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江苏省洪泽中学2013届高三上学期期末考试数学试题 2

洪泽中学 2013 届高三上学期期末考试数学试题
一、填空题 2 2 2 2 1.两圆 x +y +6x+4y=0 及 x +y +4x+2y-4=0 的公共弦所在直线方程为_________. 2.正四面体 ABCD 的外接球的球心为 0,E 是 BC 的中点,则直线 OE 与平面 BCD 所成角的正切值 为 . 3.若函数 f ( x) ? ? 4.已知 ? ? (0,

? x 2 ? 2 x ( x ? 0) ? g ( x) ( x ? 0)

为奇函数,则 g (?1) =______________. 。

?

? 3 ), 且 sin(? ? ) ? , 则sin ? = 2 4 5

5.在 R 上定义运算“△” x△y = x ( 2 – y ),若不等式( x + m )△x < 1 对一切实数 x 恒成 : 立,则实数 m 的取值范围是_______________. 6.将全体正整数排成一个三角形数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 根据以上排列规律,数阵中第 n(n≥3)行的从左至右的第 3 个数是______ 7.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为 A1 B1 的中点,则异面直线 D1 E 和 BC1 间的距离 . .

8. 13.圆台的上下底面半径分别为 1、 母线与底面的夹角为 60°, 2, 则圆台的侧面积为 ... 9. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=

a1 (3 n ? 1) (对于所有 n≥1),且 a4=54,则 a1 的数值是_____. 2 10. 设函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数, 且对任意的 x ?R 恒有 f(x+1)=-f(x), 已知当 x ?[0,

1]时,f(x)=3 .则 ① 2 是 f(x)的周期; ③ 函数 f(x)在(2,3)上是增函数; 其中所有正确命题的序号是

x

② 函数 f(x)的最大值为 1,最小值为 0; ④ 直线 x=2 是函数 f(x)图象的一条对称轴. .

11.已知 y ? loga (2 ? ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是 12.函数 y= 5 ? 4x ? x 2 的单调增区间是_________ 13. 半径为 R 的球放在墙角, 同时与两墙面和地面相切, 那么球心到墙角顶点的距离为__ 14.已知实数 x , y 满足 2 x ? y ? 5 ? 0 ,则 x ? y 的最小值为________.
2 2

____.

1

二、解答题 15. (本小题满分 14 分) 已知动圆 M 过定点 F ? 0,1? , 且和定直线 y ? ?1 相切. (Ⅰ) 求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)已知点 P ? 0, m? , Q ? 0, ?m?? m ? 0? ,过点 P 作直线与曲线 C 交于 A, B 两点,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 若 AP ? ? PB ( ? 为实数) ,证明: QP ? QA ? ? QB .

?

?

17 . 有 一 个 容 量 为

100

的 样 本 , 数 据 的 分 组 及 各 组 的 频 数 如 下 :

?12.5,15.5?,6; ?15.5,18.5?,16; ?18.5,21.5?,18; ?21.5,24.5?,22; ?24.5,27.5?,20; ?27.5,30.5?,10; ?30.5,33.5?,8
(1)列出样本的频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)估计数据小于 30.5 的概率。

2

18.(本小题满分 14 分)如图,正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 ( (1)求直线

中,棱长为 a

BC1 与 AC 所成的角; D1B 与平面 ABCD 所成角的正切值; BDD1 ? 平面 ACA1 .

(2)求直线

(3)求证:平面

19.已知两点 A(-2,1),B(4,3),求经过两直线 2x-3y+1=0 和 3x+2y-1=0 的交点和线段 AB 中点的直 线 l 的方程.

3

20.从一副扑克牌的红桃花色中取 5 张牌,点数分别为 1、2、3、4、5,甲、乙两人玩一种游戏: 甲先取一张牌,记下点数,放回后乙再取一张牌,记下点数.如果两个点数的和为偶数就算甲胜, 否则算乙胜. (Ⅰ)求甲胜且点数的和为 6 的事件发生的概率; (Ⅱ)分别求出甲胜与乙胜的概率,判断这种游戏规则公平吗?

4

参考答案 1.x+y+2=0 【解析】将两圆方程相减得 2x+2y+4=0,即 x+y+2=0. 2.

2 2 3 , 6

? 【解析】 如图, 设正四面体边长为 1, OEH 就是直线 OE 与平面 BCD 所成的角, 计算得 EH ?
2 根 据 O B ? O H ? B H 得 OB ? ( AH ? OA ) ? BH 2 2 2 2 2

, 因 为 OB ? OA , 展 开 上 式 得

OH AB 2 1 6 6 , OH ? , tan ?OEH ? ? OA ? ? ? 12 2 AH 2 6 4 EH 2 3

2

3.-3 【解析】因为函数为奇函数,则 x<0,-x>0,f(-x)=g(-x)=x -2x,则可知 g (?1) =-3
2

4.

