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云南省师大附中2016届高三(下)月考数学试卷(文科)(六)(解析版)


2015-2016 学年云南省师大附中高三(下)月考数学试卷(文科) (六)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x|y=lg(2﹣x)},集合 A.{x|x≥﹣2} 2.若复数 B.{x|﹣2<x<2} C.{x|﹣2≤x<2} ,则 A∩B=( D.{x|x<2} ) )

(α∈R)是纯虚数,则复数 2a+2i 在复平面内对应的点在(

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.设关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0.若 a 是从区间[0,3]任取一个数,b 是从区间[0, 2]任取一个数,上述方程有实根的概率是( ) A. B. C. D.

4.设椭圆

=1(a>0,b>0)的离心率 e= ,右焦点 F(c,0) ,方程 ax2+bx﹣c=0

的两个根分别为 x1,x2,则点 P(x1,x2)在( ) 2 2 2 2 A.圆 x +y =2 内 B.圆 x +y =2 上 C.圆 x2+y2=2 外 D.以上三种情况都有可能 5.观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则 52015 的末四位数字为( A.3125 B.5625 C.0625 D.8125 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )



A.

B.

C.

D. 的图象向右平移 个单位后得到函数 g(x)的图

7.将函数 象,则 =( )

A.0 B.﹣1 C. D.2 8. n 分别为 1848, 936, 执行如图所示的程序框图, 如果输入的 m, 则输出的 m 等于 (



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A.168 B.72 9.双曲线

C.36

D.24 与抛物线 y2=2px(p>0)相交于 A,B 两点,公

共弦 AB 恰好过它们的公共焦点 F,则双曲线 C 的离心率为( ) A. B. C. D. 10.棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的所有顶点均在球 O 的球面上,E,F,G 分别为 AB,AD,AA1 的中点,则平面 EFG 截球 O 所得圆的半径为( ) A. B. C. D.

11.已知 y=f (x)是奇函数,当 x∈(0,2)时,f (x)=ln x﹣ax (a> ) ,当 x∈(﹣ 2,0)时,f (x)的 最小值为 1,则 a 的值等于( A. B. C. D.1 )



12.已知

对任意的 x∈(0,1)都成立,则实数 a 的最小值为( C. D.

A.﹣e B.﹣eln2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.若 x,y 满足约束条件

,则 z=y﹣2x 的最大值是



14.在如图所示的矩形 ABCD 中,AB=2,AD=1,E 为线段 BC 上的点,则 值为 .

的最小

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15.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且

,则

角 A 等于 . 16.已知 f(x)为偶函数,且 f(x)在[0,+∞)单调递增,若 f(ax+1)﹣f(x﹣2)≤0 在 上恒成立,则实数 a 的取值范围是 .

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 满足 . ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,

(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{an?bn}的前 n 项和 Dn. 18. BC=1, CC1=2, 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 已知 AB⊥侧面 BB1C1C, (Ⅰ)求证:BC1⊥平面 ABC; (Ⅱ)当 时,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积. .

19.学校拟进行一次活动,对此,新闻媒体进行了网上调查,所有参与调查的人中,持“支 持”“保留”和“不支持”态度的人数如表所示 支持 保留 不支持 20 岁以下 800 450 200 20 岁以上(含 20 岁) 100 150 300 (Ⅰ)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知从持“不支持”态度的人 中抽取了 25 人,求 n 的值; (Ⅱ)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 5 人看成一个总体,从这 5 人中任 意选取 2 人,求至少有 1 人年龄在 20 岁以上的概率;

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(Ⅲ)在接受调查的人中,有 8 人给这项活动打出的分数如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7, 9.3,9.0,8.2,把这 8 个人打出的分数看作一个总体,从中任取 1 个数,求该数与总体平均 数之差的绝对值超过 0.6 的概率. 20. b) F1, F2 分别为椭圆 G 在平面直角坐标系 xOy 中, 点P (a, (a>b>0) 为动点, 的左、右焦点,A 为椭圆 G 的左顶点,已知△F1PF2 为等腰三角形. (Ⅰ)求椭圆 G 的离心率; (Ⅱ)过 F2 的直线 m:x=1 与椭圆 G 相交于点 M(M 点在第一象限) ,平行于 AM 的直线 l 与椭圆 G 交于 B,C 两点,判断直线 MB,MC 是否关于直线 m 对称,并说明理由. 21.已知函数 (a∈R) .

