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【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件:2.4指数函数


第四节 指 数 函 数

【知识梳理】 1.必会知识 (1)根式: 根式的概念 xn=a 那么x叫做a的n次方根 如果____, 当n为奇数时,正数的n次方根是一个 正数 负数的n次方根是一个_____ 负数 _____, 当n为偶数时,正数的n次方根有 两个 它们互为_______ 相反数 _____,
n

教材回扣

填一填

符号表示

备注

n>1且n∈N*
a

零的n次方根是零 负数没有偶次方根

?n a

(a>0)

(2)两个重要公式: a 为奇数, __,n a __,a≥0, |a| n为偶数. ____= -a,a<0,



n

an ?

a ②( n a )n=__.

(3)有理数指数幂的运算性质: ar+s ①ar·as=____(a>0,r,s∈Q); ars ②(ar)s=___(a>0,r,s∈Q); arbr ③(ab)r=____(a>0,b>0,r∈Q).

(4)分数指数幂:
n m *,n>1); ①正分数指数幂: a =_____(a>0,m,n∈N a
m n

1

②负分数指数幂: a

m ? n

*,n>1); n m =______(a>0,m,n∈N a

0 的负分数指数幂_______. 无意义 ③0的正分数指数幂是__,0

(5)指数函数的图象与性质: 函数 0<a<1 y=ax(a>0,且a≠1) a>1

图象

上方 过定点______ (0,1) 在x轴_____,
图象特征 当x逐渐增大时,图象逐渐 下降 当x逐渐增大时,图象逐渐 上升

函数
定义域

y=ax(a>0,且a≠1) R __
(0,+∞) ________

值域
性 质 单调性 函数值 变化 规律

减 ___
y=1 当x=0时,____

增 ___

y>1 当x>0时, 当x<0时,______; 0<y<1 当x>0时, 当x<0时,____; 0<y<1 y>1 ______ ____

2.必备结论

教材提炼

记一记

同底数幂相除,指数相减. 3.必用技法 核心总结 看一看

(1)常用方法:换元法、图象平移法. (2)数学思想:数形结合思想、分类讨论思想.

(3)记忆口诀:指数函数记忆口诀

多个图形像束花,(0,1)这点把它扎.
撇增捺减无例外,底互倒时y轴夹. y=1为判底线,交点纵标看小大. 重视数形结合法,横轴上面图象察.

【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 )

(1) n a n 与( n a ) n 都等于a(n∈N*).( (2)2a·2b=2ab.( )

(3)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.( (4)若am<an(a>0且a≠1),则m<n.( (5)函数y=2-x在R上为单调减函数.( ) )

)

【解析】(1)错误,当n为偶数,a<0时不成立. (2)错误,2a·2b=2a+b≠2ab. (3)正确,两个函数均不符合指数函数的定义. (4)错误,当a>1时,m<n,而当0<a<1时,m>n. (5)正确,y=2-x= ( 1 ) x ,根据指数函数的性质可知函数在R上为减函数.
2

答案:(1)〓 (2)〓

(3)√

(4)〓

(5)√

2.教材改编

链接教材

练一练

(1)(必修1P56例6改编)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点 P(2, 1 ),则f(-1)=
2 2

.
2 , 2

【解析】依题意可知 1 =a2,解得a=
2 2

所以f(x)= ( 2 ) x, 所以f(-1)= ( 2 )?1 ? 2. 答案: 2

(2)(必修1P60B组T2改编)若 x ? x =3,则 【解析】由 x ? x
1 2 ? 1 2

1 2

?

1 2

x ?x ?2 = 2 ?2 x ?x ?3

3 2

?

3 2

.

=3,得x+x-1+2=9,所以x+x-1=7,

所以x2+x-2+2=49,x2+x-2=47. 因为 x ? x
3 2

3 2

?

3 2
3 2

? (x ? x ) ? 3(x ? x ) =27-9=18,
47 ? 3

1 2

?

1 2 3

1 2

?

1 2

所以 x 2 ? x ?2 ? 2 ? 18 ? 2 ? 2 .
x ? x ?3 5

?

答案: 2
5

(3)(必修1P60B组T1改编)若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数, 则实数a的取值范围是 .

