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指数函数及其性质2-PPT精选文档_图文

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基本初等函数(Ⅰ)

2.1

指数函数

2.1.4 指数函数及其性质(二)

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1.熟练掌握指数函数的图象和性质.

2.会求指数型函数y=kax(k∈R,a>0且a≠1)的定义
域、值域,并能判断其单调性.

3.理解指数函数的简单应用模型,培养数学应用意
识.

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基础梳理 1.由所给不等式,比较m,n的大小: ①若3m<3n,则__________; ②若0.6m<0.6n,则__________; ③若am<an(a>1),则__________ ; ④若am<an(0<a<1),则__________. 2.在闭区间[m,n]上,讨论函数f(x)=ax(a>0且a≠1)值域. ①若a>1,则f(x)=ax的值域是:__________; ②若0<a<1,则f(x)=ax的值域是:__________. 3.函数y=2x与函数y=x的图象有什么关系? 1.①m<n ②m>n ③m<n ④m>n 2.①[am,an] ②[an,am] 3.两函数的图象关于y轴对称 金品质?高追求 我们让你更放心!

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◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 4.将函数y=2x的图象向右平移一个单位即可得到函数 ____________的图象.
5.设f(x)=ax(a>0且a≠1),则有: ①f(0)=______,f(1)=______; ②若x≠0,则__________________; ③若x≠1,则__________________; ④f(x)取遍所有正数当且仅当:________. 4.y=2x-1 5.①1 a ②f(x)>0且f(x)≠1

③f(x)>0且f(x)≠a ④x∈R
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6.指数函数增长模型:设原有量为N,年平均增长率

N(1+p) 为p,则经过时间x年后的总量y=__________.

x

100?1+8 y= 100

例如:2019年某镇工业总产值为100亿,计划今后每年 平均增长率为8%, 则经过x年后的总产值为原来的多少倍?
x

N(1+p)

x

100?1+8%? x y= =(1+8%) 100

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思考应用 1.指数函数y=2x的函数值域为[1,+∞),则x的范围

是多少?
[0,+∞)

2.指数函数y=2x的函数值能否为负值?
不能

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自测自评 1.函数f(x)=3-x-1的值域是( C ) A.R C.(-1,+∞) ( B.(0,+∞) D.[0,+∞)

2.要得到函数y=23-x的图象,只需将函数y=x的图象 ) A.向右平移3个单位 C.向右平移8个单位 B.向左平移3个单位 D.向左平移8个单位

解析:∵y=2

3-x

1?x-3 ? = 2 ? ?

1?x 1?x-3 ? ? ∴y= 2 的图象向右平移 3 个单位得到 y= 2 ? ? ? ? . 答案:A
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3.函数y=( 1 )|1-x|的值域是(
2

)

A.(0,+∞) C.(0,1]

B.[1,+∞) D.[
1 ,1] 2 2

解析:设|1-x|=t,则t≥0,y=( 1 )t,t≥0
即所求值域为:(0,1].

答案:C

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利用指数函数的单调性比较大小 比较下列各组数的大小.

5?-0.4 1?-1.5 0.9, 0.48 ? ? (1)0.8 与 4 ;(2)4 8 , 2 ; ? ? ? ?
0.5

4? 2 ? (3)0.6 与 3 - ;(4)0.30.4 与 0.40.3. ? ? 3
-2

5?-0.4 ?4?0.4 ? 解析:(1) 4 = 5 =0.80.4, ? ? ? ?

∵函数 y=0.8x 在定义域 R 上是减函数, 又∵0.5>0.4,∴0.80.5<0.80.4, 0.5 ?5?-0.4 即 0.8 < 4 ? ? .
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(2)∵4 =2

0.9

1.8, 0.48

8

=2

1.44

∵y=2x 在定义域 R 上为增函数, 1?-1.5 1.8 1.5 1.44 0.9 ? ∴2 >2 >2 ,即 4 > 2 >80.48. ? ? 4? 2 ?4?0 -2 0 ? (3)∵0.6 >0.6 =1, 3 - < 3 =1, ? ? 3 ? ? 4? 2 -2 ? ∴0.6 > 3 - . ? ? 3 0.4 0.3 (4) ∵ 0.3 < 0.3 ,当指数相同且大于 0 时,底数越大图象 0.4 0.3 (4)∵0.3 <0.3 ,当指数相同且大于 0时,底数越大 0.3 0.3 0.4 0.3 ∴ 0.3 < 0.4 , ∴ 0.3 < 0.4 . 图象越高,
∴0.30.3<0.40.3,∴0.30.4<0.40.3.

1?-1.5 ? , 2 =21.5, ? ?

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跟踪训练 1.比较下列各组数的大小. (1)0.90.1与0.90.2; ?1? -π (2) ? ? 与1; ?π? (3)2.3-0.28与0.67-3.1. 解析:(1)0.90.1,0.90.2可看作函数y=0.9x的两个函数值, 由于底数0.9<1,所以指数函数y=0.9x在R上是减函数, 因为0.1<0.2,所以0.90.1>0.90.2. ?1? x 1 (2)考察函数y= ? ? ,∵0< <1, π ?π? 1? x在(-∞,+∞)上是减函数, ∴函数y=? ? ? ?π? 1? -π> ?1 0? 又-π<0,∴ ? =1. ? ? ? ? ?π? ?π? 金品质?高追求 我们让你更放心!