(Ⅰ)当 a=﹣1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)当 时,讨论 f(x)的单调性.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写 清题号. 22.如图,已知在△ABC 中,AE,AD 分别为其角平分线和中线,△ADE 的外接圆为⊙O, ⊙O 与 AB,AC 分别交于 M,N,求证: (Ⅰ) ;

(Ⅱ)BM=CN.

23.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 C: (y﹣2)2﹣x2=1 交于 A、B 两点. (1)求|AB|的长;

(t 为参数) ,它与曲线

(2)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为(2 求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离. 24.设函数 f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|. (Ⅰ)解不等式 f(x)>3; (Ⅱ)若? x0∈R,使得 f(x0)+2m2<4m,求实数 m 的取值范围.



) ,

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2015-2016 学年云南省师大附中高三(下)月考数学试卷 (文科) (六)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x|y=lg(2﹣x)},集合 A.{x|x≥﹣2} B.{x|﹣2<x<2} C.{x|﹣2≤x<2} ,则 A∩B=( D.{x|x<2} )

【考点】交集及其运算. 【分析】求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可. 【解答】解:∵A={x|x<2},B={x|﹣2≤x≤2}, ∴A∩B={x|﹣2≤x<2}, 故选 C.

2.若复数

(α∈R)是纯虚数,则复数 2a+2i 在复平面内对应的点在(



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】化简复数 的坐标,即可得出结论. 【解答】解:复数 = =(a+1)+(﹣a+1)i, ,根据纯虚数的定义求出 a 的值,写出复数 2a+2i 对应复平面内点

该复数是纯虚数,∴a+1=0,解得 a=﹣1; 所以复数 2a+2i=﹣2+2i, 它在复平面内对应的点是(﹣2,2) , 它在第二象限. 故选:B. 3.设关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0.若 a 是从区间[0,3]任取一个数,b 是从区间[0, 2]任取一个数,上述方程有实根的概率是( ) A. B. C. D.

【考点】几何概型. 【分析】如图,试验的所有基本事件所构成的区域为矩形 OABC 及其内部,利用一元二次 方程根的判别式算出方程有实根的事件对应的区域为图中的梯形 OABD 及其内部,求出两 个区域的面积并利用几何概型公式,即可算出所求的概率. 【解答】解:如图,所有的基本事件对应集合 Ω={(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}, 构成的区域为如图的矩形 OABC 及其内部,其面积为 S=3×2=6; 设事件 A=“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”
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∵△=(2a)2﹣4×1×b2≥0,结合 a、b 都是非负数,解得 a≥b, ∴事件 A 对应的集合 A={(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,且 a≥b}, 所构成的区域为矩形 OABC 及其内部,且在直线 a=b 的右下方部分, 即图中的梯形 OABD 及其内部,其面积 S'= ×(3+1)×2=4. 由于点(a,b)落在区域内的每一点是随机的, ∴事件 A 发生的概率 P(A)= 故选:D = ,即方程有实根的概率是 .

4.设椭圆

=1(a>0,b>0)的离心率 e= ,右焦点 F(c,0) ,方程 ax2+bx﹣c=0 )

的两个根分别为 x1,x2,则点 P(x1,x2)在( A.圆 x2+y2=2 内 B.圆 x2+y2=2 上 C.圆 x2+y2=2 外 D.以上三种情况都有可能 【考点】椭圆的应用.