【解析】由y=(a2-1)x在(-≦,+≦)上为减函数,得0<a2-1<1, 所以1<a2<2,即1<a< 2 或- 2 <a<-1. 答案:(- 2 ,-1)∪(1, 2 )

3.真题小试

感悟考题

试一试

(1)(2014·陕西高考)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调 递增函数是( A.f(x)=x3 C.f(x)= x
1 2

) B.f(x)=3x D.f(x)= ( 1 ) x
2

【解析】选B.根据函数满足“f(x+y)=f(x)f(y)”可以推出该函数为 指数函数,又函数为单调递增函数,所以底数大于1,从而确定函数为 f(x)=3x.

(2)(2015·承德模拟)函数f(x)= 1 ? 2x ? A.(-3,0] C.(-∞,-3)∪(-3,0] B.(-3,1]

1 的定义域为( x ?3

)

D.(-∞,-3)∪(-3,1]

x ? x ? 0, ? 1 ? 2 ? 0, 【解析】选A.由题意,自变量x应满足 ? 解得 ? ? x ? ?3, ? x ? 3 ? 0,

所以-3<x≤0.

(3)(2015·绵阳模拟)函数y=ax与y= ( 1 ) x (a>0,且a≠1)的图象关于
a

(

)

A.x轴对称
C.原点对称

B.y轴对称
D.直线y=x对称

【解析】选B.y= ( ) x =a-x.不妨设a>1,如图所示,关于y轴对称.

1 a

考点1

指数幂的化简与求值
a 3b 2 3 ab 2 (a>0,b>0)= (a b ) a b
2 1
1 4 1 1 ? 3 2 4 1 3

【典例1】(1)化简:

.

(2)计算: ( ? 27 )? 3 ? ? 0.002 ?? 2 ? 10
8

?

5 ?2

? ??
?1

3? 2 .

?

0

【解题提示】(1)将根式化为分数指数幂,然后利用幂的运算性质进行 计算. (2)将负的分数指数幂化为正分数指数幂,然后利用幂的运算性质进行 计算.

【规范解答】(1)原式= (a b a b ) ? a 2 ? 6 ?1? 3 b1? 3 ?2? 3 ? ab ?1. 1 1 ? ab 2a 3 b 3
答案:ab-1
1 ? ? 27 1 10 (2)原式= ( ? ) 3 ? ( ) 2? ?1 8 500 5?2 2

1 3 2 3

2 1 3 2

3 1

1

1

1

1 8 3 ? ( ? ) ? 500 2 ? 10 5 ? 2 ? 1 27 4 167 ? ? 10 5 ? 10 5 ? 20 ? 1 ? ? . 9 9

2

?

?

【规律方法】指数幂的运算规律 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数 的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂 的运算性质来解答.

提醒:运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含
有负指数,形式力求统一.

【变式训练】化简下列各式(其中各字母均为正数):
7 0 0.25 4 2 3 6 3 1 1.5 ? ( ? ) ? 8 ? 2 ? ( 2 ? 3) ? ( ) . ?? 6 3
? 1 3 2

? 2?

(a b ?1 )
6

2 3

?

1 2

a
5

?

1 2

b

1 3

ab

.

1 1 1 2 3 【解析】(1)原式= ( ) 3 ?1 ? ? 2 ? 4 ? 2 4 ? (2 3 ? 3 2 )6 ? ( 2 ) 3 ? 2 ? 4 ? 27 ? 110. 3 3

1

1

1

(2)原式= a b 1 a5 b ? a ? 3 ? 2 ? 6 b 2 ? 3 ? 6 ? 1 . a 6 6 a b

?

1 3

1 2

?

1 2

1 3

1 1 1

1 1 5

【加固训练】1.化简 4 16x8 y4 (x<0,y<0)得( A.2x2y B.2xy
8 4

)

C.4x2y
8 1 4 4

D.-2x2y

【解析】选D. 4 16x y ? ?16x y
? [2 ? ?x ?
4 8

?

? ?y?

4

] ?2

1 4

4

1 4

? ?x ?

8

1 4

? ?y ?

4

1 4

=2(-x)2(-y)=-2x2y.

2.化简 a

1 ? ? a

? ?
3

a

3

? 4 a 4 的值为

.

【解析】由题意可知a<0,故 a ? 1 ?
a
?? ?

? a?
3

3

? 4 a4

? ?a ?
a

2

? a ? ? ?a ? ? ? ?a.

答案:? ?a

3.化简: ( 1 ) ? 2
4

1

?
? 0.1?
3 2

4ab
?1

?1

?

3

=
1 ?3 2

.

?a
3 2 ?

3

b
3 2

?

