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2013年高考理科数学山东卷试题与答案word解析版

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (山东卷)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.

1.(2013 山东,理 1)复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则 z 的共轭 复数 z 为( D ). A.2+i B.2-I C.5+i D.5-i 2.(2013 山东,理 2)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中 元素的个数是( C ). A.1 B.3 C.5 D.9 3.(2013 山东,理 3)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)= x 2 ? ,则
1 x

f(-1)=( A ).
A.-2 B.0 C.1 D.2
9 4

4.(2013 山东,理 4)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底 面是边长为 3 的正三角形.若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角 的大小为( B ).
5π A. 12 π B. 3 π C. 4 π D. 6 π 8

5. (2013 山东, 5)将函数 y=sin(2x+φ )的图象沿 x 轴向左平移 个单位后, 理 得到一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能取值为( B ).
3π A. 4 π B. 4 π D. 4 ?
? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? 中,M 为不等式组 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 所表 ?3 x ? y ? 8 ? 0 ?

C.0

6.(2013 山东,理 6)在平面直角坐标系 xOy

示的区域上一动点,则直线 OM 斜率的最小值为( C ). A.2 B.1 7.(2013 山东,理 7)给定两个命题 p,q,若 ? p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是 ? q 的( A ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(2013 山东,理 8)函数 y=xcos x+sin x 的图象大致为( D ).
1 C. 3 ? 1 D. 2 ?

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9.(2013 山东,理 9)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A, B,则直线 AB 的方程为( A ). A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x +y-3=0 10.(2013 山东,理 10)用 0,1,?,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位 数的个数为( C ). A.243 B.252 C.261 D.279 11.(2013 山东,理 11)抛物线 C1:y=
x2 1 2 x (p>0)的焦点与双曲线 C2: ? y 2 ? 1 3 2p

的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐 近线,则 p=( D ).
3 A. 16 3 B. 8 2 3 C. 3 4 3 D. 3

12.(2013 山东,理 12)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当 得最大值时, ? ? 的最大值为( A.0 B.1
9 C. 4
2 x 1 y 2 z

xy 取 z

).

D.3 第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

13.(2013 山东,理 13)执行右面的程序框图,若输入的 ε 的值为 0.25,则输出的 n 的值为__________. 14.(2013 山东,理 14)在区间[-3,3]上随机取一个数 x, 使得|x+1|-|x-2|≥1 成立的概率为__________. ???? ??? ? 15.(2013 山东,理 15)已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120°, ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 且| AB |=3,| AC |=2,若 AP =λ AB + AC ,且 AP ⊥ BC ,则实 数 λ 的值为__________. 16.(2013 山东,理 16)定义“正对数”:ln+x= ? 现有四个命题: ①若 a>0,b>0,则 ln+(ab)=bln+a; ②若 a>0,b>0,则 ln+(ab)=ln+a+ln+b;
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?0, 0 ? x ? 1, ?ln x, x ? 1,

a ③若 a>0,b>0,则 ln+ ? ? ≥ln+a-ln+b; ? ? ?b?

④若 a>0,b>0,则 ln (a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2. 其中的真命题有__________.(写出所有真命题的编号)
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.



17.(2013 山东,理 17)(本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分 别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cos B= . (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值.
7 9

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18.(2013 山东,理 18)(本小题满分 12 分)如图所示,在三棱锥 P-ABQ 中,PB ⊥平面 ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD, PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连接 GH. (1)求证:AB∥GH; (2)求二面角 D-GH-E 的余弦值.

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19.(2013 山东,理 19)(本小题满分 12 分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定 先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 外, 其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设各局比赛结果相互独立. (1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利的概率; (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1,则胜利方得 3 分、对方得 0 分;若比赛结果为 3∶2,则胜利方得 2 分、对方得 1 分,求乙队得分 X 的分布列及数学期望.
2 3 1 2

20.(2013 山东,理 20)(本小题满分 12 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, Tn ? 且 数列{cn}的前 n 项和 Rn.
an ? 1 * 令 求 ? ? (λ 为常数). cn=b2n(n∈N ). n 2