【分析】先根据 x1+x2=﹣ ,x1x2=﹣ 表示出 x12+x22,再由 e= = 得到 a 与 c 的关系, 从而可表示出 b 与 c 的关系,然后代入到 x12+x22 的关系式中可得到 x12+x22 的范围,从而可 确定答案. 【解答】解:∵x1+x2=﹣ ,x1x2=﹣ x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2= e= = ∴a=2c b2=a2﹣c2=3c2 所以 x12+x22= 所以在圆内 故选 A. 5.观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则 52015 的末四位数字为(
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<2



A.3125 B.5625 C.0625 D.8125 【考点】归纳推理. 【分析】根据 55=3125,56=15625,57=78125,58=390625,59=1953125,510=9765625,… 可得末四位数字为 3125、5625、8125、0625,每 4 个为一个循环,判断出 52014 是哪个循环 的第几个数,即可判断出其末四位数字为多少. 【解答】解:根据 55=3125,56=15625,57=78125,58=390625,59=1953125,510=9765625,… 可得末四位数字为 3125、5625、8125、0625,每 4 个为一个循环, 因为 2015÷4=503…3, 所以 52015 是第 503 个循环的第 3 个数,故末四位数字为 8125. 故选:D. 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图知该几何体为正四面体,其棱长为 ,代入三角形面积公式求得原几何 体的表面积. 【解答】解:由题意知该几何体为正四面体,其棱长为 , 故其表面积为 故选:D. ,

7.将函数 象,则 A.0 =( B.﹣1 C. ) D.2

的图象向右平移

个单位后得到函数 g(x)的图

【考点】三角函数中的恒等变换应用. 【分析】将函数进行化简,求出 f(x)的解析式,结合三角函数的图象和性质,平移求出 g (x) ,即可解决. 【解答】解: ? ? ,
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将 f(x)的图象向右平移 ﹣ 则 ∴ 故选:A. ) . = ,

个单位,得:g(x)=

=

sin(2x



8. n 分别为 1848, 936, 执行如图所示的程序框图, 如果输入的 m, 则输出的 m 等于 (



A.168 B.72

C.36

D.24

【考点】程序框图. 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 m 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:模拟执行程序,可得: 如果输入 m=1848,n=936, 第一次执行循环体后,r=912,m=936,n=912,不满足输出条件; 第二次执行循环体后,r=24,m=912,n=24,不满足输出条件; 第三次执行循环体后,r=0,m=24,n=0,满足输出条件; 故输出的 m 值为 24. 故选:D.

9.双曲线

与抛物线 y2=2px(p>0)相交于 A,B 两点,公 )

共弦 AB 恰好过它们的公共焦点 F,则双曲线 C 的离心率为( A. B. C. D. 【考点】双曲线的简单性质.
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【分析】利用条件可得 A(

)在双曲线

上,

=c,从而可得(c,2c)在双曲线 简,即可得到结论. 【解答】解:∵双曲线 B 两点,公共弦 AB 恰好过它们的公共焦点 F, ∴A( )在双曲线 上, =c

上,代入化

与抛物线 y2=2px(p>0)相交于 A,

∴(c,2c)在双曲线

上,

∴ ∴c4﹣6a2c2+a4=0 ∴e4﹣6e2+1=0 ∴ ∵e>1 ∴e= 故选 B. 10.棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的所有顶点均在球 O 的球面上,E,F,G 分别为 AB,AD,AA1 的中点,则平面 EFG 截球 O 所得圆的半径为( ) A. B. C. D.

【考点】球内接多面体. 【分析】正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的外接球球心 O 为对角线 AC1 的中点,球半径 球心 O 到平面 EFG 的距离为 ,利用勾股定理求出小圆半径.



【解答】解:由题意,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的外接球球心 O 为对角线 AC1 的中点,正 方体对角线长为 2 所以球半径 ,

因为 A 到平面 EFG 的距离为 所以球心 O 到平面 EFG 的距离为 ﹣ = ,

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所以小圆半径 故选 B.



