当前位置:首页 >> 生产/经营管理 >>

概率论与数理统计试题


概率论与数理统计复习大纲 一、概率论的基本概念 内容随机事件与样本空间 古典型概率 几何型概率 验 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念和基本性质 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试

考点 1.掌握事件的关系及运算.2.理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性 质,会计算古典型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及 贝叶斯(Bayes)公式等.3.理解事件的独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计 算.二、随机变量及其分布 内容随机变量 随机变量的分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布 考点 1.理解随机变量的概念,理解分布函数 F ( x) ? P{ X ? x}(?? ? x ? ?) 的概念及 性质,掌握与随机变量相联系的事件的概率计算方法. 2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念及性质,掌握 0-1 分布、二项分布

B(n, p) 、泊松(Poisson 分布.3.理解连续型随机变量及其概率密度的概念及性质,
掌 握 均 匀 分 布 U ( a, b) 、 正 态 分 布 N (? , ?
2

)、 指 数 分 布 , 其 中 参 数 为

? (? ? 0) (注: 此时? ? 1/ ? ) 的 指 数 分 布 E (? ) 的 概 率 密 度 为
?? e ? ? x f ( x) ? ? ?0 若x>0 若x ? 0

4.掌握离散型随机变量函数的分布律求法,掌握连续型随机变量函数的概率密度求法 (分布函数法和单调函数下的公式法).三、多维随机变量及其分布 内容多维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布、条 件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度、条件概率密度 随机变量的 独立性和不相关性 常见二维随机变量的分布 两个随机变量的函数的分布 考点 1.理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度及 其性质,掌握二维随机变量的边缘分布(离散型下边缘分布律、连续型下边缘密度的计 算). 2.理解随机变量的独立性和不相关性的概念,掌握随机变量相互独立的判别方法, 理解随机变量的不相关性与独立性的关系.3. 掌握与二维随机变量相联系的事件的概 率计算方法. 4. 掌握由两个离散型随机变量的联合分布律求其函数的分布律方法,会根据两个连 续型随机变量的联合概率密度求其函数的概率密度.5. 会计算二维随机变量分量的条 件分布.

1

四、随机变量的数字特征 内容随机变量的数学期望(均值)方差及其性质 随机变量函数的数学期望协方差、相 关系数及其性质 考点 1 理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数)的概念, 会运用数字特征的基本性质,并掌握常用分布的期望、方差.2.掌握随机变量及其函 数的数学期望求法. 3. 利用协方差或相关系数判别随机变量是否不相关. 五、大数定律及中心极限定理 考点 1. 掌握切比雪夫不等式的表达.2. 了解大数定律和中心极限定理内容. 六样本及抽样分布 内容总体 个体 简单随机样本 统计量 样本均值 样本方差和样本矩 ? 2 分布

t 分布 分位点 正态总体的常用抽样分布
考点 1.了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念, 其中样本方差定义为 S 2 ? 1

?(X n ?1
i ?1

n

i

? X )2

2.了解产生 ? 2 变量、 t 变量的典型模式;了解标准正态分布、 ? 2 分布、 t 分布的 上侧 ? 分位点. 3.掌握单个正态总体的样本均值、样本方差的抽样分布(定理 1-3),了解两个正 态总体均值差和方差比的抽样分布(定理 4). 七、参数估计 内容点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 区间估计 考点 1.了解参数的点估计、估计量与估计值的概念.2.掌握矩估计法和最大似 然估计法. 3. 掌握估计量的无偏性和有效的概念并会做出判断. 4. 掌握单个正态总体均值和方差的双侧置信区间求法. 5. 了解单个正态总体均值和方差的单侧置信区间求法,了解两个正态总体均值差、 方差比的置信区间求法. 八、假设检验 内容原假设 备择假设 检验统计量 否定域 检验水平 显著性 两类错误 考点 1. 了解假设检验的两类错误. 2. 掌握单个正态总体方差已知和未知两种情况下关于均值的双边检验,了解对应 问题的单边检验.3. 掌握单个正态总体方差的双边检验,了解该问题的单边检验. 4. 了解两个正态总体均值差和方差比的假设检验. 5. 知道假设检验和参数区间估计的对偶关系. 概率论与数理统计复习知识点 第一章 随机事件及其概率 一、随机事件及其运算 1. 样本空间、随机事件 ①样本点:随机试验的每一个可能结果,用 ? 表示;②样本空间:样本点的全集,用 ?
2

表示; 注:样本空间不唯一 . ③随机事件:样本点的某个集合或样本空间的某个子集,用 A,B,C,?表示; ④必然事件就等于样本空间;不可能事件 (?) 是不包含任何样本点的空集; ⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。 2. 事件的四种关系 ①包含关系: A ? B ,事件 A 发生必有事件 B 发生; ②等价关系: A ? B , 事件 A 发生必有事件 B 发生,且事件 B 发生必有事件 A 发生; ③互不相容(互斥): AB ? ? ,事件 A 与事件 B 一定不会同时发生。 ④互逆关系(对立): A ,事件 A 发生事件 A 必不发生,反之也成立;互逆满足

?A ? A ? ? ? ? AA ? ?
注:互不相容和对立的关系(对立事件一定是互不相容事件,但互不相容事件不一定是 对立事件。) 3. 事件的三大运算 ①事件的并:A ? B , 事件 A 与事件 B 至少有一个发生。 若 AB ? ? , 则 A ?B ?A ?B ; ②事件的交: A ? B或AB ,事件 A 与事件 B 都发生; ③事件的差: A-B ,事件 A 发生且事件 B 不发生。4. 事件的运算规律①交换律:

A ? B ? B ? A, AB ? BA











( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ), ( A ? B) ? C ? A ? (B ? C )
③分配律: A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ), A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C )

④德摩根(De Morgan)定律

A ? B ? AB, AB ? A ? B

?A ??A,
i i

n

n

对于 n 个事件,有

i ?1 n

i ?1 n

? Ai ? ? Ai
i ?1 i ?1

二、随机事件的概率定义和性质 1.公理化定义:设试验的样本空间为 ? ,对于任一随机事件 A ( A ? ?), 都有确定的实值 P(A),满足下列性质:(1) 非负性: P( A) ? 0; (2) 规范性: P(?) ? 1; (3) 有 限 可 加 性 ( 概 率 加 法 公 式 ) : 对 于 k 个 互 不 相 容 事 件 A1 , A2 ?, Ak , 有

P(

?
i ?1

k

Ai ) ?

? P( A ) .
i i ?1

k

则称 P(A)为随机事件 A 的概率. 2 . 概 率 的 性 质 ① P(?) ? 1, P(?) ? 0 ② P( A) ? 1 ? P( A) ③ 若 A ? B , 则

3

P( A) ? P( B), 且P( B ? A) ? P( B) ? P( A) ④ P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB)
P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( AB) ? P( BC ) ? P( AC ) ? P( ABC )
注: 性质的逆命题不一定成立的. 如若 P( A) ? P( B), 则 A ? B 。 (×) 若 P( A) ? 0 , 则 A ? ? 。(×) 三、古典概型的概率计算古典概型:若随机试验满足两个条件: ① 只有有限个样本点,② 每个样本点发生的概率相同, 则称该概率模型为古典概型,

P ( A) ?

k 。 n

典型例题:设一批产品共 N 件,其中有 M 件次品,从这批产品中随机抽取 n 件样品,则 (1)在放回抽样的方式下, 取出的 n 件样品中恰好有 m 件次品(不妨设事件 A1)的概率
m m n?m 为 P( A1 ) ? Cn M ( N n? M ) .

N

(2)在不放回抽样的方式下, 取出的 n 件样品中恰好有 m 件次品(不妨设事件 A2)的概 率为
P( A2 ) ?
m m n?m Cn AM AN ?M n AN

?

m n?m CM ? CN ?M n CN

.

四、条件概率及其三大公式 1.条件概率: P( B | A) ? 2.乘法公式:

P( AB) P( AB) , P( A | B) ? P( A) P( B)

P( AB) ? P( A) P( B | A) ? P( B) P( A | B) P( A1 A2 ? An ) ? P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )? P( An | A1 ? An ?1 )
n

4. 全 概 率 公 式 : 若 B1 , B2 ,?, Bn满足
n

? B ? ?, B B
i i i?

j

? ?, i ? j , 则

P( A ? ) ? P Bi (P A) Bi (。 |
i ?1

)

? , 0 5. 贝 叶 斯 公 式 : 若 事 件 B1 , B2 ,?, Bn和A 如 全 概 率 公 式 所 述 , 且 P( A )

则 P( Bi | A ) ?

