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www.156msc.com:第8讲 立体几何中的向量方法(二)

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第8讲
【2013 年高考会这样考】

立体几何中的向量方法(二)

考查用向量方法求异面直线所成的角,直线与平面所成的角、二面角的大小. 【复习指导】 复习中要掌握空间角的类型及各自的范围,掌握求空间角的向量方法,特别注意 两平面法向量的夹角与二面角的关系.

基础梳理

1.空间的角 (1)异面直线所成的角 如图,已知两条异面直线 a、b,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b.则把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角).

(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面 所成的角. ①直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;②直线和平面平行,或在平面内, 则它们所成的角是 0° 的角.

(3)二面角的平面角 如图在二面角 α- β 的棱上任取一点 O,以点 O 为垂足,在半平面 α 和 β 内分别 l-

作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则∠AOB 叫做二面角的平面角. 2.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 m1,m2,则 l1 与 l2 的夹角 θ 满足 cos θ= |cos〈m1,m2〉|. (2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m,n,则直线 l 与平面 α 的夹 角 θ 满足 sin θ=|cos〈m,n〉|. (3)求二面角的大小 (ⅰ)如图①,AB、CD 是二面角 α- β 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的 l→ → . 大小 θ=〈AB,CD〉

(ⅱ)如图②③,n1,n2 分别是二面角 α- β 的两个半平面 α,β 的法向量,则二面 l角的大小 θ 满足 cos θ=cos〈n1,n2〉或-cos〈n1,n2〉 .

三种成角 π? ? (1)异面直线所成的角的范围是?0,2?; ? ? π? ? (2)直线与平面所成角的范围是?0,2?; ? ? (3)二面角的范围是[0,π]. 易误警示 利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面 α、β 的法向量 n1, 2 时, n 要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二面角与向量 n1,n2 的 夹角是相等,还是互补,这是利用向量求二面角的难点、易错点. 双基自测 1.如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是 a=(1,0,1), b=(0,1,1),那么,这条斜线与平面所成的角是( A.90° B.30° C.45° D.60° ).

解析 ∵cos〈a,b〉=

1 1 =2, 2· 2

又∵〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉=60° . 答案 D 2.(人教 A 版教材习题改编)已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1), 则两平面所成的二面角的大小为( A.45° C.45° 135° 或 1 2 m· n 解析 cos〈m,n〉=|m||n|= =2, 1× 2 即〈m,n〉=45° ,其补角为 135° , ∴两平面所成的二面角为 45° 135° 或 . 答案 C 3.(2011· 德州月考)已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量, 1 若 cos〈m,n〉=-2,则 l 与 α 所成的角为( A.30° B.60° C.120° D.150° 解析 设 l 与 α 所成的角为 θ, 1 则 sin θ=|cos〈m,n〉|=2,∴θ=30° . 答案 A 4.在如图所示的正方体 A1B1C1D1ABCD 中,E 是 C1D1 的中点,则异面直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为( 10 A.- 10 1 C.20 ). 1 B.-20 10 D. 10 ). ). B.135° D.90°

解析 如图建立直角坐标系 D- 设 DA=1, xyz, A(1,0,0), C(0,1,0), 1 ? → 1 ? ? → ? E?0,2,1?.则AC=(-1,1,0),DE=?0,2,1?,若异面直线 DE 与 AC 所成的角 ? ? ? ?

为 θ, 10 → → cos θ=|cos〈AC,DE〉|= 10 . 答案 D

5. 如图所示, 在三棱柱 ABC- 1B1C1 中, 1⊥底面 ABC, A AA AB=BC=AA1, ∠ABC =90° 点 E、 分别是棱 AB、 1 的中点, , F BB 则直线 EF 和 BC1 所成的角是________. 解析 建立如图所示的空间直角坐标系.

设 AB=BC=AA1=2, 则 C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1) → → 则EF=(0,-1,1),BC1=(2,0,2), → BC → ∴EF· 1=2, → → ∴cos〈EF,BC1〉= 2 1 =2, 2×2 2

∴EF 和 BC1 所成角为 60° . 答案 60°

考向一

求异面直线所成的角

【例 1】 ?(2011· 上海高考改编)已知 ABCD- 1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱, A 高 AA1=2,求 (1)异面直线 BD 与 AB1 所成角的余弦值; (2)四面体 AB1D1C 的体积. [审题视点] 建立恰当的空间直角坐标系,用向量法求解,注意角的范围.