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21. (2013 山东, 21)(本小题满分 13 分)设函数 f(x)= 理 是自然对数的底数,c∈R). (1)求 f(x)的单调区间、最大值; (2)讨论关于 x 的方程|ln x|=f(x)根的个数.

x +c(e=2.718 28? e2 x

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22.(2013 山东,理 22)(本小题满分 13 分)椭圆 C: 右焦点分别是 F1,F2,离心率为
3 ,过 2

x2 y 2 ? =1 (a>b>0)的左、 a 2 b2

F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的

线段长为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点, 连接 PF1, 2.设∠F1PF2 的角平分线 PF PM 交 C 的长轴于点 M(m,0),求 m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,过点 P 作斜率为 k 的直线 l,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个 公共点.设直线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1,k2.若 k≠0,试证明 并求出这个定值.
1 1 为定值, ? kk1 kk2

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2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (山东卷) 第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
1. 答案:D 解析:由题意得 z-3=

5 =2+i,所以 z=5+i.故 z =5-i,应选 D. 2?i

2. 答案:C 解析:当 x,y 取相同的数时,x-y=0;当 x=0,y=1 时,x-y=-1;当 x=0,y=2 时,x-y=-2; 当 x=1,y=0 时,x-y=1;当 x=2,y=0 时,x-y=2;其他则重复.故集合 B 中有 0,-1,-2,1,2, 共 5 个元素,应选 C. 3. 答案:A 解析:因为 f(x)是奇函数,故 f(-1)=-f(1)= ? ?1 ? ? =-2,应选 A.
2

? ?

1? 1?

4. 答案:B

9 ,底面正三角形的边长为 3 ,可求得棱柱的高为 3 .设 P 在平面 ABC 4 π 2 2 上射影为 O,则可求得 AO 长为 1,故 AP 长为 1 ? ? 3 ? ? 2 故∠PAO= ,即 PA 与平面 ABC 所成的角为 3 π . 3
解析:如图所示,由棱柱体积为 5. 答案:B 解 析 : 函 数 y = sin(2x + φ ) 的 图 象 向 左 平 移

π 个单位后变为函数 8

? ? π? ? π ? ? y ? sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? = sin ? 2 x ? ? ? ? 的 图 象 , 又 8? 4 ? ? ? ? ? π π π π ? ? y=sin ? 2 x ? ? ? ? 为偶函数, 故 ? ? ? ? kπ , ∈Z, ? ? ? kπ , k ∴ 4 4 2 4 ? ?
k∈Z.
若 k=0,则 ? ?

π .故选 B. 4

6. 答案:C 解析:不等式组表示的区域如图阴影部分所示,结合斜率变化规律, 当 M 位于 C 点时 OM 斜率最小,且为 ? 7. 答案:A 解析:由题意:q? ? p, ? p

1 ,故选 C. 3

q,根据命题四种形式之间的关系,

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互为逆否的两个命题同真同假,所以 等价于 所以 p 是 ? q 的充分而不必要条 件.故选 A. 8. 答案:D 解析:因 f(-x)=-x·cos(-x)+sin(-x)=-(xcos x+sin x)=-f(x),故该函数为奇函数,排除 B, 又 x∈ ? 0, 9. 答案:A 解析:该切线方程为 y=k(x-3)+1,即 kx-y-3k+1=0,由圆心到直线距离为

? ?

π? ? ,y>0,排除 C,而 x=π 时,y=-π ,排除 A,故选 D. 2?
| k ? 1 ? 0 ? 3k ? 1| k 2 ? ??1?2

=1,

得 k=0 或

4 ?9 3? ,切线方程分别与圆方程联立,求得切点坐标分别为(1,1),? , ? ? ,故所求直线的方程为 3 ?5 5?