11.已知 y=f (x)是奇函数,当 x∈(0,2)时,f (x)=ln x﹣ax (a> ) ,当 x∈(﹣ 2,0)时,f (x)的 最小值为 1,则 a 的值等于( A. B. C. D.1



【考点】函数奇偶性的性质;函数最值的应用. 【分析】利用奇函数的性质,求出 x∈(0,2)时函数的最大值为﹣1,通过导数求出函数 的最大值,然后求出 a. 【解答】解:∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(0,2)上的最大值为﹣1, 当 x∈(0,2)时, 令 f'(x)>0 时, 令 f'(x)<0 时, ∴ 得 a=1. 故选 D. ,f(x)在 ,f(x)在 ,∴ ,令 f'(x)=0 得 上递增; 上递减; , ,又 ,∴ .

12.已知

对任意的 x∈(0,1)都成立,则实数 a 的最小值为( C. D.



A.﹣e B.﹣eln2

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】先根据对数的定义,得到 ,构造函数设 ,根据导数和函数

的最小值的关系求出最大值,即可得到 a 的最小值. 【解答】解:对 则 lnx<0, 所以 设 则 则有
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两边同时取以 e 为底的对数得

,由于 x∈(0,1) ,

, , ,

x f'(x) f(x) + 单调递增 0 极大值 ﹣ 单调递减

所以当 x∈(0,1)时, 故 a≥﹣eln2, 所以 a 的最小值为﹣eln2, 故选:B.



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.若 x,y 满足约束条件

,则 z=y﹣2x 的最大值是 1 .

【考点】简单线性规划. 【分析】画出满足条件的平面区域,求出角点的坐标,由 z=y﹣2x 得:y=2x+z,显然直线过 A(1,3)时,z 最大,代入求出 z 即可.

【解答】解:画出满足条件

的平面区域,如图示:



,解得 A(1,2) ,

由 z=y﹣2x 得:y=2x+z, 显然直线过 A(1,3)时,z 最大, z 的最大值是 1, 故答案为:1.

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14.在如图所示的矩形 ABCD 中,AB=2,AD=1,E 为线段 BC 上的点,则 值为 .

的最小

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】建立坐标系,求出点的坐标,利用向量数量积的坐标公式进行求解即可. 【解答】解:以 B 为坐标原点,BC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,则 A(0,2) ,D(1, 2) ,E(x,0) , 可得 因为 E 为线段 BC 上的点, 所以 x∈[0,1],则 故答案为: . 的最小值为 . = ,

15.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且

,则

角 A 等于



【考点】正弦定理. 【分析】利用诱导公式、和差公式化简即可得出. 【解答】解:由题意得 整理得 ∴ ,又 A∈(0,π) ,∴ .
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, ,又 sinB≠0,

故答案为:



16.已知 f(x)为偶函数,且 f(x)在[0,+∞)单调递增,若 f(ax+1)﹣f(x﹣2)≤0 在 上恒成立,则实数 a 的取值范围是 [﹣2,0] .

【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】因为偶函数在对称区间上单调性相反,根据已知中 f(x)是偶函数,且 f(x)在 (0,+∞)上是增函数,易得 f(x)在(﹣∞,0)上为减函数,又由若 x∈[ ,1]时,不 等式 f(ax+1)≤f(x﹣2)恒成立,结合函数恒成立的条件,求出 x∈[ ,1]时 f(x﹣2) 的最小值,从而可以构造一个关于 a 的不等式,解不等式即可得到实数 a 的取值范围. 【解答】解:∵f(x)是偶函数,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数 ∴f(x)在(﹣∞,0)上为减函数 当 x∈[ ,1]时,x﹣2∈[﹣ ,﹣1] 故 f(x﹣2)≥f(1) 若 x∈[ ,1]时,不等式 f(ax+1)≤f(x﹣2)恒成立, 则当 x∈[ ,1]时,|ax+1|≤1 恒成立,解得﹣2≤a≤0 故答案为[﹣2,0] 三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 满足 . ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,

