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天津市和平区2017届高三上学期期末质量调查数学(文)试题 Word版含答案


数学(文)学科期末质量调查试卷
第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
2 1.设集合 A ? x|x ? x ? 6 ? 0 , B ? ?x | ?3 ? x ? 1 ? ,则 A ? B 等于(

?

?



A. [?2,1)

B. (?2,1]

C. [?3,3)

D. (?3,3]

2.一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各 2 个,这 6 个球除颜色外完全相同,从中摸出 2 个球,则这 2 个球中至少有 1 个是红球的概率是( A. ) D.

1 3

B.

2 5

C.

8 15


3 5

3.如图的三视图所对应的的立体图形可以是(

4.若双曲线

x2 ? y 2 ? 1的左焦点在抛物线 y 2 ? 2 px 的准线上,则 p 的值为( 3
B.3 ) C. 4 D. 4 2



A.2

5.“ x ? 1 ”是“ ln( x ? 1) ? 0 ”的( A.充分不必要条件 件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条

1

6.已知 f ( x ) 和 g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,且 f ( x) ? g ( x) ? 2x3 ? x2 ? 3 , 则 f (2) ? g (2) 等于( A. ?9 ) B. ?7 C. 7 D. 9

7.如图,在平行四边形 ABCD 中, ?BAD ?

?
3

, AB ? 2 , AD ? 1 ,若 M 、 N 分别是边 )

BC 、 CD 上的点, 且满足

???? ? ???? BM NC ? ??, 其中 ? ??0,1? , 则 AM ? AN 的取值范围是 ( BC DC

A. ?0,3?

B. ?1, 4?

C. ? 2,5?

D. ?1,7?

8.设函数 f ( x) ? 4 cos( x ? ( )

?
6

) sin x ? 2 cos(2 x ? ? ) , 则函数 f ( x ) 的最大值和最小值分别为

A.13 和 ?11

B. 8 和 ?6

C. 1 和 ? 3

D. 3 和 ? 1

第Ⅱ卷(共 110 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 30 分,将答案填在答题纸上)
9.若复数 z ? 1 ? 2i ,则复数 10.已知函数 f ( x) ?

1? x ? ln x , f '( x) 为 f ( x) 的导函数,则 f '(2) 的值为 x


1 的虚部为 z

. .

11.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出 T 的值为

2

12.直线 y ? kx ? 3 (k ? 0) 与圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 2 3 , 则 k 的值为 .
2

13. 设 a ? b ? 0 ,则 a ?

1 的最小值是 b( a ? b )



14.已知函数 f ( x) ? ?

??2 x, x ? 0, ?? x ? 2 x, x ? 0,
2

若关于 x 的方程 f ( x) ? .

1 x ? m 恰有三个不相等的 2

实数解,则 m 的取值范围是

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
15. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,若 a ? 2 , b ? c ? 7 , cos B ? ? (1)求 b 的值; (2)求 ?ABC 的面积. 16. (本小题满分 13 分) 某单位生产 A 、 B 两种产品,需要资金和场地,生产每吨 A 种产品和生产每吨 B 种产品所 需资金和场地的数据如下表所示:

1 . 4

现有资金 12 万元,场地 400 平方米,生产每吨 A 种产品可获利润 3 万元;生产每吨 B 种产 品可获利润 2 万元,分别用 x , y 表示计划生产 A 、 B 两种产品的吨数. (1)用 x , y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问 A 、 B 两种产品应各生产多少吨,才能产生最大的利润?并求出此最大利润. 17. (本小题满分 13 分) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,D 为 BC 的中点,AB ? 3 ,AC ? AA1 ? 4 ,BC ? 5 . (1)求证: AB ? AC ; 1 (2)求证: A1B / / 平面 ADC1 ;

3

(3)求直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积.

18. (本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 满足条件 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 3 ? 2n?1 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若

bn ? n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 E :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )经过点 A(2,3) ,离心率 e ? . 2 2 a b

(1)求椭圆 E 的方程;

E 的另一个交点为 B , C 为椭圆 E 上的一 (2)若 ?F 1 AF2 的角平分线所在的直线 l 与椭圆
点,当 ?ABC 的面积最大时,求 C 点的坐标. 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ( a ? R 且 a ? 0 ) . 3

(1)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (?2, f (?2)) 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值; (3)当 x ??2a,2a ? 2? 时,不等式 | f '( x) |? 3a 恒成立,求 a 的取值范围.