2x+y-3=0.故选 A. 10. 答案:B 解析:构成所有的三位数的个数为 C9 C10 C10 =900,而无重复数字的三位数的个数为 C9 C9 C8 =648,故所 求个数为 900-648=252,应选 B. 11. 答案:D
1 1 1 1 1 1

? 3 1 ? ? 1 2? x x 1 2? 3 x0 ? , y ' ? ? x ? ' ? ,故在 M 点处的切线的斜率为 0 ? , M? 故 ? 3 p, 6 p ? . ? p 3 ? 2p ? ? 2p ? p ? ? ? 3 1 ? ? p? ? p? 由题意又可知抛物线的焦点为 ? 0, ? ,双曲线右焦点为(2,0),且 ? ? 3 p, 6 p ? , ? 0, 2 ? ,(2,0)三点共 ? ? ? 2? ? ? ? 4 线,可求得 p= 3 ,故选 D. 3
解析:设 M ? x0 ,

?

12. 答案:B 解析:由 x -3xy+4y -z=0 得 即
2 2

2 x 2 ? 4 y 2 ? 3 xy x 2 ? 3xy ? 4 y 2 =1≥ , z z

xy 2 2 2 2 ≤1,当且仅当 x =4y 时成立,又 x,y 为正实数,故 x=2y.此时将 x=2y 代入 x -3xy+4y -z=0 z
2
2

?1 ? 2 1 2 1 2 得 z=2y ,所以 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 1? +1 , x y z y y ?y ? 1 2 1 2 当 =1 ,即 y=1 时, ? ? 取得最大值为 1,故选 B. y x y z
第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.
13.答案:3 解析:第 1 次运行将 F0+F1 赋值给 F1,即将 3 赋值给 F1,然后将 F1-F0 赋值给 F0,即将 3-1=2 赋值给 F0,

n 增加 1 变成 2,此时

1 1 ? 比 ε 大,故循环,新 F1 为 2+3=5,新 F0 为 5-2=3,n 增加 1 变成 3,此 F1 3
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1 1 ? ≤ε ,故退出循环,输出 n=3. F1 5 1 14.答案: 3 x ? 2, ?3, ? 解析: y=|x+1|-|x-2|= ? 2 x ? 1, ?1 ? x ? 2, 利用函数图象(图略)可知|x+1|-|x-2|≥1 的解集为 设 ? ?3, x ? ?1, ? 3 ?1 1 [1,+∞).而在[-3,3]上满足不等式的 x 的取值范围为[1,3],故所求概率为 ? . 3 ? ??3? 3 7 15.答案: 12 ? ??? ???? ??? ? ???? ??? ???? ??? ? ??? ???? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? 解析:∵ AP =λ AB + AC , AP ⊥ BC ,又 BC = AC - AB ,∴( AC - AB )·( AC +λ AB )=0. ???? 2 ??? ???? ??? ???? ? ? ??? 2 ? ? 1? ∴ AC +λ AB · AC - AB · AC -λ AB =0,即 4+(λ -1)×3×2× ? ? ? -9λ =0,即 7-12λ ? 2? 7 =0,∴λ = . 12
时 16. 答案:①③④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.
17. 2 2 2 解:(1)由余弦定理 b =a +c -2accos B, 2 2 得 b =(a+c) -2ac(1+cos B), 又 b=2,a+c=6,cos B=

7 , 9
2

所以 ac=9,解得 a=3,c=3. (2)在△ABC 中,sin B= 1 ? cos B ? 由正弦定理得 sin A=

4 2 . 9

a sin B 2 2 ? . b 3

因为 a=c,所以 A 为锐角. 所以 cos A= 1 ? sin A ?
2

1 . 3
10 2 . 27

因此 sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=

18. (1)证明:因为 D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点, 所以 EF∥AB,DC∥AB.所以 EF∥DC. 又 EF 平面 PCD,DC ? 平面 PCD, 所以 EF∥平面 PCD. 又 EF ? 平面 EFQ,平面 EFQ∩平面 PCD=GH, 所以 EF∥GH. 又 EF∥AB,所以 AB∥GH. (2)解法一:在△ABQ 中,AQ=2BD,AD=DQ, 所以∠ABQ=90°,即 AB⊥BQ. 因为 PB⊥平面 ABQ, 所以 AB⊥PB.
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又 BP∩BQ=B, 所以 AB⊥平面 PBQ. 由(1)知 AB∥GH,所以 GH⊥平面 PBQ. 又 FH ? 平面 PBQ,所以 GH⊥FH. 同理可得 GH⊥HC, 所以∠FHC 为二面角 D-GH-E 的平面角. 设 BA=BQ=BP=2,连接 FC, 在 Rt△FBC 中,由勾股定理得 FC= 2 , 在 Rt△PBC 中,由勾股定理得 PC= 5 . 又 H 为△PBQ 的重心,

