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www.VXHVX.COM:高中数学人教A版选修4-1创新应用课件:第二讲 一 圆周角定理_图文

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理解教材新知 考点一 第 二 讲 一 把握热点考向 考点二 应用创新演练 一 圆周角定理 1.圆周角定理 文字语言 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半 图形语言 BC 所对的圆周角和圆心角分别是∠ 在⊙O 中, 符号语言 1 2 ∠BOC BAC,∠BOC,则有∠BAC=____ 确定圆中两个角的大小关系 作用 2.圆心角定理 文字语言 弧 的度数 圆心角的度数等于它所对____ 图形语言 符号语言 作用 AOB A, B 是⊙O 上两点, 则弧 AB 的度数等于∠ _______ 的度数 确定圆弧或圆心角的度数 3.圆周角定理的推论 相等 ;同圆或等圆 (1)推论 1:同弧或等弧所对的圆周角______ 相等 . 中,相等的圆周角所对的弧也______ 直角 ;90° (2)推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是______ 的圆 直径 . 周角所对的弦是______ [说明] (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并 不是“圆心角等于它所对的弧”; (2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆 或等圆中”. 与圆周角定理相关的证明 [例 1] 如图,已知:△ABC 内接于⊙O, D、E 在 BC 边上,且 BD=CE,∠1=∠2,求 证:AB=AC. [思路点拨] 证明此题可先添加辅助线构 造等弦、等弧的条件,再由圆周角定理及其推论证明. [证明] BF、CG, 如图,延长 AD、AE 分别交⊙O 于 F、G,连接 ∵∠1=∠2, ∴ BF = CG , ∴BF=CG, BG = CF , ∴∠FBD=∠GCE. 又∵BD=CE, ∴△BFD≌△CGE,∴∠F=∠G, ∴ AB = AC ,∴AB=AC. (1)有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧经常相互转化, 即欲证圆周角相等,可转化为证明它们所对的弧相等;要证线 段相等可以转化为证明它们所对的弧相等, 这是证明圆中线段 相等的常见策略. (2)若已知条件中出现直径, 则常用到“直径所对的圆周角 为直角”这一性质解决问题. 1.如图,OA 是⊙O 的半径,以 OA 为直径的 ⊙C 与⊙O 的弦 AB 相交于点 D. 求证:D 是 AB 的中点. 证明:连接 OD、BE. 因为∠ADO=∠ABE=90° , 所以 OD 和 BE 平行. 又因为 O 是 AE 的中点, 所以 D 是 AB 的中点. 2.已知 AD 是△ABC 的高,AE 是△ABC 的外接圆的直径. 求证:∠BAE=∠DAC. 证明:连接 BE,因为 AE 为直径, 所以∠ABE=90° . 因为 AD 是△ABC 的高, 所以∠ADC=90° . 所以∠ADC=∠ABE. 因为∠E=∠C,所以∠BAE=90° -∠E, ∠DAC=90° -∠C. 所以∠BAE=∠DAC. 3.已知⊙O 中,AB=AC,D 是 BC 延长线上一点,AD 交⊙ O 于 E. 求证:AB2=AD· AE. 证明:如图,∵AB=AC,∴ AB = AC . ∴∠ABD=∠AEB. 在△ABE 与△ADB 中,∠BAE=∠DAB,∠AEB=∠ABD, ∴△ABE∽△ADB. AB AE ∴AD=AB,即 AB2=AD· AE. 利用圆周角进行计算 [例 2] 如图,已知 BC 为半⊙O 的直径, AD⊥BC,垂足为 D,BF 交 AD 于 E,且 AE =BE. (1)求证: AB = AF ; 3 (2)如果 sin ∠FBC= ,AB=4 5,求 AD 的长. 5 [思路点拨] BC 为半⊙O 的直径, 连接 AC, 构造 Rt△ABC. [ 解] (1)证明:如图, 连接 AC. ∵BC 是半⊙O 的直径, ∴∠BAC=90° , 又 AD⊥BC,垂足为 D, ∴∠1=∠3. 在△AEB 中,AE=BE, ∴∠1=∠2. ∴∠2=∠3,即 AB = AF . (2)设 DE=3x, 3 ∵AD⊥BC,sin∠FBC= , 5 ∴BE=5x,BD=4x. ∵AE=BE, ∴AE=5x,AD=8x. 在 Rt△ADB 中,∠ADB=90° ,AB=4 5, ∴(8x)2+(4x)2=(4 5)2, 解得 x=1, ∴AD=8. 与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算,不仅可以通 过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段,有时 还可以通过三角形相似、解三角形等来计算. 4.如图,△ABC 内接于⊙O,OD⊥BC 于 D,∠A=50° ,则 ∠OCD 的度数是 ( ) A.40° C.50° B.25° D.60° 解析:连接 OB.因为∠A=50° ,所以弦 BC 所 1 对的圆心角∠BOC=100° ,∠COD= ∠BOC 2 =50° ,∠OCD=90° -∠COD=40° . 答案:A 5.如图,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交 它的外接圆于点 E. (1)证明:△ABE∽△ADC; 1 (2)若△ABC 的面积 S= AD· AE, 2 求∠BAC 的大小. 解:(1)证明:由已知条件可得∠BAE=∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角, 所以∠AEB=∠ACD. 故△ABE∽△ADC. (2)因为△ABE∽△ADC, AB AD 所以AE=AC ,即 AB· AC=AD· AE. 1 1 又 S= AB· AC· sin ∠BAC,且 S= AD· AE, 2 2 所以 AB· AC· sin ∠BAC=AD· AE. 则 sin ∠BAC=1. 又∠BAC 为三角形内角, 所以∠BAC=90° . 一、选择题 1.如图,在⊙O 中,∠BOC=50° ,则∠A 的大 小为 A.25° C.75° ( B.50° D.100° ) 1 解析:由圆周角定理得∠A= ∠BOC=25° . 2 答案:A 2.

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