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八年级数学下册 19.3梯形教案(2) 新人教版


湖北省安陆市德安初级中学八年级数学下册 19.3 梯形教案(2) 新 人教版
一、教学目标: 1.通过探究教学,使学生掌握“同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形”这个判定方法, 及其此判定方法的证明. 2.能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算,体会转化的思想, 数学建模的思想, 会用分析法寻求证明题思路, 从而进一步培养学生的分析能力和计算能力. 3.通过添加辅助线,把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题,使学生体会图形变 换的方法和转化的思想. 二、重点、难点 1.重点:掌握等腰梯形的判定方法并能运用. 2.难点:等腰梯形判定方法的运用. 三、例题的意图分析 本节课安排的例题与练习较多,可供老师们选用 . .. 例 1 是教材 P119 的例 2,这是一道计算题,讲解时要让学生注意,已知中并没有给出 等腰梯形的条件,它需要先判定梯形 ABCD 为等腰梯形,然后再用其性质得出结论. 例 2、例 3、例 4 都是补充的题目.其中例 2 是一道文字题,这道题在进行证明时,可 采用“平移对角线”或“作高”两种不同的方法,通过讲解例 2,可以再次给学生介绍解决 梯形问题时辅助线的添加方法. 例 3 是一道证明等腰梯形的题,它需要先证明其四边形是梯形,即先证出 EG∥AB,此 时还要由 AE,BG 延长交于 O,说明 EG≠AB,才能得出四边形 ABGE 是梯形.然后再利用同底 上的两角相等得出这个梯形是等腰梯形. 选讲此题的目的是为了让学生了解和掌握证明一个 四边形是等腰梯形的步骤与方法. 例 4 是一道作图题,新教材 P119 的练习 4 就是一道画梯形图的题,此例 4 与练习 4 相 同.通过此题的讲解与练习,就是要加强学生对梯形概念的理解,并了解梯形作图的一般方 法.让学生知道梯形的画图题,也常常是通过分析,找出需要添加的辅助线,先画出三角形 或四边形,再根据它们之间的联系画出所要求的梯形. 四、课堂引入 1.复习提问: (1)什么样的四边形叫梯形,什么样的梯形是直角梯形、等腰梯形? (2)等腰梯形有哪些性质?它的性质定理是怎样证明的? (3)在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么?常用的辅助线有哪几种? 我们已经掌握了等腰梯形的性质, 那么又如何来判定一个梯形是否是等腰梯形呢?今天 我们就共同来研究这个问题. 2. 【提出问题】 :前面所学的特殊四边形的判定基本上是性 质的逆命题.等腰梯形同一底上两个角相等的逆命题是什么? 命题:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
1

问:这个命题是否成立?能否加以证明,引导学生写出已知、求证. 启发:能否转化为特殊四边形或三角形,鼓励学生大胆猜想,和求证. 已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=∠C. 求证:AB=CD. 分析:我们学过“如果一个三角形中有两个角相等,那么它们 所对的边相等. ”因此,我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转 化为等腰三角形的两个底角,命题就容易证明了. 证明方法 1:过点 D 作 DE∥AB 交 BC 于点 F,得到△DEC. ∵AB∥DE, ∴∠B=∠1, ∵∠B=∠C, ∴∠1=∠C. ∴DE=DC. 又∵AD∥BC, ∴DE=AB=DC. 证明时,可以仿照性质证明时的分析,来启发学生添加辅助线 DE. 证明方法二:用常见的梯形辅助线方 法:过点 A 作 AE⊥BC, 过 D 作 DF⊥BC, 垂足分别为 E、F(见图一). 证明方法三: 延长 BA、CD 相交于点 E(见图二) . 图一 图二 通过证明:验证了命题的正确 性,从而得到:等腰梯形判定方法 等腰梯形判定方法 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 几何表达式:梯形 ABCD 中,若∠B=∠C,则 AB=DC. 【注意】等腰梯形的判定方法:①先判定它是梯形,②再用“两腰相等”“或同一底上 的两个角相等”来判定它是等腰梯形. 五、例、习题分析 例 1(教材 P119 的例 2) 例 2(补充) 证明:对角线相等的梯形是等腰梯形. 已知:如图,梯形 ABCD 中,对角线 AC=BD. 求证:梯形 ABCD 是等腰梯形. 分析:证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件 来构造等腰三角形.在 Δ ABC 和 Δ DCB 中,已有两边对应 相等,要能证∠1=∠2,就可通过证 Δ ABC ≌Δ DCB 得到 AB=DC. 证明 :过点 D 作 DE∥AC,交 BC 的延长线于点 E, 又 AD∥BC,∴ 四边形 ACED 为平行四边形, ∴ DE=AC . ∵ AC=BD , ∴ DE=BD ∴ ∠1=∠E