1 5 . PC ? 3 3 5 同理 FH= . 3
所以 HC=

5 5 ? ?2 4 9 9 在△FHC 中,由余弦定理得 cos∠FHC= ?? . 5 5 2? 9 4 故二面角 D-GH-E 的余弦值为 ? . 5
解法二:在△ABQ 中,AQ=2BD,AD=DQ, 所以∠ABQ=90°. 又 PB⊥平面 ABQ, 所以 BA,BQ,BP 两两垂直. 以 B 为坐标原点,分别以 BA,BQ,BP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设 BA=BQ=BP=2, 则 E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2). 所以 EQ =(-1,2,-1), FQ =(0,2,-1),

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? DP =(-1,-1,2), CP =(0,-1,2).
??? ? ??? ?

设平面 EFQ 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1), 由 m· EQ =0,m· FQ =0, 得?

?? x1 ? 2 y1 ? z1 ? 0, ?2 y1 ? z1 ? 0,

取 y1=1,得 m=(0,1,2). 设平面 PDC 的一个法向量为 n=(x2,y2,z2), 由 n· DP =0,n· CP =0, 得?

??? ?

??? ?

?? x2 ? y2 ? 2 z2 ? 0, ?? y2 ? 2 z2 ? 0,

取 z2=1,得 n=(0,2,1). 所以 cos〈m,n〉=

m· n 4 ? . | m || n | 5

因为二面角 D-GH-E 为钝角, 所以二面角 D-GH-E 的余弦值为 ?

4 . 5

19. 解:(1)记“甲队以 3∶0 胜利”为事件 A1,“甲队以 3∶1 胜利”为事件 A2,“甲队以 3∶2 胜利”为事件
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A3,
由题意,各局比赛结果相互独立, 故 P(A1)= ?

8 ?2? , ? ? 27 ?3? ?2? ? ?3? ?
2
2

3

2 P(A2)= C3 ? ? ? 1 ? ? ?

2? 2 8 ? , 3 ? 3 27
2

?2? P(A3)= C ? ? ?3?
2 4

? 2? 1 4 . ?1 ? ? ? ? ? 3 ? 2 27

所以,甲队以 3∶0 胜利、以 3∶1 胜利的概率都为 (2)设“乙队以 3∶2 胜利”为事件 A4, 由题意,各局比赛结果相互独立,

8 4 ,以 3∶2 胜利的概率为 . 27 27

? 2? ?2? ? 1? 4 所以 P(A4)= C ?1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? . ? 3 ? ? 3 ? ? 2 ? 27
2 4

2

2

由题意,随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3, 根据事件的互斥性得

P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=
又 P(X=1)=P(A3)=

16 , 27

4 , 27

P(X=2)=P(A4)=

4 , 27 3 . 27
1 2 3

P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=
故 X 的分布列为

X P
所以 EX=0×

0

16 27

4 27

4 27

3 27

3 7 16 4 4 +1× +2× +3× = . 27 9 27 27 27

20. 解:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由 S4=4S2,a2n=2an+1 得

? 4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d , ? ? a1 ? ? 2n ? 1?d ? 2a1 ? 2? n ? 1?d ? 1.
解得 a1=1,d=2. * 因此 an=2n-1,n∈N . (2)由题意知,Tn= ? ?

n , 2n ?1

所以 n≥2 时,bn=Tn-Tn-1= ? 故 cn=b2n=

n n ?1 n ? 2 ? n ?2 ? n ?1 . n ?1 2 2 2
n ?1

2n ? 2 ?1? * = (n ? 1) ? ? ,n∈N . 2 n ?1 2 ?4? ? 1 ?0 ? 1 ?1 ? 1 ?2 ? 1 ?3 ? 1 ? n-1 所以 Rn=0× ? ? +1× ? ? +2× ? ? +3× ? ? +?+(n-1)× ? ? , ?4? ?4? ?4? ?4? ?4?
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1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Rn=0× ? ? 1+1× ? ? 2+2× ? ? 3+?+(n-2)× ? ? n-1+(n-1)× ? ? n, 4 ?4? ?4? ?4? ?4? ?4?