【解析】原式= 2 4 a b
10a b
3 2

?

3 2

8 ? . 5

答案:8
5

考点2

指数函数的图象及应用
a

【典例2】(1)(2015·惠州模拟)函数y=ax- 1 (a>0,且a≠1)的图象 可能是( )

(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是

.

【解题提示】(1)分a>1及0<a<1两种情况讨论函数y=ax- 1 的单调性,
a

再结合选择支求解.
(2)作出曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象,数形结合求解.

【规范解答】(1)选D.当a>1时,y=ax- 1 为增函数,且在y轴上的截距为
a

0<1- 1 <1,排除A,B.

当0<a<1时,y=ax- 1 为减函数,且在y轴上的截距为1- 1 <0,故选D.
a a

a

【一题多解】解答本题,你知道几种解法?

解答本题,还有以下解法:
方法一:当0<a<1时,函数y=ax- 1 是减函数,且其图象可视为是由函数
a

y=ax的图象向下平移 1 个单位长度得到的,结合各选项知选D.
a

方法二:因为函数y=ax-

1 (a>0,且a≠1)的图象必过点(-1,0),所以选D. a

(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,

由图象可得:如果|y|=2x+1与直线y=b没有公
共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1]. 答案:[-1,1]

【互动探究】若将本例(2)中“|y|=2x+1”改为“y=|2x-1|”,且与直 线y=b有两个公共点,求b的取值范围. 【解析】曲线y=|2x-1|与直线y=b的图象如图所示,由图象可得,如果 曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围是(0,1).

【规律方法】指数函数图象的画法及应用

(1)画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点:
(1,a),(0,1),(-1, 1 ).
a

(2)与指数函数有关的函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图 象,通过平移、对称、翻折变换得到其图象. (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数 图象数形结合求解.

【变式训练】1.(2015·安庆模拟)已知函数f(x)=(x-a)·(x-b)(其

中a>b),若f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是(

)

【解析】选A.由已知并结合图象可知0<a<1,b<-1.对于函数g(x)=ax+b,

它一定是单调递减的,排除C,D.且当x=0时g(0)=a0+b=1+b<0,即图象与
y轴交点在负半轴上,排除B,选A.

2.方程2x=2-x解的个数是

个.

【解析】方程的解可看作函数y=2x和y=2-x的图象交点的横坐标,分别
作出这两个函数图象(如图). 由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解. 答案:1

【加固训练】1.已知实数a,b满足等式 ( 1 )a ? ( 1 ) b ,下列五个关系式:
2 3

①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.
其中不可能成立的关系式有( A.1个 B.2个 ) C.3个 D.4个

【解析】选B.函数y1= ( 1 ) x与y2= ( 1 ) x 的图象如图所示.
2 3

由 ( )a ? ( ) b 得,a<b<0或0<b<a或a=b=0. 故①②⑤可能成立,③④不可能成立.故选B.

1 2

1 3

2.若函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则a,b

的取值范围分别是

.

【解析】因为函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象
0 ? a ? 1, 限,所以 ? ?

?1 ? b ? 1 ? 0,

即 ?

?0 ? a ? 1, ?b ? 0.

答案:(0,1),(-≦,0)

考点3

指数函数的性质及应用

知·考情
指数函数的性质主要是其单调性,备受高考命题专家的青睐.高考 常以选择题或填空题的形式出现,考查指数幂值大小比较、解简单指 数不等式、判断指数型函数单调性以及求指数型函数的最值等问题, 难度偏小,属中低档题.

明·角度

命题角度1:比较指数幂的大小
【典例3】(2015·天津模拟)设y1=40.9,y2=80.48,y3= ( 1 ) ?1.5 ,则(
2

)

A.y3>y1>y2 C.y1>y2>y3

B.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2

【解题提示】利用指数幂的运算性质,分别将y1,y2,y3化为同底数的

幂,再利用单调性比较大小.
【规范解答】选D.y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3= ( 1 ) ?1.5 =21.5.
2

因为1.8>1.5>1.44,且y=2x在R上单调递增,所以y1>y3>y2.

命题角度2:研究指数型函数的奇偶性、单调性等性质

【典例4】(2015·合肥模拟)已知f(x)=
(1)判断f(x)的奇偶性. (2)讨论f(x)的单调性.

a (ax-a-x)(a>0,且a≠1). a2 ?1

【解题提示】(1)根据函数奇偶性的定义判断.(2)分a>1及0<a<1对函 数f(x)的单调性进行讨论.

