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必修一函数的单调性经典易错习题


函数的单调性
一、选择题 1.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是…………………………………( ) A. y=3-x B. y=x2+1 C. y=-x2 D. y=x2-2x-3 2.若函数 y=(a+1)x+b,x∈R 在其定义域上是增函数,则…………………( ) A. a>-1 B. a<-1 C. b>0 D. b<0 3.若函数 y=kx+b 是 R 上的减函数,那么…………………………………( ) A. k<0 B. k>0 C. k≠0 D. ?2x+6 x∈[1,2] 4.函数 f(x)=? ,则 f(x)的最大值、最小值为……( ) x∈[-1,1] ?x+7 A. 10,6 B. 10,8 C. 8,6 D.

5.下列四个函数在 ? -?, 0? 上为增函数的有( (1) y ? x A.(1)和(2) (2) y ?
x x



(3) y ? ?

x2 x

(4) y ? x ?

x x

B.(2)和(3)

C.(3)和(4) )

D.(1)和(4)

6.设 f ( x) 是 ? ??, ??? 上的减函数,则(
A. f (a) ? f (2a)

B. f (a2 ) ? f (a)

C. f (a2 ? a) ? f (a)

D. f (a2 ? 1) ? f (a)

D.a ? 1 2

7.设函数 f ( x) ? ? 2a ?1? x ? b 在 R 上是严格单调减函数,则(
1 1 1 B.a ? C.a ? 2 2 2 8.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( A.a ?



A. y ? 3 ? x

B. y ? x2 ? 1

C. y ? ? x2

D. y ? x2 ? 2x ? 3


2 ? ? x ? 4 x, x ? 0 9.已知函数 f ( x) ? ? ,若 f (2 ? a2 ) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围是( 2 ? ?4 x ? x , x ? 0

A.? ??, ?1?

? 2, ???

B. ? ?1, 2?

C. ? ?2,1?

D.? ??, ?2?

?1, ???


?1? 10.已知 f ( x) 为 R 上的减函数,则满足 f ? ? ? f ?1? 的实数 x 的取值范围是( ? x?

A.? ??,1?

B.?1, ???

C.? ??,0?

? 0,1?

D.? ??,0?

?1, ???

11.函数 A. B.

的增区间是( C.

)。 D.

1

12. A. 13.当 B. 时,函数

在 C.

上是减函数,则 a 的取值范围是( )。 D. 的值有正也有负,则实数 a 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

14、已知 f ( x ) 在 R 上是奇函数,且 f ( x ? 4) ? f ( x),当x ? (0,2)时,f ( x) ? 2x2 , 则f (7) ? (



A.-2

B.2

C.-98

D.98
? x?3? ( ? 的所有 x 之和为 ? x?4?


15、 设 f ( x ) 是连续的偶函数, 且当 x>0 时 f ( x ) 是单调函数, 则满足 f ( x) ? f ?

A. ? 3

B. 3

C. ?8


D. 8

16、若函数 y ? ( x ? 1)( x ? a) 为偶函数,则 a=(

A. ? 2

B. ? 1

C. 1

D. 2
)

17、设定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2? ? 13 ,若 f ?1? ? 2 ,则 f ? 99? ? (

(A) 13

(B) 2

(C)

13 2

(D)

2 13

18、 设函数 y ? f ( x) ( x ? R) 的图象关于直线 x ? 0 及直线 x ? 1 对称, 且 x ? [0,1] 时,f ( x) ? x2 , 则 f (? ) ? ( ( A) )

3 2

1 2

(B)

1 4

(C)

3 4

(D)

9 4

19.已知函数 f (x)在 R 上是增函数,若 a + b>0,则( ) A.f (a) + f (b)>f (-a) + f(-b) B.f (a) + f(b)>f (-a) – f(-b) C.f (a) + f (-a)>f (b) + f (-b) D.f (a) + f (-a)>f (b) – f (-b) 20. 函数 f ? x ? ? 2x ? mx ? 3 当 x ?? ?2, ??? 时为增函数, 当 x ? ? ??, ?2? 是减函数, 则 f ?1?
2

等于 (



A.1 B.9 C. ? 3 D.13 二、填空题 1. 若 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(-3)=0,则 xf(x)<0 的解集为_________. 2、如果函数 f(x)在 R 上为奇函数,在(-1,0)上是增函数,且 f(x+2)=-f(x),试比较 f( _________________________.

1 2 ),f( ),f(1)的大小关系 3 3

3.若函数 f ( x) ? ( x ? a)(bx ? 2a) (常数 a,b ? R )是偶函数,且它的值域为 ? ??, 4? ,则该函数的 解析式 f ( x) ? .

2

2.函数 4.已知 5. 函数 6.设 ,

,当

时,是增函数,当 是常数),且 在 上是减函数,则 , ,则

时是减函数,则 的值为_______.



的取值范围是_______. 是_______函数;

是增函数,



是减函数, 则

是________函数;

是_______函数. ,单调增区间是 .

