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2010年空间向量单元检测


空间向量单元检测(2010.3.28)
一、选择题(每题 5 分,共 40 分)
??? ? ,? 1、已知 A(1 2, 1) 关于面 xOy 的对称点为 B ,而 B 关于 x 轴的对称点为 C ,则 BC ? (
4, A. (0, 2)
? ? B. (0, 4, 2)



4, C. (0, 0)

0, D. (2, ? 2)

???? ???? ???? ? 2、 若向量 MA MB MC 的起点与终点 M,A,B,C 互不重合且无三点共线,O 是空间任一点, , , ???? ???? ???? ? 则能使 MA MB MC 成为空间一组基底的关系是( , ,



???? ???? ???? ? ???? 1 ??? 1 ??? 1 ???? ? ? ? A. OM ? OA ? OB ? OC B. MA ? MB ? MC 3 3 3 ???? ???? ???? ? ???? ??? 1 ??? 2 ???? ? ? ? C. OM ? OA ? OB ? OC D. MA ? 2MB ? MC 3 3 3、设 P 是 60° 的二面角 ? ? l ? ? 内一点, PA ? 平面 ? , PB ? 平面 ? , A,B 为垂足,
PA ? 4,PB ? 2 ,则 AB 的长为(

) C. 2 5
0

A. 4 2

B. 2 3

D. 2 7

4、直三棱住 A1B1C1—ABC,∠BCA= 90 ,点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是( (A ) )

30 10

(B)

1 2

(C)

30 15 (D) 15 10

5、已知 a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则向量 a 与 b 之间的夹角的余弦值为 ( ) (A)

1 2

(B)

1 3

(C)

1 4

(D)

2 2

6、 已知 a ? (? ? 1,0,2?), b ? (6,2? ? 1,2), 若 a // b , ? 与 ? 的值分别为 则 A. ,

? ?





1 1 ,? D.-5,-2 5 2 ??? ? ??? ??? ? ? ? 7、已知 P 是 ?ABC 内一点,且满足 PA ? 2PB ? 3PC ? 0 ,记 ?ABP 、 ?BCP 、 ?ACP 的
B.5,2 C. ? 面积依次为 S1 , S2 , S3 ,则 S1 : S2 : S3 等于( )

1 1 5 2

A. 1: 2 : 3

B. 1: 4 : 9

C. 6 :1: 2
( )

D. 3 :1: 2

8、下列命题中正确的命题个数是

①. 如果 a, b, c 共面, b, c, d 也共面,则 a, b, c, d 共面; ②.已知向量 AB // CD ,则直线 AB//CD; ③若 P、M 、A、B 共面,则存在唯一实数 x, y 使 MP ? xMA ? yMB ,反之也成立;

??? ??? ? ?

????

????

????

④.对空间任意点 O 与不共线的三点 A、B、C,若 OP =x OA +y OB +z OC (其中 x、y、

z∈R,x+y+z=1) ,则 P、A、B、C 四点共面
A.3 B.2 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) C.1 D.0

9、已知 A(0,2,3) ,B(-2,1,6) ,C(1,-1,5) ,若 | a |? 3, 且 a ? AB, a ? AC, 则 向量 a 的坐标为

?

?

??? ? ?

??? ?

?

.

10、 在空间四边形 ABCD 中, 和 BD 为对角线, 为△ABC 的重心, 是 BD 上一点, AC G E BE=3ED, ??? ? ??? ? ???? ??? ???? ???? ? ??? ? 以{ AB , AC , AD }为基底,若 GE = xAB ? yAC ? z AD ,则 x ? y ? z ? 11、已知 A(1,2,3) ,B(2,1,2) ,P(1,1,2) ,点 Q 在直线 OP 上运动,当 QA · QB 取 最小值时,点 Q 的坐标是 .

12、在棱长为 2 3 的正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中,正方形 BCC1 B1 所在平面内的动点 P 到直线

???? ??? ? ? D1C1 、DC 的距离之和为 4,则 PC1 ? PC 的取值范围是



三、解答题(共 40 分) 13 、 如 图 , 直 角 △ BCD 所 在 的 平 面 垂 直 于 正 △ ABC 所 在 的 平 面 , PA ⊥ 平 面 ABC , DC ? BC ? 2 PA , E 为 DB 的中点, (I)证明:AE⊥BC; (II)线段 BC 上是否存在一点 F 使得 PF 与面 DBC 所成的角为 60? ,若存在,试确定点 F 的 位置,若不存在,说明理由. 14、正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点。 (Ⅰ)求证:AB1⊥面 A1BD; (Ⅱ)求二面角 A-A1D-B 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 A1BD 的距离.
0) 0) , , 15、设空间两个不同的单位向量 a ? ( x1,y1,,b ? ( x2,y2, 与向量 c ? (111) 的夹角都等于

π , 求 a,b 大小 . 4

16、 如图, 在各棱长均为 2 的三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中, 侧面 A 1 ACC 1 ⊥底面 ABC, A 1 AC=60°. ∠ (Ⅰ)求侧棱 AA 1 与平面 AB 1 C 所成角的大小; (Ⅱ)已知点 D 满足 BD ? BA ? BC ,在直线 AA 1 上是否存在点 P,使 DP∥平面 AB 1 C ? 若存在,请确定点 P 的位置;若不存在,请说明理由.