P( Bi )P A ( B |i

)

? P( B
i ?1

n

.

i

)P A ( B |i

)

五、事件的独立 1. 定义: 若P( AB) ? P( A) P( B), 则称A,B独立 . 推广:若 A1 , A2 ,?, An 相互独立, P( A 1?A n ) ? P( A 1 ) ? P( An )
4

2. 在 ? A, B? , A, B , A, B , A, B 四对事件中,只要有一对独立,则其余三对也独 立。 3. 三个事件 A, B, C 两两独立: P( AB) ? P( A) P( B) 注:n 个事件的两两独立与相互
P( BC ) ? P( B) P(C ) P( AC ) ? P( A) P(C )

?

??

??

?

独 立 的 区 别 。 ( 相 互 独 立 ? 两 两 独 立 , 反 之 不 成 立 。 ) 4. 伯 努 利 概 型 :
k k n ?k P , k ? 0,1,2,?, n, q ? 1 ? p. n (k ) ? Cn p q

第二章 一、随机变量的定义

随机变量及其分布

设样本空间为 ? ,变量 X ? X (? ) 为定义在 ? 上的单值实值函数,则称 X 为随机变 量,通常用大写英文字母,用小写英文字母表示其取值。 二、分布函数及其性质 三、1. 定义:设随机变量 X ,对于任意实数 x ? R ,函数 F ( x) ? P{ X ? x} 称为随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 函 数 , 简 称 分 布 函 数 。 注 : 当 x1 ? x2 时 , P( x1 ? X ? x2 )
? F ( x 2 ) ? F ( x1 ) F ( x) ?

xi ? x

? p( x ).
i
x

(1)X 是离散随机变量,并有概率函数 p( xi ), i ? 1,2,?, 则有 (2) X 连续随机变量,并有概率密度 f (x),则 F ( x) ? P( X
? x) ?

?

??

f (t )dt

2. 分布函数性质:( 1)F(x)是单调非减函数,即对于任意 x1<x2,有 F ( x1 ) ? F ( x2 ); ; ( 2) 0 ? F ( x) ? 1 ;且 F (??) ? lim F ( x) ? 0 , F (??) ? lim F ( x) ? 1 ;
x??? x???

( 3)离散随机变量 X, F (x)是右连续函数 , 即 F ( x) ? F ( x ? 0) ; 连续随机变量 X, F (x)在( -∞, +∞)上处处连续。 注:一个函数若满足上述 3 个条件,则它必是某个随机变量的分布函数。 三、离散随机变量及其分布 1. 定义. 设随机变量 X 只能取得有限个数值 x1 , x2 ,?, xn ,或可列无穷多个数值 x1 , x2 ,?, xn ,?, 且 P( X ? xi ) ? pi (i ? 1,2,?) ,则称 X 为离散随机变量,pi(i=1,2,?)为 X 的概率分布,或概率函数 ( 分布律 ). 注:概率函数 pi 的性质 : (1) pi ? 0, i ? 1, 2,?;
(2)

?p
i

i

?1

2. 几种常见的离散随机变量的分布: 3. (1)超几何分布,X~H(N,M,n), P{ X ? k} ?
k n ?k CM ? CN ?M n CN

k ? 0,1, 2,?, n

k k (2)二项分布,X~B(n.,p), P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k k ? 0,1,?, n

5

当 n=1 时称 X 服从参数为 p 的两点分布(或 0-1 分布)。 若 X (i=1,2,?,n)服从同一两点分布且独立,则 X ?

i

?X
i ?1

n

i

服从二项分布。

(3) 泊松(Poisson)分布,X ~ P(? ) ,P{ X ? k} ?

? k e? ?
k!

(? ? 0), k ? 0, 1, 2, ...

四、连续随机变量及其分布 1.定义.若随机变量 X 的取值范围是某个实数区间 I,且存在非负函数 f(x),使得对于 任意区间 (a, b] ? I ,有 P(a ? X ? b) ?

? f (x)dx, 则称 X 为连续随机变量; 函数 f (x)称为
a

b

连续随机变量 X 的概率密度函数,简称概率密度。注 1:连续随机变量 X 任取某一确定 值的 x0 概率等于 0, 即 P( X ? x0 ) ? 0; 注 2: P( x1 ? X ? x 2 ) ? P( x1 ? X ? x 2 ) ? P( x1 ? X ? x 2 ) ? P( x1 ? X ? x2 ) ? 2. 概率密度 f (x)的性质:性质 1: f ( x) ? 0; 性质 2:

?

x2

x1

f ( x)dx

?

??

??

f ( x)dx ? 1.

注 1:一个函数若满足上述 2 个条件,则它必是某个随机变量的概率密度函数。 注 2:当 x1 ? x2 时, P( x1 ? X ? x2 ) ? F ( x 2 ) ? F ( x1 ) ? 且在 f(x)的连续点 x 处,有 F ?( x) ? f ( x). 3. 几 种 常 见 的 连 续 随 机 变 量 的 分 布 :
?0, ? ?x?a F ( x) ? ? , ?b ? a 1 , ? ? x ? a; a ? x ? b; x ? b.

?

x2

x1

f ( x)dx

? 1 ? , a? x?b f ( x) ? ? b ? a ? , 其它 ?0

(1)

均 匀 分 布

X ~ U (a, b) , (2)
? ?1 ? e ??x , x ? 0, F ( x) ? ? ? x ? 0. ? 0,

指 数 分 布 X ~ e(? ) , ? ? 0

? ??e ??x, x ? 0 f ( x) ? ? ? ?0 , x ? 0

(3) 正
f ( x) ? 1 2? ? e
?


( x?? )2 2? 2


F ( x) ? 1 2? ?



X ~ N (? , ? 2 )
2? 2



? ?0



?

x

??

e

?

(t ? ? ) 2

dt,

? ? ? x ? ??

第三章 随机变量的数字特征 一、期望(或均值)1.定义: EX ,
? ? ? ? xk pk , 离散型 EX ? ? k ?1 ? ?? xf ( x)dx, 连续型 ? ???

2.期望的性质: (1) E (C ) ? C ,

(C为常数)

(2)E(CX)=CE(X) (3)E(X ? Y)=E(X)? E(Y) (4)若X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y),反之结论不成立.

6

? ? ? g ( xk ) pk , X 离散型 3. 随机变量函数的数学期望 E[ g ( x)] ? ? ? k ?1 ? + ? g(x)f(x)dx,X 连续型 ? ?- ?
4. 计算数学期望的方法(1) 利用数学期望的定义;(2) 利用数学期望的性质; 常见的基本方法: 将一个比较复杂的随机变量 X 拆成有限多个比较简单的随机变量 Xi 之和,再利用期望性质求得 X 的期望.(3)利用常见分布的期望;
? ? ? 二、方差 1.方差 D( X ) ? E[ X ? E ( X )] 2 ? ? ? ? ?
2

?

i ??

? [ x ? E( X )]

2

p i , 离散型

??

[ x ? E ( X )] 2 f ( x)dx, 连续型

注:D(X)=E[X-E(X)] ≥0;它反映了随机变量 X 取值分散的程度,如果 D(X)值越大(小), 表示 X 取值越分散(集中)。 2.方差的性质 (1) D(C ) ? 0, 2
(C为常数) (2)D(CX)=C D(X) (3)若X与Y相互独立,则D(X ? Y)=D(X)+D(Y)

(4) 对于任意实数 C∈R,有 E ( X-C ) ≥D( X )当且仅当 C = E(X)时, E ( X-C ) 取得最小值 D(X). (5) (切比雪夫不等式):设 X 的数学期望 E(X) 与方差 D(X) 存在,对于任意的正数 ?, 有

2

2

P (| X - E ( X ) |? ε ) ?

D( X ) .或 ε2

P (| X - E ( X ) |< ε ) ? 1 -

D( X ) . ε2

3. 计算 (1) 利用方差定义; (2) 常用计算公式 D( X ) ? E( X 2 ) ? [ E( X )]2 . (3) 方差的性 质; (4) 常见分布的方差.注:常见分布的期望与方差 1. 若 X~B(n, p), 则 E(X)=np, D(X) = npq;2. 若 X ~ P(? ), 则E ( X ) ? D( X ) ? ?; 3. 若

X



U(a,

b),



E( X ) ?