(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{an?bn}的前 n 项和 Dn. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (I)利用 an= ,判断{an}为等比数列,再得出通项公式,同理

计算{bn}的通项公式; (II)使用错位相减法求和. 【解答】解: (Ⅰ)当 n=1 时,a1=2, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1, 所以 an=2an﹣1, 所以{an}为公比为 2,首项 a1=2 的等比数列, 所以 an=2n. 当 n=1 时,b1=1, 当 n≥2 时,bn=Tn﹣Tn﹣1=2n﹣1,
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当 n=1 时,上式仍成立, ∴bn=2n﹣1. (Ⅱ)an?bn=(2n﹣1)?2n, ∴Dn=1×2+3×22+5×23+…+(2n﹣3)×2n﹣1+(2n﹣1)×2n, ∴2Dn=1×22+3×23+5×24+…+(2n﹣3)×2n+(2n﹣1)×2n+1, 两式相减得:﹣Dn=2+2×22+2×23+…+2×2n﹣1﹣(2n﹣1)×2n+1 =2+2× =(3﹣2n)2n+1﹣6. ∴ . ﹣(2n﹣1)×2n+1

18. BC=1, CC1=2, 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 已知 AB⊥侧面 BB1C1C, (Ⅰ)求证:BC1⊥平面 ABC; (Ⅱ)当 时,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积.



【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (Ⅰ)利用勾股定理的逆定理可得:BC1⊥BC.利用线面垂直的性质定理可得:AB ⊥BC1.进而证明 BC1⊥平面 ABC. (II)由(Ⅰ)知 BC1⊥平面 ABC,可得 BC1 即为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高,再利用三棱 柱 ABC﹣A1B1C1 的体积计算公式即可得出. 【解答】 (Ⅰ)证明:∵BC=1,CC1=2, 则 , ,

∴BC1⊥BC. ∵AB⊥侧面 BB1C1C,∴AB⊥BC1. ∵AB∩BC=B,∴BC1⊥平面 ABC. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 BC1⊥平面 ABC, ∴BC1 即为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高, ∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 .

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19.学校拟进行一次活动,对此,新闻媒体进行了网上调查,所有参与调查的人中,持“支 持”“保留”和“不支持”态度的人数如表所示 支持 保留 不支持 20 岁以下 800 450 200 20 岁以上(含 20 岁) 100 150 300 (Ⅰ)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知从持“不支持”态度的人 中抽取了 25 人,求 n 的值; (Ⅱ)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 5 人看成一个总体,从这 5 人中任 意选取 2 人,求至少有 1 人年龄在 20 岁以上的概率; (Ⅲ)在接受调查的人中,有 8 人给这项活动打出的分数如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7, 9.3,9.0,8.2,把这 8 个人打出的分数看作一个总体,从中任取 1 个数,求该数与总体平均 数之差的绝对值超过 0.6 的概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】 (I)根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,写出比例式,使得比例相等, 得到关于 n 的方程,解方程即可. (II) 由题意知本题是一个等可能事件的概率, 本题解题的关键是列举出所有事件的事件数, 再列举出满足条件的事件数,得到概率. (III)先求出总体的平均数,然后找到与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的数,最后根据 古典概型的公式进行求解即可. 【解答】解: (Ⅰ)由题意得 (Ⅱ)设所选取的人中,有 m 人 20 岁以下,则 ,解得 n=100.… ,解得 m=2.