??? ?

??? ??? ? ?

空间向量单元检测答卷纸
班级 一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 姓名

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 9、 10、 11、 12、 三、解答题(共 40 分) 13、如图,直角△BCD 所在的平面垂直于正△ABC 所在的平面, PA⊥平面 ABC, DC ? BC ? 2 PA , E 为 DB 的中点, (I)证明:AE⊥BC; (II)线段 BC 上是否存在一点 F 使得 PF 与面 DBC 所成的角为 60? ,若存在,试确定点 F 的位置, P 若不存在,说明理由.

D

E C F

A
第 13 题图

B

z 14、正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有 棱长都为 2,D 为 CC1 中点。 (Ⅰ)求证:AB1⊥面 A1BD; (Ⅱ)求二面角 A-A1D-B 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 A1BD 的距离. B A

A1

F C O D

C1
y

B1

0) 0) , , 15、设空间两个不同的单位向量 a ? ( x1,y1,,b ? ( x2,y2, 与向量 c ? (111) 的夹角都等于

π , 求 a,b 大小 . 4

16、如图,在各棱长均为 2 的三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中,侧面 A 1 ACC 1 ⊥底面 ABC, ∠A 1 AC=60°. (Ⅰ)求侧棱 AA 1 与平面 AB 1 C 所成角的大小; (Ⅱ)已知点 D 满足 BD ? BA ? BC ,在直线 AA 1 上是否存在点 P,使 DP∥平面 AB 1 C?若存 在,请确定点 P 的位置;若不存在,请说明理由.

??? ?

??? ??? ? ?

空间向量单元检测(答案) 一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1-5 BCDAC 6-8 ADC 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 9、 (1,1,1)或(-1,-1,-1) 10、

1 3

11、 ( ,

4 4 8 , ) 12、 ??2,1? 3 3 3

D

三、解答题(共 40 分) 13、如图,直角△BCD 所在的平面垂直于正△ABC 所在的平面, PA⊥ 平面 ABC, DC ? BC ? 2 PA , E 为 DB 的中点, (I)证明:AE⊥ BC; (II)线段 BC 上是否存在一点 F 使得 PF 与面 DBC P 所成的角为 60? ,若存在,试确定点 F 的位置, 若不存在,说明理由。 证明: (I)取 BC 的中点 O,连接 EO,AO,
A

E C F
第 13 题图

B

EO//DC,所以 EO⊥ 因为 ?ABC 为等边三角形,所以 BC⊥ BC AO 所以 BC⊥ AEO,故 BC⊥ 面 AE (II) 方法一: 连接 PE, 因为面 BCD⊥ 平面 ABC,DC⊥ 所以 DC⊥ ABC,而 EO // BC 面

1 DC, 2

所以 EO // PA,故四边形 APEO 为矩形,易证 PE⊥ BCD,连接 EF,则 ? PFE 为 PF 与面 面 DBC 所成的角,即 ? PFE = 60? 在 Rt?PEF 中,因为 PE=AF=

1 3 BC,故 EF= BC,因为 2 2

BC=DC,所以 EF=

1 DC,又 E 为 BD 的中点,所以 F 为 BC 的中点 2

方法二:以 BC 的中点 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴,OB 所在的直线为 y 轴,OE 所在 的 直 线 为 z 轴 建 立 空 间 坐 标 系 , 不 妨 设 BC=2 , 则 P( 3 , 0 , 1) F (0, y,0) , 则 ,设

??? ? ? ???? ? PF ? n 3 , , 解得 PF ? ( ? 3 , y ,? 1) 而平面 BCD 的一个法向量 n ? (1,0,0) ,则由 ??? ? ? ? 2 PF n
y=0,故 F 为 BC 的中点。 14、正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有 棱长都为 2,D 为 CC1 中点。 (Ⅰ)求证:AB1⊥面 A1BD; (Ⅱ)求二面角 A-A1D-B 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 A1BD 的距离; (Ⅰ)证明 取 BC 中点 O ,连结 AO . ?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC . A z

A1

F C O D

C1
y

B ? 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 , x

B1

? AD ⊥ 平面 BCC1B1 .
取 B1C1 中点 O1 ,以 O 为原点, OB , OO1 , OA 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间 直角坐标系,则 B(1 0, , D(?11 0) , A (0, 3) , A(0, 3) , B1 (1 2, , , 0) , , , 0) 2, 0, 1

??? ?

???? ?

??? ?