7、函数 y=x2-2x 的单调减区间是

8.函数

f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ? x ? ? 0,3?? 的最大值为

,最小值为

? x 2 ? 1, x ? 0 9.已知函数 f ( x) ? ? ,则满足不等式 f (1 ? x2 ) ? f (2 x) 的 x 的范围是 x?0 ?1,
10.已知 y ? f ( x) 在定义域(-1,1)上是减函数,且 f (1 ? a) ? f (a2 ?1) ,则 a 的取值范围为
11.(1)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (??,3] 上是减函数,则实数 a 的取值范围 是 ; (2)已知 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 的单调递减区间是 (??,3] ,则实数 a 的取值范围 是 .
2

12、 已知函数 f ? x ? 在区间 ? a, c ? 上单调递减, 在区间 ? c, b? 上单调递增, 则 f ? x ? 在区间 ? a, b? 上有最 是 13、函数 y ? ? k ? 2k ? 3 x ? 5 是定义在 R 上的减函数,则 k 的取值范围是
2



?



?

;若为增

函数,则 k 的取值范围是



14、已知函数

y ? ax2 ? 2 x ?1 在 (??,1) 上是减函数,则 a 的取值范围是__________。

15、 函数 f ( x) 是定义在 ( ?1,1) 上的增函数, 且 f (a ? 2) ? f (3 ? a) ? 0 , 则 a 的取值范围是________。
三、解答题 1.已知函数 f(x)=4x -4ax+(a -2a+2)在闭区间[0,2]上有最小值 3,求实数 a 的值.
2 2

3

2.设 a∈R,当 a 取何值时,不等式 x +2x-a>1 在区间[2,5]上恒成立?

2

3.函数 (1)证明

对于

有意义,且满足条件 ;(2)若

, 成立,求 的取值范围.



是非减函数,

4.已知 f(x)的定义域为(0,+∞),且满足 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),又当 x2>x1>0 时,f(x2)>f(x1). (1)求 f(1)、f(4)、f(8)的值; (2)若有 f(x)+f(x-2)≤3 成立,求 x 的取值范围.

4

x-1 6.已知函数 f(x)= ,x∈[3,5]. x+2 (1)判断函数 f(x)的单调性,并证明; (2)求函数 f(x)的最大值和最小值.

7.已知 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 均为增函数,判断下列函数在公共定义域内的增减性. (1) y ? ?2 f ( x) (2) y ? f ( x) ? 2 g ( x)

5

8.证明函数 f ( x) ? x3 ? x 在 R 上单调递增.

9.求函数 f ( x) ? 3x2 ?12 x ? 5 在定义域[0,3]上的最大值和最小值.

6

1 1.证明函数 f(x)=x+ 在(0,1)上为减函数. x 【证明】 设 0<x1<x2<1,则

? 1? ? 1? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? x1 ? ? x2 ? ? x ?x ? ( x1 ? x2 ) ? 2 1 x1 x2 ? ( x1 ? x2 )(1 ?


1 ) x1 x2

(x1-x2)(x1x2-1) . x1x2 (x1-x2)(x1x2-1) ∴ >0, x1x2

已知 0<x1<x2<1, 则 x1x2-1<0, x1-x2<0, x1x2>0. 即 f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2). 2、求函数 y=

1 ∴f(x)=x+ 在(0,1)上是减函数. x

2 在区间[2,6]上的最大值和最小值. x-1

【解析】 设 x1、x2 是区间[2,6]上的任意两个实数,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2) = 2 2 2 - = x1-1 x2-1 x2-1 -2 x1-1 2 x2-x1 = x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 .

由 2≤x1<x2≤6,得 x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 所以,函数 y= 因此,函数 y= 2 是区间[2,6]上的减函数.如上图. x-1 2 在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值, x-1

即在 x=2 时取得最大值,最大值是 2,在 x=6 时取得最小值,最小值是 0.4.

3.求证: 解:设

在 ,则

上不是单调函数.

① 于是,当 时, ,则①式大于 0;





上不是单调函数

7

4.函数 解:设 ①当 得 当 当 ②当 得 当 当 时, 时, 时, 时, 或 时, 时,

, , 是增函数,这时

,求函数

的单调区间.



具有相同的增减性,由



是增函数, 是减函数, 是减函数,这时 与

为增函数; 为减函数; 具有相反的增减性,由 即

是减函数, 是增函数, 的单调增区间是 和 ,且

为增函数; 为减函数;综上所述 ,单调减区间是 和

5.设

是定义在

上的增函数,

,求满足不等式

的 x 的取值范围. 解、依题意,得 又 ,于是不等式

化为





.∴x 的取值范围是

.

6、北京市的一家报刊摊点,从报社买进《北京晚报》的价格是每份 0.20 元,卖出的价格是每份 0.30 元,卖 不掉的报纸可以以每份 0.05 元的价格退回报社.在一个月(按 30 天计算)里,有 20 天每天可卖出 400 份, 其余 10 天每天只能卖出 250 份,但每天从报社买进的份数必须相同,这个摊主每天从报社买进多少份, 才能使每月所获的利润最大?并计算他一个月最多可赚多少元. 解、设每天从报社买进 x 份报纸,每月获得的总利润为 y 元,则依题意,得 y=0.10(20x+10×250)-0.15×10(x-250) =0.5x+625,x∈[250,400]. ∵函数 y 在[250,400]上单调递增,∴x=400 时,y
max

=825(元),

即摊主每天从报社买进 400 份时,每月所获得的利润最大,最大利润为 825 元.
8


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