问题的分式,由于学生尚未学到,所以还应推导。 解:设现在某乡镇人口为 A,则 1 年后此乡镇的人口数为 A(1+1.2%), 2 年后的此乡镇人口数为 A(1+1.2%)2… 经过 x 年后此乡镇人口数为 A(1+1.2%)x。 再设现在某乡镇粮食产量为 B,则 1 年后此乡镇的粮食产量为 B(1+4%), 2 年后的此乡镇粮食产量为 B(1+4%)2…, 经过 x 年后此乡镇粮食产量为 B(1+4%)x, B 因某乡镇现在人均一年占有粮食为 360 kg,即 =360, A 所以 x 年后的人均一年占有粮食为 y,即 y=
B(1 ? 4%) x 360(1 ? 4%) x (x∈N*) ? A(1 ? 1.2%) x (1 ? 1.2%) x

评述:根据实际问题求函数解析式,是应用函数知识解决实际问题的基础,在设定或选定自 变量后去寻求等量关系,求得函数解析式后,还要注意函数定义域要受到实际问题的限制。

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函数专讲【函数的解析式】
【例题】我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采取价格调控等手段来达到节约用水 的目的,某地用水收费的方法是:水费=基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超过最 低限量 a m3 时,只付基本费 8 元和每月每户的定额损耗费 c 元;若用水量超过 a m3 时,除了 付同上的基本费和定额损耗费外,超过部分每 m3 付 b 元的超额费。已知每户每月的定额损耗 费不超过 5 元。 该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示: 月份 用水量 (m3 ) 水费(元) 9 19 33

1 9 2 15 3 22 根据上表中的数据,求 a 、 b 、 c 。

(1) ?8 ? c,0 ? x ? a 解:设每月用水量为 x m3 ,支付费用为 y 元,则有 y ? ? ?8 ? b( x ? a) ? c, x ? a

(2)

由表知第二、 第三月份的水费均大于 13 元, 故用水量 15 m3 , 22 m3 均大于最低限量 a m3 ,

?19 ? 8 ? b(15 ? a) ? c 于是就有 ? ,解之得 b ? 2 ,从而 2a ? c ? 19 ?33 ? 8 ? b(22 ? a) ? c

(3)

再考虑一月份的用水量是否超过最低限量 a m3 ,不妨设 9 ? a ,将 x ? 9 代入(2)式,得
9 ? 8 ? 2(9 ? a) ? c ,即 2a ? c ? 17 ,这与(3)矛盾。∴ 9 ? a 。

从而可知一月份的付款方式应选(1)式,因此,就有 8 ? c ? 9 ,得 c ? 1 。

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函数专讲【函数的解析式】
【例题】
1 1 (1)已知 f ( x ? ) ? x 3 ? 3 ,求 f ( x) ; x x 2 (2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x) ; x

(3)已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ;
1 (4)已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x) . x 1 1 1 1 解:(1)∵ f ( x ? ) ? x3 ? 3 ? ( x ? )3 ? 3( x ? ) , x x x x

∴ f ( x) ? x3 ? 3x ( x ? 2 或 x ? ?2 ).
2 2 2 2 (2)令 ? 1 ? t ( t ? 1 ),则 x ? ,∴ f (t ) ? lg ,∴ f ( x) ? lg x t ?1 t ?1 x ?1 ( x ? 1) .

(3)设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) , 则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 3ax ? 3a ? 3b ? 2ax ? 2a ? 2b ? ax ? b ? 5a ? 2 x ? 17 , ∴ a ? 2 , b ? 7 ,∴ f ( x) ? 2 x ? 7 .
1 1 1 3 (4) 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ①, 把①中的 x 换成 ,得 2 f ( ) ? f ( x) ? ②, x x x x 3 1 ① ?2 ? ②得 3 f ( x) ? 6 x ? ,∴ f ( x ) ? 2 x ? . x x 注:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数 法;第(4)题用方程组法.

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函数专讲【函数的解析式】
【例题】 已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的周期函数, 周期 T ? 5 , 函数 y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数.又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,在 [1, 4] 上是二次函数,且在 x ? 2 时函数取得 最小值 ?5 。①证明: f (1) ? f (4) ? 0 ;②求 y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式;③求 y ? f ( x) 在 [4,9] 上的解析式。 ①证明:∵ f ( x) 是以 5 为周期的周期函数,∴ f (4) ? f (4 ? 5) ? f (?1) , 又∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (1) ? ? f (?1) ? ? f (4) , ∴ f (1) ? f (4) ? 0 . ②解:当 x ? [1, 4] 时,由题意可设 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? 5 (a ? 0) , 由 f (1) ? f (4) ? 0 得 a(1 ? 2)2 ? 5 ? a(4 ? 2)2 ? 5 ? 0 ,∴ a ? 2 , ∴ f ( x) ? 2( x ? 2)2 ? 5(1 ? x ? 4) . ③解:∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (0) ? 0 , 又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数, ∴可设 f ( x) ? kx(0 ? x ? 1) , 而 f) 1 (1 2 (2 )? 5 ? 3 ?2 ? ? ∴ k ? ?3 ,∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x , 从而当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?3x ,故 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x ∴当 4 ? x ? 6 时,有 ?1 ? x ? 5 ? 1 ,∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? ?3( x ? 5) ? ?3x ? 15 . 当 6 ? x ? 9 时, 1 ? x ? 5 ? 4 ,∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2]2 ? 5 ? 2( x ? 7)2 ? 5 ,