也就是 20 岁以下抽取了 2 人,记作 A1,A2;20 岁以上抽取了 3 人,记作 B1,B2,B3. 则从 5 人中任取 2 人的所有基本事件为(A1,B1) , (A1,B2) , (A1,B3) , (A2,B1) , (A2, B2) , (A2,B3) , (A1,A2) , (B1,B2) , (B2,B3) , (B1,B3) ,共 10 个. 其中至少有 1 人 20 岁以上的基本事件有 9 个: (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,B3) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,B3) , (B1,B2) , (B2,B3) , (B1,B3) , 所以从 5 人中任意选取 2 人,至少有 1 人 20 岁以上的概率为 (Ⅲ)总体的平均数为 那么与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的数只有 8.2, 所以任取 1 个数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率为 .… .… ,

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20. b) F1, F2 分别为椭圆 G 在平面直角坐标系 xOy 中, 点P (a, (a>b>0) 为动点, 的左、右焦点,A 为椭圆 G 的左顶点,已知△F1PF2 为等腰三角形. (Ⅰ)求椭圆 G 的离心率; (Ⅱ)过 F2 的直线 m:x=1 与椭圆 G 相交于点 M(M 点在第一象限) ,平行于 AM 的直线 l 与椭圆 G 交于 B,C 两点,判断直线 MB,MC 是否关于直线 m 对称,并说明理由. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)由 a>b,可得 PF1=F1F2,或 PF2=F1F2,设 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,运用 两点的距离公式和离心率公式,计算即可得到所求值; (Ⅱ)由已知条件得椭圆的方程为 + =1,即有 A(﹣2,0) ,M(1, ) ,设直线 l:

y= x+n,n≠1.设 B(x1,y1) ,C(x2,y2) ,由

,得 x2+nx+n2﹣3=0.再

由根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出直线 MB,MC 关于直线 m 对称. 【解答】解: (Ⅰ)由 a>b,可得 PF1≠PF2, F c 设 1(﹣ ,0) ,F2(c,0) ,若 PF1=F1F2, 则 =2c,即有 a2+ac﹣2c2=0,①

由 a<c,可得 a2+ac<2c2,故方程①无解; 若 PF2=F1F2, 则 =2c,即有 a2﹣ac﹣2c2=0,

即有 2e2+e﹣1=0,解得 e= (1 舍去) , 综上可得,椭圆 G 的离心率为 ; (Ⅱ)由 F2(1,0) ,可得 c=1,a=2,b= 即有椭圆的方程为 + =1, = ,

∵A 为椭圆 G 的左顶点,∴A(﹣2,0) ,M(1, ) , ∴由题意可设直线 l:y= x+n,n≠1. 设 B(x1,y1) ,C(x2,y2) , 由 ,得 x2+nx+n2﹣3=0.

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由题意得△=n2﹣4(n2﹣3)=12﹣3n2>0, 即 n∈(﹣2,2)且 n≠1. x1+x2=﹣n,x1x2=n2﹣3. ∵kMB+kMC=kMB+kMC= + = +

=1+

+

=1+

=1﹣

=0,

故直线 MB,MC 关于直线 m 对称.

21.已知函数

(a∈R) .

(Ⅰ)当 a=﹣1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)当 时,讨论 f(x)的单调性.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (I)欲求在点(2,f(2) )处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导 数求出在 x=2 处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. (II)先对函数 y=f(x)进行求导,然后令导函数大于 0(或小于 0)求出 x 的范围,根据 f′(x)>0 求得的区间是单调增区间,f′(x)<0 求得的区间是单调减区间,即可得到答案, 若在函数式中含字母系数,往往要分类讨论. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=﹣1 时, ,x∈(0,+∞) .

所以

,x∈(0,+∞) . (求导、定义域各一分)

因此 f′(2)=1.即曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线斜率为 1. 又 f(2)=ln2+2, 所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 x﹣y+ln2=0. (Ⅱ)因为 ,

所以

=

,x∈(0,+∞) .

