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www.e75.com:辽宁省朝阳市重点中学2014-2015学年高二上学期期末联考数学试题

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朝阳市重点中学 2014-2015 学年度高二上学期期末联考

数 学 试 卷
命题人: 胡道波 何小明 注意事项: 1.请在答题纸上作答,在试卷上作答无效。 2.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 校对人: 胡道波

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.与向量 a =(1,-3,2)平行的一个向量的坐标为( ) (A)(1,3,2) (B)(-1,-3,2) (C)(-1,3,-2) (D)(1,-3,-2) 2.已知 M (?2, 0) , N (2, 0) , |PM | ? | PN| ? 3 ,则动点 P 的轨迹是( (A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线 3. 已知命题 p : ?x ? R , cos x ? 1 ,则 ?p 是( ) (A) ?x 0 ? R, cos x 0 ? 1 (B) ?x ? R, cos x ? 1 4. 已知函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) 的图象如图 所示,那么函数 f ( x) 的图象最有可能的是( ) (C) ?x 0 ? R, cos x 0 ? 1 (D) ?x ? R, cos x ? 1 )
21

5.“ a ? c ? b ? d ”是“ a ? b 且 c ? d ”的 ( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 6.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则 (A)

)

15 4

(B)

15 2

(C)

7 4

S4 的值为( a2 7 (D) 2



7.下列命题中,真命题是( x (A)?x0∈R, e 0 ≤0

) (B)?x∈R, 2x>x2

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2 2

(C)双曲线 x ? y ? 1 的离心率为 (D)双曲线 x ?
2

2 2

y2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ?2 x 4 ? x ? y ? 2, ? 8.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 2, 则 z ? 2 x ? y 的最小值是( ?0 ? y ? 3, ?
(A)5 (B)



5 2 9. 已知 F1 (?1, 0), F2 (1, 0) 是椭圆的两个焦点, 过 F1 的直线 l 交椭圆于 M , N 两点, 若 ?MF2 N 的周长为 8 ,则椭圆方程为( ) 2 2 x y y2 x2 (A) (B) ? ?1 ? ?1 4 3 4 3 x2 y2 y2 x2 (C) (D) ? ?1 ? ?1 16 15 16 15 3x ? 3 y 10.设 M ? , 则 M , N , P 大小关 , N ? ( 3) x ? y , P ? 3 xy ( x, y ? R ? ,且 x ? y ) 2
(C) ?5 (D) ? 系为( ) (A) M ? N ? P (B) N ? P ? M (C) P ? M ? N (D) P ? N ? M 11. 四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, AB ? (2,?1,?4),

5 2

AD ? (4,2,0), AP ? (?1,2,?1), 则直线 PA 与底面 ABCD 的关系是(
(A)平行 (C)在平面内 12. 对 ?x1 , x2 ? (0, (A)y1=y2 (C)y1<y2

)

?
2

(B)垂直 (D)成 60° 角

) ,若 x2 ? x1 ,且 y1 ?

1 ? sin x1 1 ? sin x2 , y2 ? ,则( x1 x2
(B)y1>y2 (D)y1,y2 的大小关系不能确定

)

第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.抛物线 x ? 2 y 的焦点 F 到准线 l 的距离是
2

. . .

14. S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, a2 ? a6 ? 6 ,则 S7 ? 15.曲线 y ? ln x ? x 在点(1,1)处的切线方程为 16. 过点 (2 2 , 3 ) 的双曲线 C 的渐近线方程为 y ? ?

3 x, P 为双曲线 C 右支上一点, 2
.

F 为双曲线 C 的左焦点,点 A(0,3), 则 PA ? PF 的最小值为

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, A 为 B , C 的等差中项. (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c 的值.

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3 x ? 12 x ? 8 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 x ? [?2,3] ,求函数 f ( x) 的值域.
3 2

19.(本小题满分 12 分) 已 知 ABCD 为 直 角 梯 形 , ?DAB ? ?ABC ? 90 o , PA ? 平 面 ABCD ,

PA ? AB ? BC ? 2, AD ? 1. (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值.

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 O ,对称轴为 x 轴,焦点为 F ,抛物线上一点 A 的横坐标 为 2,且 FA ? OA ? 16 . (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)过点 M (8,0) 作直线 l 交抛物线于 B , C 两点,求证: OB ? OC .