(b ? a) 2 a ?b , D( X ) ? ; 2 12

4.



X ~ e(? ), 则E ( X ) ?
2

1

?

, D( X ) ?

1

?2

;
2

5. 若 X ~ N (?, ? ), 则E( X ) ? ?, D( X ) ? ? . 三、原点矩与中心矩(总体)X 的 k 阶原点矩: vk ( X ) ? E( X )
k

(总体)X 的 k 阶中心矩: uk ( X ) ? E[ X ? E( X )] 一、正态分布的定义 1. 正态分布⑴ X ~ N ( ? , ? ) ,其概率密度为
2

k

第四章 正态分布

f ( x) ?

? 1 e 2? ?

( x? ? )2 2? 2

, ? ? ? x ? ?? , 其分布函数为 F ( x ) ?

1 2? ?

?

x

??

e

?

(t ? ? )2 2?
2

dt

注:

7

F (? ) ?

1 . 2
2? ?

1 正态密度函数的几何特性: (1) 曲线关于x ? ?对称; ( 2 ) 当x ? μ时, f ( x)取得最大值 ;

(3) 当x ? ??时,f ( x) ? 0,以x轴为渐近线; (4)

2? ? ?

1

?? ?

( x?? )2 2? 2

??

e

dx ? 1 ?

?

?? ?

( x?? )2 2? 2

??

e

dx ? 2? ? ;

( 5 ) 当固定σ, 改变μ的大小时,f(x)的 图形不变,只是沿着 y轴作平移变化. (6) 当固定μ, 改变σ的大小时,f ( x)对称轴不变而形状在改 变, σ越小,图形越高越瘦;σ越大,
图形越矮越胖.

2. 标准正态分布 当 ? ? 0, ? ? 1 时, X ~ N (0, 1), 其密度函数为

? ( x) ?

1 2?

e

?

x2 2

, ? ? ? x ? ??. 且其分布函数为

?( x) ?

1 2?

?e
??

x ?

t2 2 dt.

1 ?( x) 的性质: (1) ?(0) ? ; 2
(2) ?(??) ? ?
?? ?? x ?? ? 1 ? x2 e dx ? 1 ? ? e 2 dx ? 2? ?? 2?
2 2

(3) ?(? x) ? 1 ? ?( x).

3.正态分布与标准正态分布的关系 定 理 : 若 X ~ N (?, ? 2 ),
P( x1 ? X ? x2 ) ? ?( x2 ? ? ) ? ?(

则 Y?
x1 ? ? ).

X ??

?

~ N (0, 1) . 定 理 : 设 X ~ N (?, ? 2 ), 则

? 二、正态分布的数字特征
2

?

设 X ~ N (? , ? ), 则 1. 期望 E(X) ? ? E ( X ) ?

1 2? ?

?xe
??

?? ?

( x?? )2 2? 2

dx ? ?

2.方差 D(X) ? ? 2 D( X ) ? 三、正态分布的性质

2? ? ?

1

??

??

(x ? ?) e
2

?

( x?? )2 2? 2

dx ? ? 2 3.标准差 ? ( X ) ? ?

1.线性性. 设 X ~ N (?, ? 2 ), 则 Y ? a ? bX ~ N (a ? b?, b 2? 2 ),(b ? 0) ;
2 2 2 . 可 加 性 . 设 X ~ N (? x , ? x ), Y ~ N (? y , ? y ), 且 X 和 Y 相 互 独 立 , 则 2 2 Z ? X ? Y ~ N (? x ? ? y , ? x ?? y );

3 . 线 性 组 合 性

设 X i ~ N (? i , ? i2 ), i ? 1,2, ?, n , 且 相 互 独 立 , 则
2 2 i i ).

?
i ?1

n

ci X i ~ N (

?
i ?1

n

ci ?i ,

?c ?
i ?1

n

四、中心极限定理

8

1.独立同分布的中心极限定理设随机变量 X 1 , X 2 ,?, X n ,?相互独立,服从相同的分 布,且

E( X i ) ? ?, D( X i ) ? ? 2 , i ? 1,2,?, n,?;
则对于任何实数 x,有
? n ? ? ? X i ? nμ ? i ?1 ? l i mP ? x? ? ? ? n ?? nσ ? ? ? ? 1 2? ?
x ? (t ? ? )2 2? 2

?

??

e

dt

定理解释:若 X 1 , X 2 ,?, X n 满足上述条件, 当n充分大时, 有

(1) Y ?
* n

?X
i ?1

n

i

? nμ



~ AN (0,1) ; (2) Yn* ? ? X i ~ AN (n? , n? 2 ) ; ( 3 )
i ?1

n

X?

1 n ?2 X i ~ AN ( ? , ) ? n i ?1 n
? ? x? ? ? np(1 - p) ? 1 2? ?

2. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 设 Yn ~ B(n, p), 则 l i mP ? ? Yn ? np ? n ??
?

?

x

??

e

?

(t ? ? )2 2? 2

dt

定理解释:若

Yn ~ B(n, p), 当 n 充 分 大 时 , 有 ( 1 ) Yn ~ AN(np, np(1 ? p))

Yn ? np np(1 ? p)

~ AN (0,1) ; ( 2 )

第五章 数理统计的基本知识 一、总体 个体 样本 1.总体:把研究对象的全体称为总体 (或母体).它是一个随机变量,记 X. 2.个体:总体中每个研究对象称为个体.即每一个可能的观察值. 3.样本:从总体 X 中,随机地抽取 n 个个体 X 1 , X 2 ,?, X n , 称为总体 X 的容量为 n 的 样本。 注:⑴ 样本 ( X 1 , X 2 ,?, X n ) 是一个 n 维的随机变量; ⑵ 本书中提到的样本都是指简单随机样本,其满足 2 个特性: ① 代表性: X 1 , X 2 ,?, X n 中每一个与总体 X 有相同的分布. ② 独立性: X 1 , X 2 ,?, X n 是相互独立的随机变量. 4.样本 ( X 1 , X 2 ,?, X n ) 的联合分布设总体 X 的分布函数为 F(x), 则样本 ( X 1 , X 2 ,?, X n ) 的联合分布函数为 F ( x1 , x2 ,?, xn ) ?

? F ( x ); 设总体 X 的概率密度函数为 f (x), 则样
i i ?1

n

本 的 联 合 密 度 函 数 为 f ( x1 , x2 ,?, xn ) ?

? f ( x ); (2)
i i ?1

n

设总体 X 的概率函数为

9

p( x), ( x ? 0,1,2,?) , 则样本的联合概率函数为

p( x1 , x 2 , ?, x n ) ?

? p( x );
i i ?1

n

二、统计量 1. 定义 不含总体分布中任何未知参数的样本函数 g ( X 1 ,X 2 ,? ,X n ) 称为统计量,
g ( x1 , x2 ,?, xn ) 是 g ( X 1,X 2 ,? ,X n ) 的观测值.注: (1)统计量 g ( X 1 ,X 2 ,? ,X n ) 是随机变

量; (2)统计量 g ( X 1 ,X 2 ,? ,X n ) 不含总体分布中任何未知参数;(3)统计量的分布 称为抽样分布. 2. 常用统计量(1)样本矩①样本均值 X ? 于推断:总体均值 E(X). ②样本方差 S 2 ?
n n 1 1 (X i ? X )2 ? (? X i2 ? nX 2 ) ; ? n ? 1 i ?1 n ? 1 i ?1

1 n

?
i ?1

n

X i ; 其观测值

x?

1 n

?x
i ?1

n

i

.可用

其观测值

s2 ?

1 n ?1

?
i ?1

n

( xi ? x ) 2 ?

n ? 1 ? ? xi2 ? nx 2 ? . ? n ?1 ? ? i ?1 ?

?

可用于推断:总体方差 D(X). ③样本标准差 S ? S 2 ?
1 n ?1

?(X
i ?1
n i

n

i

? X )2 ?

1 ? ? n ?1 ? ?
1 ? ? n ?1? ?
n

?X
i ?1
2 i

n

2 i

? ? nX 2 ? . ? ?

其观测值

s?

s2 ?

1 n ?1

?(x
i ?1

? x)2 ?