【规范解答】(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.

又因为f(-x)=

a -x-ax)=-f(x), (a a2 ?1

所以f(x)为奇函数. (2)当a>1时,a2-1>0, y=ax为增函数,y=a-x为减函数, 从而y=ax-a-x为增函数. 所以f(x)为增函数.

当0<a<1时,a2-1<0,

y=ax为减函数,y=a-x为增函数,
从而y=ax-a-x为减函数. 所以f(x)为增函数. 故当a>0且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增.

悟·技法

有关指数函数性质的问题类型及解题思路
(1)比较指数幂大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1). (2)简单的指数不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单 调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.

(3)求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义

域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、
单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断, 最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决. 提醒:在研究指数型函数单调性时,当底数与“1”的大小关系不明确 时,要分类讨论.

通·一类

1.(2015·金华模拟)已知a=21.2,b= ( 1 ) ?0.8 ,c=2log52,则a,b,c的
2

大小关系为( A.c<b<a C.b<a<c

) B.c<a<b D.b<c<a
2

【解析】选A.因为a=21.2,b= ( 1 ) ?0.8 =20.8,所以a>b>1.又 c=2log52=log54<1,所以a>b>c.

?1 , x ? 0, ? ? 2.(2015·哈尔滨模拟)若函数f(x)= ? x 则不等式 ?( 1 ) x , x ? 0, ? ? 3
1 1 的解集为( ? ? f ?x? ? 3 3

) B.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.(1, 3 ]∪[3,+∞)

A.[-1,2)∪[3,+∞) C.[ 3 ,+∞)
2

?1 , x ? 0, ? 1 的图象如图 x 【解析】选B.函数f(x)= ? 和函数 g(x)= 〒 ? 3 ?( 1 ) x , x ? 0, ? ? 3 所示.

从图象上可以看出不等式的解集是两个 无限区间.当x<0时,是区间(-≦,-3],当 x≥0时,是区间[1,+≦),故不等式- 1 ≤ f(x)≤
1 的解集为(-≦,-3]∪[1,+≦). 3 3

3.(2015·郑州模拟)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),

则{x|f(x-2)>0}=(
A.{x|x<-2或x>4} C.{x|x<0或x>6}

)
B.{x|x<0或x>4} D.{x|x<-2或x>2}

【解析】选B.f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=f(-x)=2-x-4.
x ? 2 ? 所以f(x)= ? ? 4, x ? 0, 当f(x-2)>0时, ?x ? ? 2 ? 4, x ? 0,

x ? 2 ? 0, 有 ? ?

x ?2 2 ? 4 ? 0, ?

x ? 2 ? 0, 或 ? ?

?x? 2 2 ? 4 ? 0, ?

解得x>4或x<0.

4.(2015·成都模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=1-2-x,则不等式f(x)<- 1 的解集是(
2

)

A.(-∞,-1) C.(1,+∞)

B.(-∞,-1] D.[1,+∞)

【解析】选A.当x>0时,f(x)=1-2-x>0,

又f(x)是R上的奇函数,
所以f(x)<- 1 的解集和f(x)> 1 (x>0)的解集关于原点对称,由1-2-x>
2 1 1 1 得2-x< =2-1,即x>1,则f(x)<- 的解集是(-≦,-1). 2 2 2 2

自我纠错5

应用指数函数的性质求参数

【典例】(2015·苏州模拟)若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的 最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m) x 在[0,+∞)上是增函数, 则a=________.

【解题过程】

【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?

提示:对条件“g(x)在[0,+≦)上是增函数”不会使用,求得结果后未
进行检验得到两个答案.

【规避策略】

1.对指数函数的底数a分类讨论
指数函数的底数不确定时,单调性不明确,从而无法确定其最值,故应 分a>1和0<a<1两种情况讨论. 2.熟练掌握复合函数单调性 根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一,熟练掌握基 本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础.

【自我矫正】g(x)在[0,+≦)上为增函数,则1-4m>0,即m< 1 .若a>1,
则函数f(x)在[-1,2]上单调递增,最小值为
2 4 1 =m,最大值为a2=4,解得 a 4

1 a=2,m= 1 ,与m< 矛盾;当0<a<1时,函数f(x)在[-1,2]上单调递减,最

小值为a2=m,最大值为a-1=4,解得a= 1 ,m= 1 .所以a= 1 . 答案: 1
4 16 4 4


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