7 2 10

【解析】略 5. ?4 ? m ? 0 . 【解析】解:由题意得: (x+m)△x=(x+m) (2-x)<1,
5

变形整理得:x +(m-2)x+(1-2m)>0, 因为对任意的实数 x 不等式都成立, 2 2 所以其对应的一元二次方程:x +(m-2)x+(1-2m)=0 的根的判别式△=(m-2) -4(1-2m)<0, 解得:-4<m<0. 6.
n( n ? 1) ?3 2
2 6 3

2

【解析】略 7.

【解析】设正方体棱长为 2 ,以 D1 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 D1 E ? (2,1,0) ,
? ???? ? ???? ? ? ?n ? D1 E ? 0 ? 2?? ? 0 ? 设 则 , ? 即 , C1 B ? (2,0, 2) , D1 E 和 BC1 公垂线段上的向量为 n ? (1, ? , ? ) , ? ? ???? ? ?2 ? 2? ? 0 ? n ? C1 B ? 0 ?

???? ?

? ? ? ? ?2 ?? ,? n ? (1, ?2, ?1) ? ? ? ?1
BC1 间的距离为

????? ? ? D1C1 ? n ????? ? 4 2 6 ? ? ,又 D1C1 ? (0, 2,0) ,? ? 3 6 n

,所以异面直线 D1 E 和

2 6 . 3

8.6π 【解析】略 9.2 【解析】设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=
a1 (3 n ? 1) (对于所有 n≥1), 2

则 a4=S4-S3

a1 (81 ? 1) a1 (27 ? 1) ? ? 27a1 ,且 a4=54,则 a1 =2 2 2

10.①③④ 【解析】略 11.1< a <2 【解析】 【错解分析】∵ y ? loga (2 ? ax) 是由 y ? loga u , u ? 2 ? ax 复合而成,又 a >0 ∴ u ? 2 ? ax 在[0,1]上是 x 的减函数,由复合函数关系知 y ? loga u 应为增函数, ∴ a >1 【正解】∵ y ? loga (2 ? ax) 是由 y ? loga u , u ? 2 ? ax 复合而成,又 a >0 ∴ u ? 2 ? ax 在[0,1]上是 x 的减函数,由复合函数关系知 y ? loga u 应为增函数, ∴ a >1 又由于 x 在[0,1]上时 y ? loga (2 ? ax) 有意义, u ? 2 ? ax 又是减函数, ∴ x =1 时, u ? 2 ? ax 取最小值是 u min ? 2 ? a >0 即可,∴ a <2

6

综上可知所求的取值范围是 1< a <2 【点评】解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系,却忽视了数定义域的限制,单调区间应 是定义域的某个子区间,即函数应在[0,1]上有意义. 12. [?5, ?2] 【解析】 【错解分析】因为函数 g ( x) ? 5 ? 4 x ? x 2 的对称轴是 x ? ?2 ,图像是抛物线,开口向下,由图可 知 g ( x) ? 5 ? 4 x ? x 2 在 (??, ?2] 上是增函数,所以 y= 5 ? 4x ? x 2 的增区间是 (??, ?2] 【正解】y= 5 ? 4x ? x 2 的定义域是 [?5,1] ,又 g ( x) ? 5 ? 4 x ? x 2 在区间 [?5, ?2] 上增函数,在 区间 [?2,1] 是减函数,所以 y= 5 ? 4x ? x 2 的增区间是 [?5, ?2] 【点评】 在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法, 但没有考虑到函数的单调性只 能在函数的定义域内来讨论,从而忽视了函数的定义域,导致了解题的错误. 13. 3 R 【解析】 试题分析: 根据题意可知球心与墙角顶点可构成边长为 a 的正方体如图, 则球心到墙角顶点的距离 为正方体的对角线即 3 R。 故答案为: 3 R。

考点:空间中两点之间的距离。 点评:本题主要考查了空间两点的距离。做本题的关键是构造正方体进行解题,属于中档题。 14.5 【解析】
2 2 试题分析:因为实数 x , y 满足 2 x ? y ? 5 ? 0 ,所以 y ? 2x - 5 ,所以 x ? y = 5 x - 20x ? 25 ,由

2

二次函数的性质知: x ? y 的最小值为 5。
2 2

考点:点到直线的距离公式;二次函数的性质。 点评: 此题也可以用数形结合的思想来做:求 x ? y 的最小值即求直线 2 x ? y ? 5 ? 0 上一点到原
2 2