?x
i ?1

? ? nx 2 ? . ? ?
n

④样本 k 阶原点矩 Vk ⑤样本 k 阶中心矩 U

1 ? n

?
i ?1
n

n

X ik

, (k

? 1,2, ?) 其观测值

vk ?

1 n

?x
i ?1

k i

k

?

1 n

?(X
i ?1

i

? X ) k , (k ? 1,2, ?)

其观测值

uk ?

1 n

?(x
i ?1

n

i

? x)k

注: 比较样本矩与总体矩, 如样本均值 X 和总体均值 E(X); 样本方差 S 2 与总体方差 D(X); 样本 k 阶原点矩 Vk ?

1 n ? X ik , (k ? 1,2, ?) 与总体 k 阶原点矩 E( X k ), (k ? 1,2, ?) ; n i ?1 1 n ( X i ? X ) k , (k ? 1,2, ?) 与 总 体 k 阶 原 点 矩 ? n i ?1

样 本 k 阶 中 心 矩 Uk ?

E[ X ? E( X )]k , (k ? 1,2, ?) .
前者是随机变量,后者是常数. (2)样本矩的性质:设总体 X 的数学期望和方差分别为 EX ? ?, DX ? ? , X , S 为样
2 2

本均值、样本方差,则

10

1o E ( X ) ? ? ; 2 o D( X ) ?

1 2 o ? ; 3 E(S 2 ) ? ? 2 . n

3.抽样分布:统计量的分布称为抽样分布. 3 大抽样分布 1. ? 2分布 1 定义.设 X 1 , X 2 ,?, X k 相互独立,且 X i ~ N (0,1), i ? 1,2, ?, k ,则
2 2 2 ? 2 ? X 12 ? X 2 ? ?? X k ~ ? 2 (k ) 注:若 X ~ N (0,1), 则 X ~
2 2 ( 2 ) 性 质 ( 可 加 性 ) 设 ?1 相互独立,且 和? 2
2 2 ?1 ? ?2 ~ ? 2 (k1 ? k2 ).

? 2 (1).

2 ?12 ~ ? 2 (k1 ), ? 2 ~ ? 2 (k 2 ), 则

2. t 分布设 X 与 Y 相互独立,且 X ~ N (0,1), Y ~ ? 2 (k ), 则 t ?

X Y/k

~ t ( k ).

注: t 分布的密度图像关于 t=0 对称; 当 n 充分大时, t 分布趋向于标准正态分布 N(0,1). 3. F 分布 (1) 定义. 设 X 与 Y 相互独立, 且 X ~ ? 2 (k1 ), Y ~ ? 2 (k2 ), 则 F ? (2) 性质. 设 X~F(k1, k 2 ), 则 1 / X ~ F (k 2 ,k1 ) . 四、分位点定义:对于总体 X 和给定的 ? (0 ? ? ? 1), 若存在 x? ,使得 P( X ? x? ) ? ? 则称 x? 为 X 分布的 ? 分位点注:常见分布的分位点表示方法
2 ( 1 ) ? (k ) 分布的 ? 分位点 ? ? (k ); ( 2 ) t (k ) 分布的 ? 分位点 t? (k ), 其性质:
2

X / k1 ~ F ( k1 , k 2 ). Y / k2

t1?? (k ) ? ?t? (k );
(3) F? (k1 , k 2 ),分布的 ? 分位点 F? (k1 , k 2 ),其性质 F1?? (k1 , k 2 ) ?

1 ; F? (k 2 , k1 )

(4)N(0,1)分布的 ? 分位点 u? , 有 P( X ? u? ) ? 1 ? P( X ? u? ) ? 1 ? ?(u? ), 第六章 参数估计 一、点估计 1. 定义 设 ( X 1 , X 2 ,?, X n ) 为来自总体 X 的样本, ? 为 X 中的未知参数,( x1 , x 2 ,?, x n )
?( X , X ,?, X ) 作为参数 ? 的估计, ?( X , X ,?, X ) 为 为样本值, 构造某个统计量 ? 则称 ? 1 2 n 1 2 n ?( x , x ,?, x ) 为 ? 的估计值.2.常用点估计的方法:矩估计法和最大似 ? 的点估计量, ? 1 2 n

然估计法. 二、矩估计法 1.基本思想: 用样本矩(原点矩或中心矩)代替相应的总体矩. 2.求总体 X 的分布中包含的 m 个未知参数 ?1 , ? 2 ,?,? m 的矩估计步骤: ① 求出总体矩,即 E( X k )或E[ X ? E( X )]k , k ? 1,2,? ;② 用样本矩代替总体矩,列出矩 估计方程: 1
n

?X
i ?1

n

k i

? E( X

k

)或

1 n

?( X
i ?1

n

i

? X ) k ? E[ X ? E ( X )]k , k ? 1,2, ?

11



解 上 述 方 程 ( 或 方 程 组 ) 得 到 ?1 , ? 2 ,?,? m 的 矩 估 计 量 为 :

? ?? ? ( X , X ,?, X ), i ? 1,2,?, m ? i i 1 2 n ? ?? ? ( x , x ,?, x ), i ? 1,2,?, m ④ ?1 , ? 2 ,?,? m 的矩估计值为: ? i i 1 2 n

3. 矩估计法的优缺点:优点:直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形 式. 缺点:没有充分利用总体分布提供的信息;矩估计量不具有唯一性;可能估计结果的 精度比其它估计法的低 三、最大似然估计法 1. 直观想法:在试验中,事件 A 的概率 P(A)最大, 则 A 出现的可能性就大;如果事 件 A 出现了,我们认为事件 A 的概率最大. 2. 定义 设总体 X 的概率函数或密度函数为 p( x, ? ) (或 f ( x,? ) ),其中参数 ? 未知, 则 X 的样本 ( X 1 , X 2 , ?, X n ) 的联合概率函数(或联合密度函数) L(? ) ?
L(? ) ?

? p( x , ? )
i i ?1

n

? f ( x ,? ) 称为似然函数.3.
i i ?1

n

求最大似然估计的步骤:(1)求似然函数:X 离散:

L(? ) ?

?
i ?1

n

p ( xi , ? ) X 连 续 :

L(? ) ?

? f ( x ,? )
i i ?1

n

( 2 ) 求 ln L(? ) 和 似 然 方 程 :

? ln L(? ) ? 0, i ? 1,2,?, m ?? i
? ?? ? ( x , x ,?, x ), i ? 1,2,?, m (3)解似然方程,得到最大似然估计值: ? i i 1 2 n ? ?? ? ( X , X ,?, X ), i ? 1,2,?, m (4)最后得到最大似然估计量: ? i i 1 2 n

4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法,但是它需要知道总体 X 的分布形式. 四、估计量的评价标准 1.无偏性

? ?θ ?( X ,? , X ) 是未知参数 θ 的估计量, ? ?θ ?( X ,? , X ) 是 ?) ? θ ,则 θ 设θ 若 E(θ 1 n 1 n ? ?θ ?(x ,?, x ) 是 θ 的无偏估计值。 θ 的无偏估计量, θ 1 n ? ?θ ? ( X ,?, X ) 是未知参数 θ 的无偏估计 ? ?θ ? ( X ,?, X ) 和 θ 1. 有效性设 θ 1 1 1 n 2 2 1 n
量,

? ) ? D(θ ? ) ? θ ,则称 θ ? 比θ ? 有效。 若 D(θ 1 2 1 2
概率论与数理统计真题单选题 一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 1 分,共 10 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的, 请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或均无分。 1、将 3 粒黄豆随机地放入 4 个杯子,则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为( )

12

3 3 1 1 A 、 32 B 、 8 C 、 16 D 、 8
2、随机变量 X 和 Y 的

? XY ? 0, 则下列结论不正确的是(



A 、 D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) B 、 X ? a 与 Y ? b 必相互独立

C 、 X 与 Y 可能服从二维均匀分布
3、样本
2

D 、 E ( XY ) ? E ( X ) E (Y )


X 1 , X 2 ,?, X n 来自总体 X , E( X ) ? ? , D( X ) ? ? 2 , 则有(
B 、 X 是 ? 的无偏估计
D 、 X 2 是 ? 的无偏估计
2