解 (1)如图建立空间直角坐标系 A1xyz,由已知条件: B(1,0,2),D(0,1,2), A(0,0,2),B1(1,0,0). → 则BD=(-1,1,0), → AB1=(1,0,-2) 设异面直线 BD 与 AB1 所成角为 θ, 10 → → cos θ=|cos〈BD,AB1〉|= 10 . 2 (2)VAB1D1C=VABCDA1B1C1D1-4VCB1C1D1=3. 异面直线所成角范围是(0° ,90° ],若异面直线 a,b 的方向向量为 m, n,异面直线 a,b 所成角为 θ,则 cos θ=|cos〈m,n〉|.解题过程是:(1)建系; (2)求点坐标;(3)表示向量;(4)计算. 【训练 1】 (2011· 全国高考)已知正方体 ABCD- 1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点, A 则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为________.

解析 如图建立直角坐标系 Dxyz,设 DA=1,由已知条件

1 ? ? A(1,0,0),E?0,2,1?, ? ? B(1,1,0),C(0,1,0), 1 ? → → ? AE=?-1,2,1?,BC=(-1,0,0) ? ? 设异面直线 AE 与 BC 所成角为 θ. → BC → |AE· | 2 → → cos θ=|cos〈AE,BC〉|= = . → → 3 |AE||BC| 2 答案 3 考向二 利用向量求直线与平面所成的角

【例 2】 ?如图所示, 已知点 P 在正方体 ABCDA′B′C′D′的对角线 BD′上, ∠PDA=60° . (1)求 DP 与 CC′所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小. [审题视点] 转化为三角形内角求解不易,故考虑用向量法求解,注意向量的夹 角与直线与平面所成角的关系.

解 如图所示,以 D 为原点,DA 为单位长度建立空间直角坐标系 Dxyz. → → 则DA=(1,0,0),CC′=(0,0,1). 连接 BD,B′D′. 在平面 BB′D′D 中,延长 DP 交 B′D′于 H. → → → → DH → → → → 设DH=(m,m,1)(m>0),由已知〈DH,DA〉=60° ,即DA· =|DA||DH|cos〈DH,

→ , DA〉 可得 2m= 2m2+1. 2 ? 2 → ? 2 解得 m= 2 ,所以DH=? , ,1?. 2 2 ? ? 2 2 ×0+ 2 ×0+1×1 2 2 → → (1)因为 cos〈DH,CC′〉= =2, 1× 2 → → 所以〈DH,CC′〉=45° ,即 DP 与 CC′所成的角为 45° . → (2)平面 AA′D′D 的一个法向量是DC=(0,1,0). 2 2 ×0+ 2 ×1+1×0 2 1 → → 因为 cos〈DH,DC〉= =2, 1× 2 → → 所以〈DH,DC〉=60° , 可得 DP 与平面 AA′D′D 所成的角为 30° . (1)异面直线的夹角与向量的夹角有所不同,应注意思考它们的区别与 联系. (2)直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角,由于 向量方向的变化,所以要注意它们的区别与联系.

【训练 2】 (2010· 辽宁)已知三棱锥 PABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥AC,PA= 1 AC=2AB,N 为 AB 上一点,AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. (1)证明:CM⊥SN; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

解:设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x,y,z 轴正向建立空间 直角坐标系如图. 则 P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0), 1? ? ?1 ? M?1,0,2?,N?2,0,0?, ? ? ? ? 1 ? ? S?1,2,0?. ? ? 1 ? 1 → ? 1 → (1)证明:CM=(1,-1,2),SN=?-2,-2,0?, ? ? 1 1 → SN → 因为CM· =-2+2+0=0,所以 CM⊥SN. ? → ? 1 (2)NC=?-2,1,0?, ? ? ?CM· ? → a=0 设 a=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,则? → a=0 ?NC· ?

?x-y+1z=0, ? 2 ∴? 1 ?-2x+y=0, ? ?-1-1? 2 2? ? → 取 x=2,得 a=(2,1,-2).因为|cos〈a,SN〉|= = , ? 3× 2 ? 2 ? 2?
所以 SN 与平面 CMN 所成角为 45° . 考向三 利用向量求二面角

【例 3】?(2011· 全国新课标)如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边 形,∠DAB=60° ,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)若 PD=AD,求二面角 A- C 的余弦值. PB[审题视点] 会判断法向量的方向,找准向量夹角与二面角是相等还是互补.

(1)证明

因为∠DAB=60° ,AB=2AD,由余弦定理得 BD= 3AD.

从而 BD2+AD2=AB2,故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD.又 AD∩PD=D. 所以 BD⊥平面 PAD.故 PA⊥BD.