两式相减得

3 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Rn= ? ? 1+ ? ? 2+ ? ? 3+?+ ? ? n-1-(n-1)× ? ? n 4 ?4? ?4? ?4? ?4? ?4?
1 ?1? ?? ? n 4 ?4? ?1? = ? (n ? 1) ? ? ? 1 ?4? 1? 4
1 1 ? 3n ? 1 ? = ? ? ? , 3 3 ?4? 1? 3n ? 1 ? 整理得 Rn= ? 4 ? n ?1 ? , 9? 4 ?
n

n

所以数列{cn}的前 n 项和 Rn= ? 4 ?

1? 9?

3n ? 1 ? ?. 4n ?1 ?

21. 解:(1)f′(x)=(1-2x)e-2x, 由 f′(x)=0,解得 x= .
1 2 1 当 x> 时,f′(x)<0,f(x)单调递减. 2 1 1 所以,函数 f(x)的单调递增区间是 ? ??, ? ,单调递减区间是 ? , ?? ? , ? ? ? ? 2? ? ?2 ? 1 1 最大值为 f ? ? ? e?1 ? c . ? ? ?2? 2 1 2

当 x< 时,f′(x)>0,f(x)单调递增;

(2)令 g(x)=|ln x|-f(x)=|ln x|-xe-2x-c,x∈(0,+∞). ①当 x∈(1,+∞)时,ln x>0,则 g(x)=ln x-xe-2x-c,
? e2 x ? e ?2 x ? ? 2 x ? 1? . 所以 g′(x)= ? x ? e2 x 因为 2x-1>0, >0, x

所以 g′(x)>0. 因此 g(x)在(1,+∞)上单调递增. ②当 x∈(0,1)时,ln x<0,则 g(x)=-ln x-xe-2x-c. 所以 g′(x)= e?2 x ? ?
? e2 x ? ? 2 x ? 1? . ? x ?

因为 e2x∈(1,e2),e2x>1>x>0,
e2 x 所以 ? <-1.又 2x-1<1, x
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所以 ?

e2 x +2x-1<0,即 g′(x)<0. x

因此 g(x)在(0,1)上单调递减. 综合①②可知,当 x∈(0,+∞)时,g(x)≥g(1)=-e-2-c. 当 g(1)=-e-2-c>0,即 c<-e-2 时,g(x)没有零点, 故关于 x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为 0; 当 g(1)=-e-2-c=0,即 c=-e-2 时,g(x)只有一个零点, 故关于 x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为 1; 当 g(1)=-e-2-c<0,即 c>-e-2 时, 当 x∈(1,+∞)时,由(1)知

g(x)=ln x-xe-2x-c≥ ln x ? ? e?1 ? c ? >ln x-1-c, ? ? ?2 ? 要使 g(x)>0,只需使 ln x-1-c>0,即 x∈(e1+c,+∞); 当 x∈(0,1)时,由(1)知
1

g(x)=-ln x-xe-2x-c≥ ? ln x ? ? e?1 ? c ? >-ln x-1-c, ? ? ?2 ? 要使 g(x)>0,只需-ln x-1-c>0, 即 x∈(0,e-1-c); 所以 c>-e-2 时,g(x)有两个零点, 故关于 x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为 2.
1
22. (1)解:由于 c =a -b ,将 x=-c 代入椭圆方程
2 2 2

x2 y 2 ? =1 , a 2 b2

b2 , a 2b2 =1 ,即 a=2b2. 由题意知 a c 3 又e ? ? ,所以 a=2,b=1. a 2 x2 ? y 2 ? 1. 所以椭圆 C 的方程为 4
得y?? (2)解法一:设 P(x0,y0)(y0≠0). 又 F1( ? 3 ,0),F2( 3 ,0), 所以直线 PF1,PF2 的方程分别为

lPF1:y0x-(x0+ 3 )y+ 3 y0=0, lPF2:y0x-(x0- 3 )y- 3 y0=0.
由题意知

| my0 ? 3 y0 | y0 ? ? x0 ? 3 ?
2 2



| my0 ? 3 y0 | y0 ? ? x0 ? 3 ?
2 2

.