A 、 X i (1 ? i ? n) 都是 ? 的无偏估计
2 C 、 X i (1 ? i ? n) 是 ? 2 的无偏估计

4、设

X 1 , X 2 ,?, X n 来自正态总体 N (?,? 2 ) 的样本,其中 ? 已知, ? 2 未知,则

n

下列不是统计量的是(

A 、 1?i ? n

min X i

B 、X ?? C 、

??
i ?1

Xi

D 、 X n ? X1


5、在假设检验中,检验水平 ? 的意义是(

A 、原假设 H 0 成立,经检验被拒绝的概率
B 、原假设 H 0 不成立,经检验被拒绝的概率

C 、原假设 H 0 成立,经检验不能拒绝的概率
D、原假设

H 0 不成立,经检验不能拒绝的概率
) B、 P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

6、设 A , B 为任二事件,则( A、 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) C、 P( AB) ? P( A) P( B)

D、 P( A) ? P( AB) ? P( AB)

7 、设事件 A 与 B 互为对立事件,且 P( A) ? 0, P (B )? 0,则下列命题不成立的是 ( ) B、A 与 B 相互独立 C、A 与 B 不独立 D、 A与B 互不相

A、A 与 B 不相容 容

8、匣中 4 只球,其中红,黑,白球各一只,另有一只红黑白三色球,现从中任取两只, 其中恰有一球上有红色的概率为( )A、

1 6
13

B、

1 3

C 、

1 2

D、

2 3


9、设 X ~ N (0,1) ,又常数 c 满足 P? X ? c? ? P? X ? c? ,则 c 等于( A、 0 B、 1 C、

1 2

D、 ? 1

y) ? ? 10、 设 ? X , Y ? 的联合概率密度为 f ( x ,
则 F (0.5, F ( x, y ) 为分布函数, 2) ? ? 1 1B

0 ? y ?1 ?4 xy , 0 ? x ? 1, ,若 其它 ? 0,
B、

? A、0

1 4

C、

1 16

D、

2B 3B 4C 5A 6D 7B 8D 9A 10B

1、 每张彩票中奖的概率为 0.1 , 某人购买了 20 张号码杂乱的彩票, 设中奖的张数为 X , 则 X 服从( A、 0 ? 1 )分布。 B、 二项

C、泊松

D、指数.

?0 ? 3 2、设随机变量 X 的分布函数为 F ? x ? ? ? x ?1 ?
A、

x?0 0 ? x ? 1 ,则 E( X ) ? ? x ?1
C、

?
xdx
D、

?

?? 0

x 4 dx

B、

?

1 0

3x3dx

?

1 0

x4 dx ?

?

?? 1

?

?? 0

3x3dx


D( X ) ? 3.6 ,则有( 3、设 X ~ b(n, p ) 且 E ( X ) ? 6, p ? 0.6 A、 n ? 10, n ? 12, p ? 0.5
4、由 E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) 可断定( A、 X 与 Y 相互独立 B、 X 与 Y 不独立 关 )

p ? 0.3 B、 n ? 20,

p ? 0.4 C、 n ? 15,

D、

C、 X 与 Y 不相关

D、 X 与 Y 相

5、设 X1 , X 2 , X 3 , X 4 为总体 X 的样本,则总体均值的最有效的估计量为(

)。

1 1 1 1 1 1 1 1 X 1 ? X 2 ? X 3 ? X 4 B、 X 1 ? X 2 ? X 3 ? X 4 3 6 3 6 2 3 12 12 1 1 1 7 1 1 1 1 X 4 D、 X 1 ? X 2 ? X 3 ? X 4 C、 X 1 ? X 2 ? X 3 ? 3 6 9 18 4 4 4 4 6、设随机事件 A 与 B 互不相容,且 P( A) ? P( B) ? 0 ,则( )。
A、 A.

P( A) ? 1 ? P( B)

B. P( AB) ? P( A) P( B) C. P( A ? B) ? 1 D. P( AB) ? 1 7、将两封信随机地投入四个邮筒中,则未向前面两个邮筒投信的概率为( )。
14

1 C2 2! 2! B. C. D. 2 2 4! P4 C4 8、已知随机变量 X 的概率密度为 f X ( x) ,令 Y ? ?2 X ,则 Y 的概率密度 f Y ( y) 为( )。 y 1 y 1 y f X (? ) A. 2 f X (?2 y) B. f X ( ? ) C. ? f X ( ? ) D. 2 2 2 2 2 9、设随机变量 X ~ f ( x) ,满足 f ( x) ? f (? x) , F ( x) 是 x 的分布函数,则对任意实数 a 有

22 A. 2 4



)。

A. F (?a) ? 1 ?

?

a

0

f ( x)dx

B. F ( ? a ) ?

F ( ?a ) ? 2 F ( a ) ? 1 10、设 ? ( x ) 为标准正态分布函数,

a 1 ? ? f ( x)dx 2 0

C. F (?a) ? F (a)

D.

?1, 事件 A发生; Xi ? ? i ? 1, 2, ?, 100, 且 P( A) ?0, 否则;
100

? 0.8 , X 1,X 2, ?,X 100 相互独立。令
) 。 A ?( y)

Y ? ? X i , 则 由 中 心 极 限 定 理 知 Y 的 分 布 函 数 F ( y) 近 似 于 ( B
i ?1

B. ? ( 1B

y ? 80 ) 4

C. ?(16 y ? 80)

D. ?(4 y ? 80)

2B 3C 4C 5D 6D 7A 8D 9B 10D )。

1、设 A , B 为随机事件, P( B) ? 0 , P( A | B) ? 1 ,则必有( A. P( A ? B) ? P( A) B. A ? B C. P( A) ? P( B)

D. P( AB) ? P( A)

2、某人连续向一目标射击,每次命中目标的概率为 3 4 ,他连续射击直到命中为止,则射击 次数为 3 的概率是( )。 3 2 1 1 2 3 3 3 2 1 2 A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. C( ? ? ) 4 4 4 4 4 4 4 3、设 X 1 , X 2 是来自总体 X 的一个简单随机样本,则最有效的无偏估计是( )。

1 1 X1 ? X 2 2 2 3 ? 2 D. ? ? X 1 ? X 2 5 5 4、设 ? ( x ) 为标准正态分布函数,
A.

??

?

B.

??

?

1 2 X1 ? X 2 3 3

C.

??

?

1 3 X1 ? X 2 4 4

?1, 事件 A发生; ?,X 100 相互独立。 Xi ? ? i ? 1, 2, ? , 100, 且 P( A) ? 0.1 , X 1,X 2, 0 , 否则。 ?

令Y ? A. ? ( y )

?X
i ?1

100

i

,则由中心极限定理知 Y 的分布函数 F ( y ) 近似于(

)。

B. ? (

y ? 10 ) 3

C. ?(3 y ? 10)
2

D. ?(9 y ? 10)

5、设 ( X 1 , X 2 ,?, X n ) 为总体 N ( 1, 2 ) 的一个样本, X 为样本均值,则下列结论中正确的 是( A. )。

X ?1

2/ n 1 n ( X i ? 1) 2 ~ ? 2 ( n ) ; ? 4 i ?1

~ t (n) ;

B.

1 n ? ( X i ? 1) 2 ~ F ( n , 1) ; 4 i ?1

C.

X ?1 2/ n

~ N ( 0 , 1) ;

D.

15

6、已知 A、B、C 为三个随机事件,则 A、B、C 不都发生的事件为(。 A. A BC B. ABC C. A+B+C )。 D. ABC

7、下列各函数中是随机变量分布函数的为( A. F ( x) ?

x?0 ? ?1 ? x 3 1 arctgx , ? ? ? x ? ? C. F ( x) ? e ? x ,?? ? x ? ? D. F ( x) ? ? 4 2? 8、 ( X , Y ) 是二维随机向量,与 Cov( X , Y ) ? 0 不等价的是( ) A. B. C. E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) D. X 和 Y 相互独立 9、设 ? ( x ) 为标准正态分布函数, ?1, 事件 A发生 Xi ? ? i ? 1, 2, ?, 100, 且 P( A) ? 0.2 , X 1,X 2, ?,X 100 相互独 ?0, 否则
立。令 Y ? A. ? ( y )

1 ,?? ? x ? ? 1? x2

B. F ( x) ? ? x

? ?0

x?0

?X
i ?1

100

i

,则由中心极限定理知 Y 的分布函数 F ( y ) 近似于( )。

B. ? (

y ? 20 ) 4

C. ?(16 y ? 20)

D. ?(4 y ? 20)

10、 设总体 X ~ N ( ? , 2 2 ) , 其中 ? 未知,X 1 , X 2 , ?, X n 为来自总体的样本, 样本均值为 X , 样本方差为 s , 则下列各式中不是统计量的是( )。 A. 2 X 1A 2C 3A 4D B. 5D
2

s2 ?2

C.