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(3)由指数函数的性质,知 2.3-0.28<2.30=1, 0.67-3.1>0.670=1,

所以2.3-0.28<0.67-3.1.

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求指数函数的单调区间 确定函数 其加以证明. 的单调区间,并对

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(1)当x1,x2∈(-∞,1]时,x1+x2-2<0,

y2 这时(x2-x1)(x2+x1-2)<0即 >1, y1
∴y2>y1,此时函数单调递增;
(2)当x1,x2∈[1,+∞)时,x1+x2-2>0,

y2 这时(x2-x1)(x2+x1-2)>0即 y <1, 1
∴y2<y1,此时函数单调递减.

∴函数
在[1,+∞)上单调递减. 金品质?高追求

在(-∞,1]上单调递增,

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跟踪训练 2.已知a>0且a≠1,讨论函数 单调性. 的

3?2 17 ? 解析:设 u=-x +3x+2=- x-2 + , ? ? 4
2

3 3 则当 x≥ 时,u 是减函数,当 x< 时,u 是增函数. 2 2 又因为当 a>1 时,y=au 是增函数, 当 0<a<1 时,y=au 是减函数,
所以当 a>1 时,原函数 f(x)= a
? x 2 ?3 x ? 2

3 ? 在 2,+∞? ? ?

3? ? 上是减函数,在 -∞,2 上是增函数, ? ? 当 0<a<1 时,原函数 f(x)= a
? x 2 ?3 x ? 2

3 ? 在 2,+∞? ? ?

3 上是增函数,在?-∞,2?上是减函数.

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解简单的指数不等式 已知不等式a2x+1≤ax-5(a>0,且a≠1),试求x 的取值范围. 解析:(1)当0<a<1时,由于a2x+1≤ax-5, ∴2x+1≥x-5,解得x≥-6.

(2)当a>1时,
由于a2x+1≤ax-5, ∴2x+1≤x-5,解得x≤-6. 综上所述,x的取值范围是 当0<a<1时,x≥-6;

当a>1时,x≤-6.
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跟踪训练 3.已知集合M={-1,1},N= 则M∩N等于( A.{-1,1} C.{0} )
? ?1 ? x+1 ?x? <2 <4,x∈Z ? ? ?2 ?



B.{-1} D.{-1,0}

解析:因为N={x|2-1<2x+1<22,x∈Z},又函数y= 2x在R上为增函数, ∴N={x|-1<x+1<2,x∈Z} ={x|-2<x<1,x∈Z}={-1,0}. ∴M∩N={-1,1}∩{-1,0}={-1}.

答案:B 金品质?高追求

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指数函数的图象研究其定义域、值域问题 1?|x-1| ? 求函数 y= 2 的定义域、值域,并作出图象. ? ? ? ? 1 ? x ?1 ? ?1 ? , x ? 1 ? 解析:函数y= ? R; x-1 ? 2?x ? -1,x≥ 的定义域为 解析:函数 y=? ? , x < 1 的定义域为 R; 2 ? ? ? ? x ?1 ?2 ,x ? 1 1?t ? 令 t=|x-1|,则 t≥0,由 y= 2 的图象知:

? ?

当 t≥0 时,0<y≤1,故所求函数的值域是(0,1]. 1?|x| ? 图象如下(其对称性可与 y= 2 比较). ? ?

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跟踪训练

4.画出函数 y=2

|x+1|

的图象.

分析:通过分类讨论可去掉绝对值号,变为分段函数, 进而作出图象.另外,也可把函数y=2|x+1|看作由y=2|x|左移 一个单位得到,而y=2|x|的图象,可由y=2x的图经对称变换 得到. 解析:法一:由函数解析式可得

1?x+1 ? ? ?2 ?x<-1?, |x+1| ? ? y=2 =? x+1 ? ?x≥-1?. ?2 其图象分成两部分,一部分是将 1?x+1 ? y1= 2 ? ? (x<-1)的图象作出, 金品质?高追求 我们让你更放心!

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而它的图象可以看作将y=(1)x的图象沿x轴的负方向平 移一个单位而得到,另一部分是将y=2x+1(x≥-1)的图象作出, 而它的图象可以看作将y=2x的图象沿x轴的负方向平移一个 单位而得到,如右图所示. 法二:故先作出y=2x(x≥0)的图象,再作关于y轴对称,
2

y=2|x|的图象,再将y=2|x|的图象左移一个单位即可得到y=2|x
+1|的图象.

点评:函数y=ax的图象与y=a-x的图象关于y轴对称,y =ax的图象与y=-ax的图象关于x轴对称,函数y=ax的图象 与y=-a-x的图象关于坐标原点对称. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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一、选择填空题 1.已知指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在[0,1]上的最大 值与最小值的和为3,则a等于( ) A. 1
2

B.2 D.
1 4

C.4

解析:∵指数函数在其定义域内是单调函数, ∴端点处取得最大、小值, ∴a0+a=3,故a=2.

答案:B
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1.比较指数式的大小,多用指数函数的单调性. 2.注意函数图象由简单到复杂的变换过程. 3.研究较复杂的函数性质时,首先要搞清它是由哪 些简单函数复合而成,这样容易理解整体性质.

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