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2.3.2两直线垂直的条件


2.2.3 两条直线垂直的条件

2.两条直线垂直的条件
已知:直线 l1 : A 1x ? B 1y ? C 1 ? 0

l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,
求 l1 , l2 垂直的条件

转化为: l1? : A 1x ? B 1y ? 0

l2? : A2 x ? B2 y ? 0
y A B O x

解:1)当 l1 、 l2 都不与坐标轴平行或重合时
y

取 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?

A B O x
2

?AOB ? 90? AO2 ? BO2 ? AB2
2 1 2 1 2 2 2

即: x ? y ? x2 ? y2 ? ? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?

x1 x2 ? y1 y2 ? 0
A1 A2 x1 x2 ? x1 x2 ? 0 B1 B2

? A1 A2 ? x1 x2 ? 1 ? ??0 B1 B2 ? ?

A1 A2 1? ? 0 即: A1 A2 ? B1B2 ? 0 B1 B2
2)当当 l1 、 l2 都与坐标轴平行或重合时, 经检验知 A 1A 2 ?B 1B2 ? 0 以上各步均可逆 故:两直线垂直的条件:

l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0

两直线垂直的条件: l1 ? l2 ? A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 推论: l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ,

l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1

例 1、判断下列各组中的两条直线是否垂直: 1) x ? 2 y ? 7 ? 0 与 2 x ? y ? 5 ? 0

1 2) y ? 3 x ? 1 与 y ? ? x ? 5 3
小结:

3) 2 x ? 7 与 y ? 2

与 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线为: Bx ? Ay ? D ? 0

1 与 y ? kx ? b ( k ? 0 )垂直的直线为: y ? ? x ? b1 k

练习 A 组 1、2 题

例 2、已知 ?ABC 的三个顶点是 A ? ?1,4? , B ? ?2, ?1? ,

C ? 2,3? ,求 BC 边的高所在直线方程

例 3、已知直线 l1 : mx ? ? m ? 2? y ? 2 ? 0 ,

l2 : 3x ? my ?1 ? 0 ,且 l1 ? l2 ,求 m 的值

例 4、已知直线 l : x ? 2 y ? 8 ? 0 , A? 2,0? 、

B ? ?2, ?4? ,在 l 上找一点 P ,使得 PA ? PB 最小

补充:已知直线 l1 : 2x ? y ? 4 ? 0 关于 直线 l : 3x ? 4 y ? 1 ? 0 对称的直线 l2 的方程

2.2.4 点到直线的距离
P ? x1 , y1 ? 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d

例 1、求点 P ? ?1, 2? 到直线 2 x ? y ? 5 ? 0 的距离 d

例 2、求证:两条平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 之间的距离是 d ?

C1 ? C2 A ?B
2 2

补充:1)求两条平行线 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0 ,

l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 之间的距离
2)求两条平行线 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0 ,

1 l2 : x ? y ? 1 ? 0 之间的距离 2

例 3、求过两直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 和 2 x ? y ? 6 ? 0 的交点的直线 l ,点 A ? ?1,1? 和点 B ? 3, ?1? 到 直线 l 的距离相等.


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