X ??

?
)。

D.

(n ? 1) s 2

?2

6A 7B 8D 9B 10C

1、若随机事件 A 与 B 相互独立,则 P( A ? B) =( A. P( A) ? P( B) B. P( A) ? P( B) ? P( A) P( B)
2

C. P( A) P( B)

D.

P( A) ? P(B)
2、设总体 X 的数学期望 EX=μ ,方差 DX=σ ,X1,X2,X3,X4 是来自总体 X 的简单随机样本, 则下列μ 的估计量中最有效的是( )
1 1 1 1 X1 ? X2 ? X3 ? X3 6 6 3 3 3 4 1 1 C. X1 ? X2 ? X3 ? X4 5 5 5 5 A. 1 1 1 X1 ? X2 ? X3 3 3 3 1 1 1 1 D. X1 ? X2 ? X3 ? X4 4 4 4 4 B.

1, 3 、 设 ? ( x) 为 标 准 正 态 分 布 函 数 , X i ? ? ?

事件 A发生
100

?0, 否则

i ? 1, 2, ?, 100, 且

P( A) ? 0.3 , X 1,X 2, ?,X 100 相互独立。令 Y ? ? X i ,则由中心极限定理知 Y 的分
i ?1

布函数 F ( y ) 近似于( )。

y ? 30 ) D. ?( y ? 30) 21 k ?1 4、设离散型随机变量的概率分布为 P ( X ? k ) ? , k ? 0,1,2,3 ,则 E ( X ) =( )。 10
A. ? ( y ) B. ? ( C. ? ( A. 1.8 B. 2 C. 2.2 D. 2.4 5、在假设检验中, 下列说法错误的是( )。 A. H 1 真时拒绝 H 1 称为犯第二类错误。 B. H 1 不真时接受 H 1 称为犯第一类错误。
16

y ? 30 ) 21

C. 设 P{拒绝H 0 | H 0 真} ? ? , P{接受H 0 | H 0不真} ? ? ,则 ? 变大时 ? 变小。 D. ? 、 ? 的意义同(C),当样本容量一定时, ? 变大时则 ? 变小。 6、若 A 与 B 对立事件,则下列错误的为( )。 A. P( AB) ? P( A) P( B) B. P( A ? B) ? 1 C. P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

D.

P( AB) ? 0
7、下列事件运算关系正确的是( )。 C. B ? BA ? B A D. B ? 1 ? B A. B ? BA ? BA B. B ? BA ? B A 8、设 ? ( x ) 为标准正态分布函数,
?1, 事件 A发生 Xi ? ? ?0, 否则

?,X 100 相互独 i ? 1, 2, ?, 100, 且 P( A) ? 0.4 ,X 1,X 2,

立。令 Y ? A. ? ( y )

?X
i ?1

100

i

,则由中心极限定理知 Y 的分布函数 F ( y ) 近似于( )。

y ? 40 y ? 40 ) ) C. ?( y ? 40) D. ? ( 24 24 9、若 E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ,则( )。 A. X 和 Y 相互独立 B. X 与 Y 不 相 关 C. D( XY ) ? D( X ) D(Y ) D. D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) 10、若随机向量( X , Y )服从二维正态分布,则① X , Y 一定相互独立; ② 若 ? XY ? 0 ,则 X , Y 一定相互独立;③ X 和 Y 都服从一维正态分布;④若 X , Y 相互独立,则
B. ? ( Cov (X, Y ) =0。几种说法中正确的是( )。 A. ① ② ③ ④ B. ② ③ ④ C. ① ③ ④ 1B 2D 3B 4B 5C 6A 7A 8B 9D 10B A. (1 ? p)q B. pq C. q 2、设 A,B 是两个随机事件,则下列等式中( A. P( AB) ? P( A) P( B) , 其中 A, B 相互独立 C. P( AB) ? P( A) P( B) , 其中 A, B 互不相容 3、设 ? ( x ) 为标准正态分布函数, D. ① ② ④

1、设随机事件 A、B 互不相容, P( A) ? p, P( B) ? q ,则 P( AB) =( )。 D. p )是不正确的。 B. P( AB) ? P(B) P( A B) , 其中 P( B) ? 0 D. P( AB) ? P( A)P(B A) , 其中 P( A) ? 0

?1, 事件 A发生 Xi ? ? ?0, 否则
令Y ? A. ? ( y )

?,X 100 相互独立。 i ? 1, 2, ?, 100, 且 P( A) ? 0.5 ,X 1,X 2,

?X
i ?1

100

i

,则由中心极限定理知 Y 的分布函数 F ( y ) 近似于( )。 B. ? (

y ? 50 ) 5

C. ?( y ? 50)

D. ? (

y ? 50 ) 25

4、设随机变量 X 的密度函数为 f(x),则 Y = 5 — 2X 的密度函数为( )
1 y ?5 f (? ) 2 2 1 y ?5 C. ? f (? ) 2 2 A. ? 1 y ?5 f (? ) 2 2 1 y ?5 D. f (? ) 2 2 B.

5、设 x 是一组样本观测值,则其标准差是( , x , ? , x 1 2 n A.
n 1 ( xi ? x )2 ? n ? 1 i ?1 1 n ? ( xi ? x ) n i ?1

)。 C.

B.

1 n ( xi ? x )2 ? n ? 1 i ?1

1 n ( xi ? x ) 2 ? n i ?1

D.

17

6、若 A、B 相互独立,则下列式子成立的为( )。 A. P( AB) ? P( A) P( B) B.

P( AB) ? 0

C.

P( A | B) ? P( B | A)

D.

P( A | B) ? P( B) 7、若随机事件 A , B 的概率分别为 P( A) ? 0.6 , P( B ) ? 0.5 ,则 A 与 B 一定()。
A. 相互对立 B. 相互独立 C. 互不相容
?0, 否则
100

D.相容
i ? 1, 2, ?, 100, 且

1, 8 、 设 ? ( x) 为 标 准 正 态 分 布 函 数 , X i ? ? ?

事件 A发生

P( A) ? 0.6 , X 1,X 2, ?,X 100 相互独立。令 Y ? ? X i ,则由中心极限定理知 Y 的分
i ?1

布函数 F ( y ) 近似于( )。

y ? 60 ) 24 9、设随机变量 X ~N(μ ,81),Y ~N(μ ,16),记 p1 ? P{X ? ? ? 9}, p2 ? {Y ? ? ? 4} ,则
A. ? ( y ) B. ? ( C. ?( y ? 60) D. ? ( ( )。 A. p1<p2 B. p1=p2 C. p1>p2 D. p1 与 p2 的关系无法确定 10、设随机变量 X 的密度函数为 f(x),则 Y = 7 — 5X 的密度函数为( )
1 y?7 f (? ) 5 5 1 y?7 C. ? f ( ? ) 5 5 A. ? 1 y?7 f (? ) 5 5 1 y?7 D. f (? ) 5 5 B.

y ? 60 ) 24

1C 2C 3B 4C 5B 6A 7D 8B 9B 10B 1、对任意两个事件 A 和 B , 若 P( AB) ? 0 , 则( )。 A. AB ? ? B. A B ? ? C. P( A) P( B) ? 0 D. P( A ? B) ? P( A) 2、设 A 、 B 为两个随机事件,且 0 ? P( A) ? 1 , 0 ? P( B) ? 1 , P( B | A) ? P( B | A ) , 则 必有( )。 A. P( A | B) ? P( A | B) B. P( AB) ? P( A) P( B) C. P( AB) ? P( A) P( B) D.