4

和平区 2016-2017 学年度第一学期高三年级 数学(文)学科期末质量调查试卷答案 一、选择题
1-5: CDACB 6-8: DCD

二、填空题
9.

2 5

10.

1 4

11.120

12. ?

3 4 1 , 4

13.4

14. (0,

9 ) 16

三、解答题
15.解: (1)由已知条件 a ? 2 , c ? 7 ? b , cos B ? ? 运用余弦定理, cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 , 2ac

(2)∵ B ? (0, ? ) , ∴ sin B ? 1 ? cos B ? 1 ?
2

1 15 . ? 16 4

而a ? 2,c ? 7 ?b ? 3, 由 ?ABC 的面积公式 S ?ABC ?

1 1 15 3 15 ac sin B ,得 S?ABC ? ? 2 ? 3 ? ? . 2 2 4 4

16.解: (1)由已知, x , y 满足的数学关系式为:

?2 x ? 3 y ? 12, ? 2 x ? 3 y ? 12, ?100 x ? 50 y ? 400, ? 2 x ? y ? 8, ? ? 即? ? ? x ? 0, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0, ? y ? 0,
该二元一次不等式组所表示的平面区域为下图的阴影部分:

5

(2)设利润为 z 万元,则目标函数为 z ? 3x ? 2 y .

3 z 3 x ? ,这是斜率为 ? ,随 z 变化的一族平行直线, 2 2 2 z z 为直线在 y 轴上的截距,当 取最大值时, z 的值最大. 2 2 因为 x , y 满足约束条件,
将其变形为 y ? ? 所以当直线 z ? 3x ? 2 y 经过可行域上的点 M 时,截距 解方程组 ?

z 最大,即 z 最大, 2

?2 x ? 3 y ? 12, 得点 M 的坐标 (3, 2) , ?2 x ? y ? 8,

∴ zmax ? 3 ? 3 ? 2 ? 2 ? 13 . 答:生产 A 种产品 3 吨、 B 种产品 2 吨时,利润最大为 13 万元. 17.(1)证明:在 ?ABC 中, AB ? 3 , AC ? 4 , BC ? 5 , ∴ AB ? AC ? BC ,
2 2 2

∴ AB ? AC . ∵三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱, ∴ AA1 ? 平面 ABC , ∵ AB ? 平面 ABC , ∴ AB ? AA 1, ∵ AC ? AA1 ? A , ∴ AB ? 平面 AAC , 1 ∵ AC , ? 平面 AAC 1 1

6

∴ AB ? AC . 1

E 点,连接 ED . (2)证明:设 AC 1 与 AC1 交于
∵在 ?A1 BC 中, D 为 BC 的中点, E 为 AC 1 的中点, ∴ A1B / / ED , ∵ ED ? 平面 ADC1 , A1B ? 平面 ADC1 , ∴ A1B / / 平面 ADC1 . (3)解:∵ ?ABC 的面积 S ?

1 ? 3? 4 ? 6 , 2

直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高 h ? 4 , ∴直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积 V ? Sh ? 6 ? 4 ? 24 .

18.解:∵ a1 ? 1 , an?1 ? an ? 3 ? 2n?1 , ∴

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? … ? (an ? an?1 ) ? 1 ? 3 ? 20 ? 3 ? 21 ? … ? 3 ? 2n?2
? 3 ? 2n?1 ? 2 ( n ? 2 ) .
∵当 n ? 1 时, 3 ? 2
1?1

? 2 ? 1 ,式子也成立,

∴数列 ?an ? 的通项公式 an ? 3? 2n?1 ? 2 . (2)∵ bn ? nan ? 3n ? 2
n?1

? 2n ,即

b1 ? 3?1? 20 ? 2 , b2 ? 3? 2 ? 21 ? 4 , b3 ? 3? 3? 22 ? 6 ,?


Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? … ? bn ? 3(1? 20 ? 2 ? 21 ? 3? 22 ? … ? n ? 2n?1 ) ? (2 ? 4 ? 6 ? … ? 2n) .
7

设 Tn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3? 22 ? …? n ? 2n?1 ,① 则 2Tn ?

1? 22 ? 2 ? 22 ? … ? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n ,②

① ? ②,得 ?Tn ? (20 ? 21 ? 22 ? … ? 2n?1 ) ? n ? 2n ? (2n ?1) ? n ? 2n , ∴ Tn ? (n ?1) ? 2n ? 1, ∴ Sn ? 3(n ?1) ? 2n ? 3 ? 2(1 ? 2 ? 3 ? … ? n) ? 3(n ?1) ? 2n ? n(n ? 1) ? 3 . 19.解: (1)由椭圆 E 经过点 A(2,3) ,离心率 e ?

1 , 2

?4 9 ? ? 1, 2 ? ? ? a 2 b2 ?a ? 16, 可得 ? 2 解得 ? 2 2 ? ?b ? 12, ?a ? b ? 1 , 2 ? 4 ? a
∴椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

(2)由(1)可知 F1 (?2,0) , F2 (2,0) , 则直线 AF1 的方程为 y ?

3 ( x ? 2) ,即 3x ? 4 y ? 6 ? 0 , 4

直线 AF2 的方程为 x ? 2 , 由点 A 在椭圆 E 上的位置易知直线 l 的斜率为正数. 设 P( x, y) 为直线 l 上任意一点, 则

| 3x ? 4 y ? 6 | 32 ? (?4)2

. ?| x ? 2 | ,解得 2 x ? y ?1 ? 0 或 x ? 2 y ? 8 ? 0 (斜率为负数,舍去)

∴直线 l 的方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 . 设过 C 点且平行于 l 的直线为 2 x ? y ? m ? 0 ,

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 由 ?16 12 整理得 19x ? 16mx ? 4(m ?12) ? 0 , ?2 x ? y ? m ? 0, ?
2 2 由 ? ? (16m) ? 4 ?19 ? 4(m ?12) ? 0 ,解得 m ? 76 ,
2

因为 m 为直线 2 x ? y ? m ? 0 在 y 轴上的截距,

8

依题意, m ? 0 ,故 m ? 2 19 . ∴ C 点的坐标为 (?

16 19 16 19 . , ) 19 19
1 3 x ? 2 x 2 ? 3 x , f '( x) ? ? x2 ? 4x ? 3 , 3

20.解: (1)∵当 a ? ?1 时, f ( x) ? ? ∴ f ( ?2) ?

8 2 ? 8 ? 6 ? , f '(?2) ? ?4 ? 8 ? 3 ? 1 . 3 3 2 ∴ y ? ? x ? ( ?2) ? ? ,即所求切线方程为 3x ? 3 y ? 8 ? 0 . 3
(2)∵ f '( x) ? ? x2 ? 4ax ? 3a2 ? ?( x ? a)( x ? 3a) . 当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 ,得 a ? x ? 3a ;由 f '( x) ? 0 ,得 x ? a 或 x ? 3a . ∴函数 y ? f ( x) 的单调递增区间为 (a,3a) ,单调递减区间为 (??, a) 和 (3a, ??) , ∵ f (3a) ? 0 , f (a ) ? ?

4 3 a , 3 4 3 a . 3

∴当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 的极大值为 0,极小值为 ? (3) f '( x) ? ? x2 ? 4ax ? 3a2 ? ?( x ? 2a)2 ? a2 , ∵ f '( x) 在区间 ? 2a,2a ? 2? 上单调递减,

∴当 x ? 2a 时, f '( x)max ? a2 ,当 x ? 2a ? 2 时, f '( x)min ? a2 ? 4 . ∵不等式 | f '( x) |? 3a 恒成立,

? a ? 0, ? 2 ∴ ? a ? 3a, 解得 1 ? a ? 3 , ? a 2 ? 4 ? ?3a, ?
故 a 的取值范围是 ?1,3? .

9


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