由于点 P 在椭圆上, 所以

x0 2 ? y0 2 ? 1 , 4
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所以

|m? 3| ? 3 ? x0 ? 2 ? ? ? 2 ?
2

?

|m? 3| ? 3 ? x0 ? 2 ? ? ? 2 ?
2

.

因为 ? 3 <m< 3 ,-2<x0<2,

m? 3 3?m . ? 3 3 x0 ? 2 2 ? x0 2 2 3 所以 m= x0 . 4 3 3 因此 ? ? m ? . 2 2
可得 解法二:设 P(x0,y0). 当 0≤x0<2 时,

1? 1? ? ? 3 时,直线 PF2 的斜率不存在,易知 P ? 3, ? 或 P ? 3, ? ? . 2? 2? ? ? 1? ? 若 P ? 3, ? ,则直线 PF1 的方程为 x ? 4 3 y ? 3 ? 0 . 2? ? |m? 3| ? 3?m, 由题意得 7 因为 ? 3 <m< 3 ,
①当 x0 ?

3 3 . 4 3 3 1? ? 若 P ? 3, ? ? ,同理可得 m ? . 4 2? ? ②当 x0≠ 3 时,
所以 m ? 设直线 PF1,PF2 的方程分别为 y=k1(x+ 3 ),y=k2(x- 3 ). 由题意知

| mk1 ? 3k1 | 1 ? k12
2

?

| mk2 ? 3k2 | 1 ? k2 2



1 k12 ?m ? 3 ? ? 所以 . ? m ? 3 ?2 1 ? 1 k2 2 1?
因为

并且 k1=

x0 2 ? y0 2 ? 1 , 4 y0
x0 ? 3
?

,k2=

y0 x0 ? 3



所以

? m ? 3 ?2 ? m ? 3 ?2

4? x0 ? 3 ?2 ? 4 ? x0 2 4? x0 ? 3 ?2 ? 4 ? x0 2



3 x0 2 ? 8 3 x0 ? 16 3 x0 2 ? 8 3 x0 ? 16

?

? 3 x0 ? 4 ?2 ? 3 x0 ? 4 ?2



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m? 3 ? m? 3

3 x0 ? 4 3 x0 ? 4

.

因为为 ? 3 <m< 3 ,0≤x0<2 且 x0≠ 3 , 所以

3?m

3 ? m 4 ? 3 x0 3x 整理得 m= 0 , 4 3 3 3 故 0≤m< 且 m≠ . 4 2 3 综合①②可得 0≤m< . 2

?

4 ? 3 x0

.

3 <m<0. 2 ? 3 3? 综上所述,m 的取值范围是 ? ? , ? . ? 2 2?
当-2<x0<0 时,同理可得 ? (3)设 P(x0,y0)(y0≠0),则直线 l 的方程为 y-y0=k(x-x0).

? x2 2 ? ? y ? 1, 联立 ? 4 ? y ? y ? k? x ? x ? 0 0 ?
整理得(1+4k )x +8(ky0-k x0)x+4( y0 -2kx0y0+ k x0 -1)=0. 由题意 Δ =0, 即 (4 ? x0 ) k +2x0y0k+1- y0 =0.
2 2
2
2 2 2

2

2

2

x0 2 ? y0 2 ? 1 , 4 2 2 2 所以 16 y0 k +8x0y0k+ x0 =0, x 故 k= ? 0 . 4 y0
又 由(2)知

1 1 x0 ? 3 x0 ? 3 2 x0 ? ? ? ? , k1 k2 y0 y0 y0

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? kk1 kk2 k ? k1 k2 ? ? 4 y ? 2x =?? 0 ?? 0 = ?8 , ? x0 ? y0
所以 因此

1 1 ? 为定值,这个定值为-8. kk1 kk2

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