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高中数学《双曲线》 北师大版选修


双曲线及其标准方程 一、回顾 1、椭圆的定义是什么? 2、椭圆的标准方程、焦点坐标是什么? 平面上到两个定点的距离的和等于定长2a (2a大于| F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。 x2 a2 2 y + 2 =1 b ( a >0,b >0) 想一想:如果“和”改为“差”,曲线的轨迹是什么? 1、|MF1 | - |MF2 | =2a (2a< |F1F2 | ) 2、|MF2 | - | MF1| =2a (2a< |F1F2| ) M F1 这两条曲线合起来叫做双曲线, 每一条叫做双曲线的一支。 F2 双曲线的定义 平面内与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常 数(小于|F1F2 | )的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点 的距离叫做双曲线的焦距。 注意: 1. 为什么要强调差的绝对值? |F1F2 | ,轨迹是什么? 2. 为什么这个常数要小于|F1F2 |?如果不小于 1、|MF1 | - |MF2 | =2a (2a< |F1F2 | ) 2、|MF2 | - | MF1| =2a (2a< |F1F2 | ) 3、若常数2a=0 4、若常数2a = | F1F2 | F1 F2 F1 F2 M F1 F2 5、若常数2a>| F1F2 | 轨迹不存在 如何求双曲线的标准方程? 1、建系设点。设M(x , y), 双曲线的焦距为2c (c>0),F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a 2,双曲线就是集合: 3.代入坐标,得方程。 y M F1 o F2 x P= {M ||MF1 | - | MF2| = ± 2a } 即 √(x+c)2+y2 - √(x-c)2 + y2 = ± 2a 4.化为最简形式. cx-a2=± a √(x-c)2+y2 (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2) ∵c>a,∴c2 >a2 令(c2-a2)=b2 (b>0) 2 x 2 a - ( a > 0, b > 0 1 = 2 b c2=a2+b2) 2 y 这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程 ? 想一想 焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是什么 y F2 o F1 2 y 2 a - 2 x 2 b = 1 思考:如何由双曲线的方 程判断双曲线的焦点位置 x 双曲线的标准方程 x2 y 2 方程形式: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b y y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y F2 o x F1 o F2 x F1 位置特征:焦点在x轴上 焦点坐标 F1 ( ?c, 0) F2 (c, 0) 数量特征: 2 c 2 ? a 2 ? b( a, b, c ? 0) 焦点在y轴上 F1 (0, ?c) F2 (0, c ) F 1F 2 ? 2c 例题分析 例1、已知双曲线的焦点 F1 (-5,0), F2 (5,0),双曲线上 一点P到焦点的距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准 方程。 所求轨迹的方程为: x y ? ?1 9 16 x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) 9 16 2 2 1.若 PF1 ? PF2 ? 6呢? 2.若 PF1 ? PF2 ? 10呢? 两条射线 轨迹不存在 3.若 PF1 ? PF2 ? 12呢? x2 + y2 ? 例2、如果方程 m-1 2-m = 1 表示双 曲线,求m的范围 ?

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