(2)解

如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建

立空间直角坐标系 Dxyz,则 A(1,0,0),B(0, 3,0),C(-1, 3,0),P(0,0,1). → → → AB=(-1, 3,0),PB=(0, 3,-1),BC=(-1,0,0). → ?n· =0, ? AB 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z),则? → ?n· =0. ? PB ?-x+ 3y=0, 即? ? 3y-z=0. 因此可取 n=( 3,1, 3). → ?m· =0, ? PB 设平面 PBC 的法向量为 m,则? → ?m· =0. ? BC -4 2 7 可取 m=(0,-1,- 3),则 cos〈m,n〉= =- 7 . 2 7 2 7 故二面角 A- C 的余弦值为- 7 . PB求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向 量, 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图 形判断所求角是锐角还是钝角.

【训练 3】 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,

AP=AB=2,BC=2 2,E,F 分别是 AD,PC 的中点. (1)证明:PC⊥平面 BEF; (2)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小.

(1)证明

如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立

空间直角坐标系. ∵AP=AB=2,BC=AD=2 2,四边形 ABCD 是矩形, ∴A, C, P 的坐标为 A(0,0,0), B, D, B(2,0,0), C(2,2 2, D(0,2 2, P(0,0,2). 0), 0), 又 E,F 分别是 AD,PC 的中点,∴E(0, 2,0),F(1, 2,1). → → → ∴PC=(2,2 2,-2),BF=(-1, 2,1),EF=(1,0,1). → BF → → EF → ∴PC· =-2+4-2=0,PC· =2+0-2=0. → → → → ∴PC⊥BF,PC⊥EF ∴PC⊥BF,PC⊥EF.又 BF∩EF=F, ∴PC⊥平面 BEF. (2)解 → 由(1)知平面 BEF 的一个法向量 n1=PC=(2,2 2, -2), 平面 BAP 的一个

→ 法向量 n2=AD=(0,2 2,0), ∴n1·2=8. n 设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 θ, |n1·2| n 则 cos θ=|cos〈n1,n2〉|=|n ||n |=
1 2

8 2 =2, 4×2 2

∴θ=45° .∴平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45° .

阅卷报告 12——对法向量夹角与二面角大小关系认识不清导致失误 【问题诊断】 立体几何是高考的重点和热点内容,而求空间角是重中之重,利 用空间向量求空间角的方法固定,思路简洁,但在利用平面的法向量求二面角大

小时, 两个向量的夹角与二面角相等还是互补是这种解法的难点,也是学生的易 错易误点. 【防范措施】 正确判断法向量的方向,同指向二面角内或外则向量夹角与二面 角互补,一个指向内另一个指向外则相等.

【示例】? (2011· 辽宁)如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD∥ 1 QA,QA=AB=2PD. (1)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (2)求二面角 Q - C 的余弦值. BP实录 如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长度,射线 DA 为 x 轴的正 半轴建立空间直角坐标系 Dxyz. (1)依题意有 Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0). → → → 则DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,0).

→ DQ → → DC → 所以PQ· =0,PQ· =0. 即 PQ⊥DQ,PQ⊥DC.又 DQ∩DC=D,故 PQ⊥平面 DCQ. 又 PQ?平面 PQC,所以平面 PQC⊥平面 DCQ. 错因 如图平面 BPC,与平面 BPQ 的法向量分别为 n=(0,1,2),m=(1,1,1),设 二面角 Q - C 的大小为 θ,则 θ≠〈m,n〉 BP,θ=π-〈m,n〉

→ → (2)依题意有 B(1,0,1),CB=(1,0,0),BP=(-1,2,-1). 设 n=(x,y,z)是平面 PBC 的法向量,则

→ ?n· =0, ? CB ?x=0, ? 即? → ?-x+2y-z=0. ?n· =0, ? BP 令 y=1,则 n=(0,1,2). → ?m· =0, ? BP 同理,设 m 是平面 PBQ 的法向量,则? → ?m· =0. ? PQ 可取 m=(1,1,1), 15 所以 cos〈m,n〉= 5 . 15 故二面角 Q - C 的余弦值为 5 . BP正解 (1)见实录 → → (2)依题意有 B(1,0,1),CB=(1,0,0),BP=(-1,2,-1). → ?n· =0, ? CB ?x=0, 设 n=(x,y,z)是平面 PBC 的法向量,则? 即? → ?-x+2y-z=0. ?n· =0. ? BP 因此可取 n=(0,-1,-2). → ?m· =0, ? BP 设 m 是平面 PBQ 的法向量,则? → ?m· =0. ? PQ 15 可取 m=(1,1,1),所以 cos〈m,n〉=- 5 . 15 故二面角 QBPC 的余弦值为- 5 .


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