2

∵ ∠2=∠E , ∴ ∠1=∠2 又 AC=DB,BC=CE, ∴ Δ ABC≌Δ DCB. ∴ AB=CD. ∴ 梯形 ABCD 是等腰梯形. 说明: 如果 AC、 BD 交于点 O, 那么由∠1=∠2 可得 OB=OC, OA=OD , 即等腰梯形对角线相交,可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形, 这个结论虽不能直接引用,但可以为以后解题提供思路. 问: 能否有其他证法, 引导学生作出常见辅助线, 如图, 作 AE⊥BC, DF⊥BC,可证 RtΔ ABC≌RtΔ CAE,得∠1=∠2.

例 3(补充) 已知:如图,点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上,CF ⊥BE 交 BD 于 G,F 是垂足.求证:四边形 ABGE 是等腰梯形. 分析: 先证明 OE=OG, 从而说明∠OEG=45°, 得出 EG∥AB, 由 AE, BG 延长交于 O,显然 EG≠AB.得出四边形 ABGE 是梯形,再利用同底上 的两角相等得出它为等腰梯形. 例 4 (补充)画一等腰梯形,使它上、下底长分别 4cm、12cm,高为 3cm,并计算这个 等腰梯形的周长和面积. 分析:梯形的画图题常常通过分析,找出需添加的辅助线,归结为三角形或平行四边形 的作图,然后,再根据它们之间的联系,画出所要求的梯形. 如图,先算出 AB 长,可画等腰三角形 ABE,然后完成 AECD 的画图.

画法:①画 Δ ABE,使 BE=12—4=8cm. . ②延长 BE 到 C 使 EC=4cm. ③ 分别过 A、C 作 AD∥BC ,CD∥AE,AD、CD 交于点 D. 四边形 ABCD 就是所求的等腰梯形. 解:梯形 ABCD 周长=4+12+5×2=26cm .

S 梯形ABCD ?

1 ? ( 4 ? 12 ) ? 3 ? 24cm 2. 2

答:梯形周长为 26cm,面积为 24 cm 2 . 六、随堂练习

3

1.下列说法中正确的是( (A)等腰梯形两底角相等

).

(B)等腰梯形的一组对边相等且平行 (C)等腰梯形同一底上的两个角都等于 90 度 (D)等腰梯形的四个内角中不可能有直角 2.已知等腰梯形的周长 25cm,上、下底分别为 7cm、8cm,则腰长为_______cm. 3.已知等腰梯形中的腰和上底相等,且一条对角线和一腰垂直,求这个梯形的各个角的度 数. 4.已知,如图,在四边形 ABCD 中,AB>DC,∠1=∠2,AC=BD, 求证:四边形 ABCD 是等腰梯形. ( 略 证

?ADC ? ?BDC ? ?ADC ? ?BCD , AD=BC ,

?ADB ? ?ACB ? ?DAB ? ?CBA ,∴ AB∥DC)
5.已知,如图,E、F 分别是梯形 ABCD 的两底 AD、BC 的中点,且 EF⊥BC,求证:梯形 ABCD 是等腰梯形. 七、课后练习 1.等腰梯形一底角 60 ,上、下底分别为 8 ,18,则它的腰长为______,高为______,面 积是_________. 2. 梯形两条对角线分别为 15, 20, 高为 12, 则此梯形面积为_________. 3. 已知: 如图, 在四边形 ABCD 中, ∠B=∠C, AB 与 CD 不平行, 且 AB=CD. 求 证:四边形 ABCD 是等腰梯形. 4.如图 4.9-9,梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=BC,CE⊥AB 于 E,若 AC ⊥BD 于 G.求证:CE=
?

1 (AB+CD). 2

4


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