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21. (本小题满分 12 分) 如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AA1 ? AB ? 2 . (Ⅰ)求直线 AB1 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值; (Ⅱ)在线段 AA1 上是否存在点 D ?使得二面角 B1 ? DC ? C1 的大小为 60°,若存在,求 出 AD 的长;若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 上下两顶点分别 a b 2 1 为 A, B ,直线 y ? kx ? 2 交椭圆 C 于 P, Q 两点,直线 PB 与直线 y ? 交于点 M . 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求证: A, M , Q 三点共线.

(- 1, 0),且离心率 e ? 设一个焦点为

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高二数学参考答案与评分标准
一、选择题 1.C;2.D;3.C;4. A;5.B;6.B;7.D;8.C;9.A;10.D;11. B;12.B. 二、填空题 13.1;14.21;15. y ? 2 x ? 1 ;16.8. 三、解答题 17.解:(Ⅰ)∵ A 为 B , C 的等差中项, 2 A ? B ? C , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 π ∵ A ? B ? C ? ? ,∴A= .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 3 1 (Ⅱ)△ABC 的面积 S= bcsinA= 3,故 bc=4. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 而 a2=b2+c2-2bccosA,故 b2+c2=8. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 解得 b=c=2. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 18.解:(Ⅰ) f ( x)=6 x ? 6 x ? 12 .
, 2

当 f ( x) ? 0 时, x ? 2 或 x ? ?1 ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分
, ,

当 f ( x) ? 0 时, ?1 ? x ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4分 ∴函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (2, ??) ; 函数 f ( x) 的单调减区间为 (?1, 2) 。· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) 极大值 ? f ( ?1) ? ?2 ? 3 ? 12 ? 8 ? 15 ;

f ( x) 极小值 ? f (2) ? 16 ? 12 ? 24 ? 8 ? ?12 . 又因为 f (?2) ? 4, f (3) ? ?1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 所以函数 f ( x) 的值域为 [?12,15]. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

P

y

C
D
A

19.解:如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系, 可得 B (2,0,0), C (2,2,0), D (0,1,0), P (0,0,2) 。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 (Ⅰ)证明法一:因为 BC ? (0,2,0), AB ? (2,0,0), AP ? (0,0,2) , 所以 BC ? AB ? 0, BC ? AP ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 所以 BC ? AB, BC ? AP , AP I AB ? A , PA ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , 所以 BC ? 平面 PAB . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 证 明 法 二 : 因 为 PA ? 平 面 ABCD , BC ? 平 面 ABCD , 所 以 PA ? BC , 又 因 为 ?ABC =90°,即 BC ? AB , AP I AB ? A , PC ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , 所以 BC ? 平面 PAB . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ )由(Ⅰ)知平面 PAB 的一个法向量 n1 ? (0,1,0) , 设平面 PCD 的法向量 n 2 ? ( x, y, z ) ,

B

x

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又 PC ? (2,2,?2), PD ? (0,1,?2) , 且?

? ?n2 ? PC ? 0, ? ?n2 ? PD ? 0,

?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, ? y ? 2 z ? 0, 所以平面 PCD 的一个法向量为 n 2 ? ( ?1,2,1),
所以 ? 所以 cos ? n1 , n 2 ??

n1 ? n2 6 ? , n1 n2 3
6 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 3

所以平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为
2

20.解: (Ⅰ)由题设抛物线的方程为: y ? 2 px ( p ? 0) ,

p · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 , 0) ,点 A 的一个坐标为 (2, 2 p ) , · 2 p ∵ FA ? OA ? 16 ,∴ (2 ? , 2 p )(2, 2 p ) ? 16 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 2 ∴ 4 ? p ? 4 p ? 16 ,∴ p ? 4 ,∴ y ? 8 x . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)设 B 、 C 两点坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) , 法一:因为直线当 l 的斜率不为 0,设直线当 l 的方程为 x ? ky ? 8
则点 F 的坐标为 (

? y 2 ? 8 x, 2 得 y ? 8ky ? 64 ? 0 , ? x ? ky ? 8 y1 ? y2 ? 8k , y1 gy2 ? ?64 uuu r uuu r 因为 OB ? ( x1 , y1 ), OC ? ( x2 , y2 ),
方程组 ?

uuu r uuu r 所以 OB ? OC ? x1 x2 ? y1 y2 ? (ky1 ? 8)(ky2 ? 8) ? y1 y2

? (k 2 ? 1) y1 y2 ? 8ky ( y1 ? y2 ) ? 64 =0, 所以 OB ? OC . 法二:①当 l 的斜率不存在时, l 的方程为 x ? 8 ,此时 B (8,8), C (8,?8),
即 OB ? (8,8), OC ? (8,?8), 有 OB ? OC ? 64 ? 64 ? 0, 所以 OB ? OC .…… 8 分 ② 当 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 8).