令 g(x)=ax2﹣x+1﹣a,x∈(0,+∞) , ①当 a=0 时,g(x)=﹣x+1,x∈(0,+∞) , 当 x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. ②当 时,由 f′(x)=0 即解得 x1=1,
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,此时



所以当 x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 时,g(x)<0,此时 f'(x)>0,函数 f(x)单调递增; 时, ,此时,

函数 f(x)单调递减. 综上所述:当 a=0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; 当 在 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减,在 上单调递减. 上单调递增;

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写 清题号. 22.如图,已知在△ABC 中,AE,AD 分别为其角平分线和中线,△ADE 的外接圆为⊙O, ⊙O 与 AB,AC 分别交于 M,N,求证: (Ⅰ) ;

(Ⅱ)BM=CN.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (Ⅰ)过 C 作 CF∥AB,CF 与 AE 的延长线交于 F,∠BAE=∠CAE,∠F=∠CAE, AC=CF.可得△ABE∽△FCE, ;

(Ⅱ)由割线定理可得 BM?BA=BD?BE,CN?CA=CE?CD,由 BD=CD,可知 ,由(Ⅰ)知 ,化简易得结论.

【解答】解: (Ⅰ)证明:过 C 作 CF∥AB,CF 与 AE 的延长线交于 F, ∴∠F=∠BAF. ∵AE 为△ABC 的角平分线, ∴∠BAE=∠CAE, ∴∠F=∠CAE, ∴AC=CF. ∵△ABE∽△FCE, ∴ ∴ , .…
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(Ⅱ)由割线定理可得 BM?BA=BD?BE, ∵BD=CD, ∴ 由(Ⅰ)知 ∴ ∴ , , , ,

即 BM=CN.…

23.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 C: (y﹣2)2﹣x2=1 交于 A、B 两点. (1)求|AB|的长;

(t 为参数) ,它与曲线

(2)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为(2



) ,

求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)设点 A,B 的参数分别为 t1,t2.把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的方程可得 t2﹣4t﹣10=0.利用|AB|=|t1﹣t2|= (2)利用 t= 即可得出.

把点 P 的极坐标化为直角坐标,线段 AB 中点 M 所对的参数 ,即可得出点 M 的坐标,再利用两点之间的距离公式即可得出.

【解答】解: (1)设点 A,B 的参数分别为 t1,t2.

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把直线 l 的参数方程 化为 t2﹣4t﹣10=0. ∴t1+t2=4,t1t2=﹣10. ∴|AB|=|t1﹣t2|= (2)由点 P 的极坐标(2 ∴P(﹣2,2) . 线段 AB 中点 M 所对的参数 t= =2+ ∴M . . ,

(t 为参数)代入曲线 C: (y﹣2)2﹣x2=1,

= ) ,可得 xP=

=

. =2,

=﹣2,yP=

=2,∴xM=﹣2﹣

=﹣3,yM=

∴|PM|=

=2.

24.设函数 f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|. (Ⅰ)解不等式 f(x)>3; (Ⅱ)若? x0∈R,使得 f(x0)+2m2<4m,求实数 m 的取值范围. 【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法. 【分析】 (Ⅰ)利用零点分区间讨论去掉绝对值符号,化为分段函数,在每一个前提下去解 不等式, 每一步的解都要和前提条件找交集得出每一步的解, 最后把每一步最后结果找并集 得出不等式的解; (Ⅱ)根据第一步所化出的分段函数求出函数 f(x)的最小值,若? x0∈R,使得 f(x0) +2m2<4m 成立,只需 4m﹣2m2>fmin(x) ,解出实数 m 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)当 x<﹣2 时,f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|=1﹣2x+x+2=﹣x+3,f(x)>3, 即﹣x+3>3,解得 x<0, 又 x<﹣2,∴x<﹣2; 当 >3,解得 当 >6,又 时,f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|=1﹣2x﹣x﹣2=﹣3x﹣1,f(x)>3,即﹣3x﹣1 ,又 ,∴ ;

时,f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|=2x﹣1﹣x﹣2=x﹣3,f(x)>3,即 x﹣3>3,解得 x ,∴x>6. .

综上,不等式 f(x)>3 的解集为

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(Ⅱ)f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|=



∴ ∵? x0∈R,使得 ∴ ,

. ,

整理得 4m2﹣8m﹣5<0, 解得 . .

因此实数 m 的取值范围是

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2016 年 11 月 4 日

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