A 、 B 互不相容 3、设 ? ( x ) 为标准正态分布函数,
?1, 事件 A发生 Xi ? ? ?0, 否则 i ? 1, 2, ?, 100, 且 P( A)

? 0.7 ,X 1,X 2, ?,X 100 相互独
)。

立。令 Y ? A. ? ( y )

?X
i ?1

100

i

,则由中心极限定理知 Y 的分布函数 F ( y ) 近似于(

B. ? (

y ? 70 ) 21

C. ?( y ? 70)

D. ? (

y ? 70 ) 21

4、已知随机变量 X 和 Y 相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则 E( XY ) ? ( )。 A. 3 B. 6 C. 10 D. 12 5、设随机变量 X ~N(μ ,9),Y ~N(μ ,25),记 p1 ? P{X ? ? ? 3}, p2 ? {Y ? ? ? 5} ,则 ( )。 A. p1<p2 B. p1=p2 C. p1>p2 D. p1 与 p2 的关系无法确定 6、设 A1 , A2 两个随机事件相互独立,当 A1 , A2 同时发生时,必有 A 发生,则( )。

P( A1 A2 ) ? P( A) B. P( A1 A2 ) ? P( A) C. P( A1 A2 ) ? P( A) P( A1 ) P( A2 ) ? P( A) 7、 已知随机变量 X 的概率密度为 f X ( x) , 令 Y ? ?2 X ? 3 , 则 Y 的概率密度 f Y ( y) 为 ( 1 y ?3 1 y ?3 1 y?3 ) f X (? ) ) A. ? f X ( ? B. C. ? f X ( ? 2 2 2 2 2 2
A.
18

D. ) 。 D.

1 y?3 f X (? ) 2 2
8、两个独立随机变量 X , Y ,则下列不成立的是( )。 A.

EXY ? EXEY B. D( X ? Y ) ? DX ? DY

E( X ? Y ) ? EX ? EY
?1,

C.

DXY ? DXDY

D.

9 、 设 ? ( x) 为 标 准 正 态 分 布 函 数 , X i ? ?

事件 A发生
100

?0, 否则
i ?1

i ? 1, 2, ?, 100, 且

P( A) ? 0.9 , X 1,X 2, ?,X 100 相互独立。令 Y ? ? X i ,则由中心极限定理知 Y 的分
布函数 F ( y ) 近似于( )。 A. ? ( y ) B. ? (

y ? 90 ) 3

C. ?( y ? 90)
2

D. ? (

y ? 90 ) 9

10、设总体 X 的数学期望 EX=μ ,方差 DX=σ ,X1,X2,X3 是来自总体 X 的简单随机样本,则 下列μ 的估计量中最有效的是( )
1 1 1 X1 ? X2 ? X3 4 2 4 3 4 2 C. X1 ? X2 ? X3 5 5 5 A. 1 1 1 X1 ? X2 ? X3 3 3 3 1 2 1 D. X1 ? X2 ? X3 6 6 2 B.

1D

2B 3B

4A

5B 6A

7A 8C

9B

10B )

1.设 A 与 B 互为对立事件,且 P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中错误 的是( .. A.P(A)=1-P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P ( AB) =1 D.P(A∪B)=1 )

2.设 A,B 为两个随机事件,且 P(A)>0,则 P(A∪B|A)=( A.P(AB)B.P(A)C.P(B) D.1 3.下列各函数中可作为随机变量分布函数的是( )
?2 x , 0 ? x ? 1 A. F1 ( x ) ? ? ; 其他. ? 0,

B. F ( x ) ? ? ; ?x, 0 ? x ? 1 2
? ?1, x ? 1.
? 0, ? x ) ? ?2 x , ?2, ? x ? 0; 0 ? x ?1; x ? 1.

?0,

x ? 0;

C.

?? 1, ? F3 ( x ) ? ? x , ? ? 1,

x ? ?1; ; ?1? x ?1 x ? 1.

D. F
? ? ?x , f ( x ) ?? ?4 ? ? 0, ? ?

4(

4.设随机变量 X 的概率密度为

? 2 ? x ? 2; 则 P{-1<X<1}=( 其他,



1 1 3 B. C. 4 2 4 5.设二维随机变量(X,Y)的分布律为 Y -1 X
A. 0 1 0.1 0.2

D.1

0 0.3 0.1

1 0.2 0.1

, 则 P{X+Y=0}= ( )

A.0.2B.0.3C.0.5

D.0.7

19

6.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ( 7.A. )

?c , f ( x, y ) ? ? ?0,

? 1 ? x ? 1,?1 ? y ? 1; 则常数 其他 ,

c=

1 1 B. C.2 D.4 4 2 7.设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布,则下列结论中正确的是( ) A.E(X)=0.5,D(X)=0.5B.E(X)=0.5,D(X)=0.25C.E(X)=2,D(X)=4 D.E (X)=2,D(X)=2 2 8.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X~N(1,4),Y~N(0,1),令 Z=X-Y,则 E(Z )= ( ) A.1B.4C.5D.6 9.已知 D(X)=4,D(Y)=25,Cov(X,Y)=4,则ρ XY=( ) A.0.004B.0.04C.0.4 D.4
10.设总体 X 服从正态分布 N(μ ,1),x1,x2,?,xn 为来自该总体的样本, x 为样本 均值,s 为样本标准差,欲检验假设 H0∶μ =μ 0,H1∶μ ≠μ 0,则检验用的统计量是 ( ) A.
x ? ?0 s/ n

B. n ( x ? ? 0 ) C. 2D 3B 4A

x ? ?0 s / n ?1

D. n ? 1( x ? ? 0 ) 9C 10B )。

1B

5C

6A 7D 8D

1、若事件 A1 , A2 , A3 两两独立,则下列结论成立的是(

A. A1 , A2 , A3 相 互 独 立 B. A1 , A2 , A3 两 两 独 立 C. P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) D.

A1 , A2 , A3 相互独立
2、连续型随机变量 X 的密度函数 f(x)必满足条件( )。
A. C. 0 ? f ( x) ? 1 B. D. 在定义域内单调不减
x ???

?

??

??

f ( x)dx ? 1

lim f ( x) ? 1

3、设 X 1 , X 2 是任意两个互相独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为 f 1 ( x ) 和 f 2 ( x) , 分布函数分别为 F1 ( x) 和 F2 ( x) ,则( A. f1 ( x) ? f 2 ( x) 必为密度函数 )。 B. F1 ( x) ? F2 ( x) 必为分布函数

C. F1 ( x) ? F2 ( x) 必为分布函数 D. f1 ( x) ? f 2 ( x) 必为密度函数 4、设随机变量 X, Y 相互独立,且均服从[0,1]上的均匀分布,则服从均匀分布的是( )。 A.XY B. (X, Y) C.X — YD.X + Y 5、设 ? ( x ) 为标准正态分布函数,

?1, 事件 A发生 Xi ? ? ?0, 否则
n i ?1

i ? 1, 2, ?, n, 且 P( A) ? p , X1,X 2, ?,X n 相互独立。令

Y ? ? X i ,则由中心极限定理知 Y 的分布函数 F ( y ) 近似于( )。
?( y)
B. ? (

A. 6. 事件表达式 A?B 的意思是 ( (A) 事件 A 与事件 B 同时发生 (C) 事件 B 发生但事件 A 不发生

y ? np ) np(1 ? p)
)

C. ?( y ? np)

D. ?(

y ? np ) np(1 ? p)

(B) 事件 A 发生但事件 B 不发生 (D) 事件 A 与事件 B 至少有一件发生

20

7. 假设事件 A 与事件 B 互为对立,则事件 A?B( ) (A) 是不可能事件(B) 是可能事件(C) 发生的概率为 1 (D) 是必然事件 2 2 8. 已知随机变量 X,Y 相互独立,且都服从标准正态分布,则 X +Y 服从 ( ) 2 2 (A) 自由度为 1 的? 分布(B) 自由度为 2 的? 分布 (C) 自由度为 1 的 F 分布 (D) 自由度为 2 的 F 分布 9. 已知随机变量 X,Y 相互独立,X~N(2,4),Y~N(? 2,1), 则( ) (A) X+Y~P(4) (B) X+Y~U(2,4) (C) X+Y~N(0,5) (D) X+Y~N(0,3) 2 10. 样本(X1,X2,X3)取自总体 X,E(X)=?, D(X)=? , 则有( ) (A) X1+X2+X3 是?的无偏估计
2 (C) X 2 是? 的无偏估计
2

(B) X 1 ? X 2 ? X 3 是?的无偏估计
3

(D) ? X 1 ? X 2 ? X 3 ? 是?
? ? 3 ? ?