???? ???? ???? ??? ? ??? ? 1 , ? AB1 ? (1 2, 3) , BD ? (?2,0) , BA1 ? (?1 2,3) .? AB1 ?BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 , ,? , ???? ???? ???? ??? ???? ???? ? AB1 ?BA1 ? ?1? 4 ? 3 ? 0 ,? AB1 ⊥ BD , AB1 ⊥ BA1 .? AB1 ⊥平面 A1BD .
(Ⅱ)解 设平面 A AD 的法向量为 n ? ( x,y,z ) . AD ? (?11 ? 3) , AA ? (0,0) . , , 2, 1 1

????

????

???? ???? ???? ?n?AD ? 0, ?? x ? y ? 3z ? 0, ? y ? 0, ? ? ? ?? ?? ? n ⊥ AD , n ⊥ AA1 , ? ? ???? ? x ? ? 3z. ?n?AA1 ? 0, ?2 y ? 0, ? ? ?
令 z ? 1 得 n ? (? 3, 为平面 A AD 的一个法向量.由(Ⅰ)知 AB1 ⊥平面 A BD , 01) , 1 1

???? ???? ???? n?AB1 ? 3? 3 6 . ?? ? AB1 为平面 A1BD 的法向量. cos ? n , AB1 ?? ???? ? 4 2?2 2 n ? AB1

? 二面角 A ? A1D ? B 的大小余弦为
(Ⅲ)解

6 . 4

由(Ⅱ) AB1 为平面 A BD 法向量,? BC ? (?2,0) AB1 ? (1 2, 3) . , 0,, ,? 1

????

??? ?

????

??? ???? ? BC ?AB1 ?2 2 . ? 点 C 到平面 A1BD 的距离 d ? ???? ? ? 2 2 2 AB1
0) 0) , , 15、设空间两个不同的单位向量 a ? ( x1,y1,,b ? ( x2,y2, 与向量 c ? (111) 的夹角都等于

π . 求 a,b 大小 4
π 6 6 · 解: (1)由 ac ? a c cos ? ,且 a c ? x1 ? y1 , ∴ x1 ? y1 ? .又 a ? x12 ? y12 ? 1 , 4 2 2

∴( x1 ? y1 )2 ? x12 ? y12 ? 2x1 y1 ? 1 ? 2 x1 y1 ?
(4)同理可得 x2 ? y2 ?

3 1 .∴ x1 y1 ? . 2 4

6 1 6 1 x ? ? 0 的两根,同理 x2, y2 ,x2 y2 ? ,∴ x1,y1 是方程 x 2 ? 2 4 2 4 ab · 1 ∴ ? a b ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 y1 ? x2 y2 ? , · ∴ 也是. ∵ a ? b , x1 ? y2,x2 ? y1 . cos a,b ? 又 a b 2

∴ a,b ? 60° .

16、如图,在各棱长均为 2 的三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中,侧面 A 1 ACC 1 ⊥底面 ABC, ∠A 1 AC=60° ..

(Ⅰ)求侧棱 AA 1 与平面 AB 1 C 所成角的大小; (Ⅱ)已知点 D 满足 BD ? BA ? BC , 在直线 AA 1 上是否存在点 P, 使 DP∥平面 AB 1 C?若存在,请确定点 P 的位置;若不存在,请 说明理由. 解:∵侧面 A1ACC1⊥底面 ABC,作 A1O⊥AC 于点 O,∴A1O⊥平面 ABC. 又∠ABC=∠A1AC=60° ,且各棱长都相等,∴AO=1,OA1=OB= 3 ,BO⊥AC. 故以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz,则 A(0,-1,0),B( 3 ,0,0),A1(0,0, 3 ),C(0,1,0), ∴ AB1 ?

??? ?

??? ??? ? ?

AA ? (0,1, 3). 1

?

3 ,2, 3 , AC ? ?0,2,0 ? .设平面 AB1C 的法向量为 n=(x,y,1)

?

则?

?n ? AB ? 3x ? 2 y ? 3 ? 1 ?n ? AC ? 2 y ? 0 ?

解得 n=(-1,0,1).由 cos<

AA , n >= 1

AA1 ? n AA1 ? n

?

3 6 ? . 4 2 2

????
1 而侧棱 AA1 与平面 AB1C 所成角,即是向量 AA 与平面 AB1C 的法向量所成锐角的余角,

∴侧棱 AA1 与平面 AB1C 所成角的大小为正弦为

6 . 4

(Ⅱ)∵

BD ? BA ? BC, 而 BA ? ?? 3,?1,0?, BC ? ?? 3,1,0?.
3,0,0).又∵B(
3 ,0,0),∴点 D 的坐标为 D(- 3 ,0,0).

∴ BD ? (?2

假设存在点 P 符合题意,则点 P 的坐标可设为 P(0,y,z).∴ DP ?

? 3, y, z?
AP ? ? AA 1
,得

∵DP∥ 平 面 AB1C , n=(-1 , 0 , 1) 为 平 面 AB1C 的 法 向 量 , ∴ 由

? y ?1 ? ? ,? y ? 0. 又 DP ? 平面 AB1C, ? ? 3?? 3
故存在点 P,使 DP∥平面 AB1C,其从标为(0,0, 3 ),即恰好为 A1 点.


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