点距离的平方的最小值,利用点到直线的距离公式即可。是一道中档题。 15.(Ⅰ)

x2 ? 4 y

(Ⅱ) 见解析

7

【解析】 (Ⅰ)解:由抛物线定义知

M 点的轨迹是以 F ? 0,1? 为焦点,直线 y ? ?1 为准线的抛物线,???3 分
所以 M 点的轨迹 C 的方程是 x 2 ? 4 y .????????5 分 (Ⅱ)证明:设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,代入抛物线方程得: x 2 ? 4kx ? 4m ? 0 . 设 A, B 两点的坐标分别是 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,则 x1 x2 ? ?4m .??????7 分 由点 P 满足 AP ? ? PB ,得 x1 ? ? x2 ? 0 . 又点 Q 的坐标是 (0, ? m) ,从而 QP ? (0, 2m) . 而 QA ? ? ? QB ? ( x1, y1 ? m) ? ?( x2 , y2 ? m) ,????????9 分 则 QP ? (QA ? ?QB) ? 2m[ y1 ? ? y2 ? (1 ? ?)m] = 2m[

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?
2

??? ?

y A

x1 x x2 x ? 1? ? (1 ? 1 )m] 4 x2 4 x2

2

B

P

O

x x ? 4m ? 4m ? 4m = 2m( x1 ? x2 ) ? 1 2 = 2m( x1 ? x 2 ) ? =0. 4 x2 4 x2
所以, QP ? (QA ? ?QB) .????????14 分 17.解: (1)样本的频率分布如下: 分组 12.5~15.5 15.5~18.5 18.5~21.5 21.5~24.5 24.5~27.5[ 来 源 : 学科网] 27.5~30.5 30.5~33.5 合计 频数 6 16 18 22 20 10 8 100 频率 0.06 0.16 0.18 0.22 0.20 0.10 0.08 1.00

x

Q

??? ?

??? ?

??? ?

2)频率分布直方图如图 (3)数据大于等于 30.5 的频率是 0.08,所以,小于 30.5 的频率是 0.92. 所以,小于 30.5 的概 率约是 0.92. 【解析】略 18.略 【解析】证明: (1)连接

C AD1,D1C ,CD1 //A B1 //AB ? 1D1 //AB 1 1

所以四边形

ABC1D1

8

是平行四边形,

? A1D // DC ? ?D1AC 1 1

为异面直线

BC1 与 AC 所成的角. ? 异面直线

BC1 与 AC 所成的角为 600-------------5 分
(2)

? DD1 ? 平面ABCD

? ?D1DB 为直线 D1B 与平面 ABCD

所成的角,

Rt ?D1DB 中

tan ?D1DB ?

1 2 ? 2 2
2

? 直线 D1B 与平面 ABCD 所成角的正切值为 2 ------10 分

(3)

BD ? AC ? DD1 ? 平面ABCD ? ? AC ? 平面BD1 D ? ? ? DD1 ? AC ? ? ?? 又AC ? 平面ACA1 ? AC ? 平面ABCD ? BD ? DD1 ? ?
-------------------14 分

? 平面ACA1 ? 平面BD1D
19.l 的方程为 7x-4y+1=0.

【解析】解法一:由



∴交点坐标为

.

又线段 AB 中点坐标为(1,2),

∴由两点式

,

得 l 的方程为 7x-4y+1=0. 解法二:设所求直线 l 的方程为 2x-3y+1+λ (3x+2y-1)=0, 整理得(2+3λ )x+(2λ -3)y+(1-λ )=0. ∵直线 l 过线段 AB 的中点 M(1,2), ∴(2+3λ )×1+(2λ -3)×2+(1-λ )=0.

可得

.

代入直线方程得 l 的方程为 7x-4y+1=0. 20. (Ⅰ)

1 13 12 ; (Ⅱ)甲胜 ,乙胜 ,不公平。 5 25 25

9

【解析】 试题分析:由已知可得,该游戏的基本事件有:

(1,1) , (1, 2) , (1,3) , (1, 4) , (1,5) , (2,1) , (2, 2) , (2,3) , (2, 4) , (2,5) , (3,1) , (3, 2) , (3,3) , (3, 4) , (3,5) , (4,1) , (4, 2) , (4,3) , (4, 4) , (4,5) , (5,1) , (5, 2) , (5,3) , (5, 4) , (5,5) ,.......................3 分
(Ⅰ)记事件 A:甲胜且点数的和为 6,则 事件 A 包含的基本事件有 (1,5) , (2, 4) , (3,3) , (4, 2) , (5,1) 故事件 A 发生的概率 P( A) ?

5 1 ? ...................6 分 25 5

(Ⅱ)记事件 B:甲胜;记事件 C:乙胜,则 事件 B 包含的基本事件有 13 种 事件 C 包含的基本事件有 12 种.........................9 分

13 25 12 事件 C 发生的概率为 P (C ) ? ............................11 分 25
故事件 B 发生的概率为 P ( B ) ? 综上所述,这个游戏规则不公平.................12 分 考点:等可能事件的概率;古典概型的概率计算公式。 点评: 本题考查等可能事件概率的计算, 结合游戏的公平性, 若双方取胜的概率相等, 则游戏公平, 反之,游戏不公平.

10