??3x ? 15, 4 ? x ? 6 ∴ f ( x) ? ? 2 ?2( x ? 7) ? 5, 6 ? x ? 9

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函数的解析式的求法
一.换元法 题 1.已知 f(3x+1)=4x+3, 求 f(x)的解析式. 1 x 练习 1.若 f ( ) ? ,求 f ( x) . x 1? x 二.配变量法 1 1 题 2.已知 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 , 求 f ( x) 的解析式. x x 练习 2.若 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x) . 三.待定系数法 题 3. 设 f ( x) 是一元二次函数,g ( x) ? 2 x ? f ( x) , 且 g ( x ? 1) ? g ( x) ? 2 x?1 ? x 2 , 求 f ( x) 与 g ( x) . 练习 3.设二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且图象在 y 轴上截距为 1,在 x 轴上 截得的线段长为 2 2 ,求 f ( x) 的表达式. 四.解方程组法 题 4.设函数 f ( x) 是定义(-∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式
1 3 f ( x) ? 2 f ( ) ? 4 x ,求 f ( x) 的解析式. x x ?1 ) ? 1 ? x ,求 f ( x) . 练习 4.若 f ( x) ? f ( x 五.特殊值代入法

题 5.若 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 f (1) ? 2 , 求值
f (2) f (3) f (4) f (2005 ) ? ? ??? . f (1) f (2) f (3) f (2004 )
f ( x) ? 1 ,求 f ( x) 的解析式. 2

练习 5.设 f ( x) 是定义在 N ? 上的函数,且 f (1) ? 2 , f ( x ? 1) ? 六.利用给定的特性求解析式.

题 6.设 f ( x) 是偶函数,当 x>0 时, f ( x) ? e ? x 2 ? e x ,求当 x<0 时, f ( x) 的表达式. 练习 6.对 x∈R, f ( x) 满足 f ( x) ? ? f ( x ? 1) ,且当 x∈[-1,0]时, f ( x) ? x 2 ? 2 x 求 当 x∈[9,10]时 f ( x) 的表达式. 七.归纳递推法 题 7.设 f ( x ) ? 八.相关点法 题 8. 已知函数 f ( x) ? 2 x?1 , 当点 P(x, y)在 y= f ( x) 的图象上运动时, 点 Q( ? 的图象上,求函数 g(x). 九.构造函数法 题 9.若 f ( x) 表示 x 的 n 次多项式,且当 k=0,1,2,…,n 时, f ( k ) ?
k ,求 f ( x) . k ?1 y x , )在 y=g(x) 2 3 x ?1 ,记 f n ( x) ? f ? f [? f ( x)]?,求 f 2004 ( x) . x ?1

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如何合理选择解析式的表达式求二次函数的解析式
【采用待定系数法】 二次函数的三种表达式: (1)一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) ; (2)顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0)其中顶点的坐标为(h,k); (3)交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)其中 x1、x2 分别为二次函数与 x 轴的交点的横坐标。 【(1)一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 】 【例 1】已知二次函数的图象经过点(-1,10)、(1,4)、(2,7)三点,求此二次 函数的解析式。 分析:由已知三个点的坐标,代入二次函数的一般式可以得到三个方程,进而求出三个待定系数。 解:设该二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c(a≠0),将已知三个点的坐标代入得方程组: a- b+ c=10 a=2 a+ b+c=4 ∴ 解这个方程组得: b=-3 4a+2b+c=7 c=5 2 ∴该二次函数的解析式是 y=2x -3x+5 归纳使用条件:已知三点的坐标. 【(2)顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0)其中顶点的坐标为(h,k)】 【例 2】已知二次函数的图象的顶点为(-2,3),且过点(-1,5),求此二次函数 的解析式。 分析:将顶点坐标(-2,3)代入二次函数的顶点式,再利用点(-1,5)代入可以求 出待定系数 a 即可。 解:设该二次函数的解析式是 y=a(x+2)2+3(a≠0), 将点(-1,5)代入得:5=a(-1+2)2+3 ∴a=2 ∴该二次函数的解析式是 y=2(x+2)2+3. 归纳使用条件:已知顶点坐标、最值或对称轴等。 【(3)交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)】其中 x1、x2 分别为二次函数与 x 轴的交点的横坐标。 【例 3】已知二次函数的图象与 x 轴交于点(-2,0),(4,0),且最值为-4.5. 求 此二次函数的解析式。 分析: 将-2 和 4 代入二次函数的交点式, 再利用最值为-4.5 可以求出待定系数 a 即可。 解:设该二次函数的解析式是 y=a(x+2)(x-4) (a≠0),整理得: y=ax2-2ax-8a=a(x-1)2-9a 由题意可知:-9a=-4.5,∴a=0.5 ∴该二次函数的解析式是 y=0.5x2-x-4 归纳使用条件:二次函数与 x 轴的交点的横坐标。 公式推导:

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