? y 2 ? 8 x, 2 2 2 2 2 方程组 ? 得 k x ? (16k ? 8) x ? 64k ? 0, ky ? 8 y ? 64k ? 0. ? y ? k ( x ? 8), 所以 x1 x 2 ? 64, y1 y 2 ? ?64, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 uuu r uuu r 因为 OB ? ( x1 , y1 ), OC ? ( x2 , y2 ),
所以 OB ? OC ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 64 ? 64 ? 0, 所以 OB ? OC . 由①②得 OB ? OC . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分
21.解:如图,以 AC 中点为原点建立空间直角坐标系,

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可得 A(1, 0, 0), B (0,

3, 0), C ( ?1, 0, 0), A1 (1, 0, 2), B1 (0, 3, 2), C1 (?1, 0, 2) .
AB1 ? n1 6 , ? AB1 n1 4
A1

(Ⅰ )所以 AB1 ? (?1, 3 ,2) ,平面 AA1C1C 的一个法向量 n1 ? (0,10z ).
所以 cos ?

AB1 , n1 ??

6 所以直线 AB1 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值为 .……… 6 分 4 (Ⅱ )假设存在满足条件的点 D ,设 AD= m(0 ? m ? 2) , 则 D (1,0, m) ,设平面 B1 DC 的法向量 n 2 ? ( x, y, z ) ,
因为 CB1 ? (1, 3 ,2) , CD ? (2,0, m) ,

C1

B1

C

B

A ? ?n ? CB1 ? 0, 且? 2 ? ? n2 ? CD ? 0, x ? x ? 3 y ? 2 z ? 0, 4?m 所以 ? 所以平面 B1 DC 的一个法向量 n 2 ? ( m, ,?2) 2 x ? mz ? 0 , 3 ? 又因为平面 C1 DC 的一个法向量 n1 ? (0,10).

y

4?m
所以

n1 ? n2 ? n1 n2

3 m2 ? ( 4 ? m) ?4 3
2

?

1 , 2

3 3 ,因为 0 ? m ? 2 ,此时 AD ? , 2 2 所以存在点 D ,使得二面角 B1—DC—C1 的大小为 60°. …………………… 12 分
解得 m ?

22.解:(Ⅰ)由题知 c ? 1 , e ?

c 2 ,∴ a ? 2, b ? 1 , ··········· 3 分 ? a 2

x2 ? y 2 ? 1 . ························· 4 分 ∴椭圆 C : 2 (Ⅱ) 设点 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) ,由(Ⅰ)知 A(0,1), B(0, ?1) y ?1 3 x1 1 ∴直线 PB 的方程为 y ? 1 x ? 1 ,∴ M ( , ) . ·········· 5 分 x1 2(y1 ? 1) 2 1 1? 2 ? kx1 ? 3 , k ? 1 ? y2 ? kx2 ? 1 , ·········· 8 分 ∴ k AM ? AQ 3 x1 ?3 x1 ? x2 x2 ? 2(y1 ? 1) kx ? 1 kx1 ? 3 4kx1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) k AQ ? k AM ? 2 ? ? x2 3 x1 3x1 x2
? x2 2 ? ? y ?1 由方程组 ? 2 ? y ? kx ? 2 ?

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2 2 2 2

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化简得: (2k ? 1) x ? 8kx ? 6 ? 0 , ? ? 64k ? 24(2k ? 1) ? 0 , k 2 ?

?8k 6 ····················· 10 分 , x1 x2 ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1 24k 24k ? 2 2 4kx1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ∴ k AM ? k AQ ? ? ? ? 2k ? 1 2k ? 1 ? 0 , 3 x1 x2 3 x1 x2 ∴ A, M , Q 三点共线. ·························· 12 分 x1 ? x2 ?

3 . 2


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