2

2

的无偏

估计 1B 2C 3B 4B 5B 6D 7A 8B 9C 10B

1.设 A 与 B 是任意两个互不相容事件,则下列结论中正确的是( ) A. P( A) ? 1 ? P( B) B. P( A ? B) ? P( B) C. P( AB) ? P( A) P( B) D. P( A ? B) ? P( A) 2.设 A,B 为两个随机事件,且 B ? A, P( B) ? 0 ,则 P( A B) ? ( A.1B. P( A) C. P( B)
?? 1, ?1, 0 ? x ? 1; A. F1 ( x) ? ? B. F ( x) ? ? x, ? 2 其他. ?0, ? ? 1,



D. P( AB) )
x ? 0; 0 ? x ? 1; x ? 1.
x ? 0; ?0, C. F ( x) ? ? x, 0 ? x ? 1; ? 3 ?1, x ? 1. ?

3.下列函数中可作为随机变量分布函数的是(

D.

?0, ? F4 ( x) ? ? x, ?2, ?

x ? 0; 0 ? x ? 1; x ? 1.

4.设离散型随机变量 X 的分布律为 则 P?? 1 ? X ? 1? ? ( )

X P

-1

0 0. 2 0 0.1

1 0. 4

2 0. 3 1 0. 1

A.0.3B.0.4C.0.6 5.设二维随机变量( X,Y)的分布律为 ( )

0. 1 D.0.7

Y X
0 1

a
D.a=0.6,b=0.2

b

且 X 与 Y 相互独立,则下列结论正确的是 A.a=0.2,b=0.6B.a=-0.1,b=0.9C.a=0.4,b=0.4

?1 , 0 ? x ? 2, 0 ? y ? 2; 则 6 . 设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y ) 的 概 率 密 度 为 f ( x, y) ? ? ?4 ? ? 0, 其他,

P{0>X<1,0<Y<1}=(

21

A.

1 4

B.

1 3 C. 2 4

D.1
1 的指数分布,则 E(X)=( 2

7.设随机变量 X 服从参数为 A.
1 1 B. C.2D.4 4 2



8.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X~N(0,9),Y~N(0,1),令 Z=X-2Y,则 D(Z) =( ) A.5B.7C.11D.13 9.设(X,Y)为二维随机变量,且 D(X)>0,D(Y)>0,则下列等式成立的是( ) A.E(XY)=E(X)·E(Y)B.Cov ( X ,Y ) ? ? XY ? D( X ) ? D(Y ) C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D.Cov(2X,2Y)=2Cov(X,Y)

10.设总体 X 服从正态分布 N( ? ,? 2 ),其中 ? 2 未知,x1,x2,?,xn 为来自该总体的样 本, x 为样本均值,S 为样本标准差,欲检验假设 H 0 : ? ? ?0 , H 1 : ? ? ?0 ,则检验统 计量为( A. n
x ? ?0

) B.
n x ? ?0 C. s

? 1D 2DA 3C 4C 5C

n ?1( x ? ?0 )
6A 7C 8D

D.

n ( x ? ?0 )

9B 10B

1.设离散随机变量 X 的概率函数为 f (k ) ? c ? A. e ;
?

?

k

k!

, k ? 0,1,2,?, ? ? 0 ,则 c 的值为( )
D. 1 ? e .
??

B. 1 ? e ;

?

C. e ;

??

2.设在[a, b]上,随机变量 X 的密度函数为 f(x)=sinx,而在[a, b]外,f(x)=0,则 区间[a,b]等于:() A. [0,

?
2

];

B. [0, ? ];

C. [ ?

?
2

,0];

D. [0,

3? ]. 2
).

3.设随机变量 X~B(2, p), 随机变量 Y~B(3, p),若 P(X≥1)=5/9, 则 P(Y≥1)=( A. 1/27; B. 19/27; C. 1/9; D.7/9 4.设 A, B 为两事件,则 P(A-B)等于 ( ) A. P(A)-P(B) B. P(A)-P(B)+P(AB) C. P(A)-P(AB) P(A)+P(B)-P(AB) 5. 以 A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件 A 为 ( )

D.

A. “甲种产品滞销,乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销” C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销” 6.若 A, B 为两随机事件,且 B ? A ,则下列式子正确的是 ( ) A. P(A∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A)C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) 7.设 P( A ? B) ? a, P( A) ? b, P( B) ? c ,则 P( AB ) 等于 ( A. )

(a ? c)c

B.

a ? c ? 1 C.

a ? b ? c D.

(1 ? b)c

22

8 X ~ B(n, p), EX ? 2.4, DX ? 1.44, 则 n, p 的值为( B ) A. 4, 0.6; B. 6, 0.4; C. 8, 0.3; D. 24, 0.1 9.随机变量 X 的数字期望为 2,方差等于 4,则 E[D(X)], D[E(X)]的值分别为( ) A. X, X; B. 2, 4; C. 4, 2; D. 4, 0. 10 两个独立的随机变量 X, Y 的方差分别为 4 和 2, 则随机变量 X-2Y 的方差等于:( ) A. 0; B. 8; C. 12; D. 无法计算. 1C 2A 3B 4C 5D 6A 7B 8B 9D 10C 第二部分 非选择题 概率论与数理统计真题填空题 二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 1 分,共 10 分) 11、 A、 B 是两个随机事件, 已知 p(A) ? 0.4, P( B) ? 0.5, p( AB) ? 0.3, 则 p(A ? B) ? 0.6 , p(A - B) ? , P( A ? B ) =, p(A B) ? 。 12、一个袋子中有大小相同的红球 6 只、黑球 4 只。(1)从中不放回地任取 2 只,则 第一次、第二次取红色球的概率为:。(2)若有放回地任取 2 只,则第一次、第 二次取红色球的概率为:。(3)若第一次取一只球观查球颜色后,追加一只与其 颜色相同的球一并放入袋中后, 再取第二只, 则第一次、 第二次取红色球的概率为: 。 13、设随机变量 X 服从 B(2,0.5)的二项分布,则 p? X ? 1

? ? 0.75, Y

服从二项分

布 B(98, 0.5), X 与 Y 相互独立, 则 X+Y 服从,E(X+Y)=,方差 D(X+Y)= 。 14、甲、乙两个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂的次品率分别为 0.1、0.15.现从 由甲厂、乙厂的产品分别占 60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 (1) 抽到次品的概率为: 。 (2) 若发现该件是次品, 则该次品为甲厂生产的概率为: . 15 、 设 二 维 随 机 向 量 ( X , Y ) 的 分 布 律 如 右 , 则 a ?

X Y
-1 1

0 0.2 0.4

1 0.3

E ( X ) ? , X与Y 的协方差为: -,
Z ? X ?Y 的 分 布
2

a

z
概率

1 0.6

2 0.4

律为:

16、 若随机变量 X ~ N (2, 4) 且 ?(1) ? 0.8413,?(2) ? 0.9772,则 P{?2 ? X ? 4} ? , 17、随机变量 X、Y 的数学期望 E(X)= -1,E(Y)=2, 方差 D(X)=1,D(Y)=2, 且 X、Y 相 互独立,则: E (2 X ? Y ) ? - 4 , D(2 X ? Y ) ? 6 。

(X ? Y) ? (X) ? 25 , D (Y) ? 1, Cov( X , Y ) ? 2 ,则 D 18、设 D
19、设 X 1 ,?, X 26 是总体 N (8,16) 的容量为 26 的样本, X 为样本均值, S 为样本方
2

23

差。则: X ~ N(8, ),

25 2 X ?8 S ~ ? 2 (25) , ~ t (25) 。 16 s / 25

20、假设检验时,易犯两类错误,第一类错误是:”弃真” ,即 H0 为真时拒绝 H0, 第 二类错误是:“取伪”错误。一般情况下,要减少一类错误的概率,必然增大另一类错 误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制,使之<a, 而不考虑犯第二类错误 的概率,这种检验称为:检验。 11( 0.1,0.4,0.6 ) 12(1/3 ,9/25 ,21/55 ) 13 B((100,0.5) ,50 , 25)14( 0.12 ,0.5) 15(0.1,0.4, 0.2 ) 16( 5 , 16 ) 17 (0.815 ) 18(30 ) 19 ( 8/13 ) 20 显著性 11. 设随机试验 E 对应的样本空间为 S。 与其任何事件不相容的事件为 不可能事件, 而与其任何事件相互独立的事件为 必然事件;设 E 为等可能型试验,且 S 包含 10 个 样本点,则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为。 12. P( A) ? 0.4, P( B) ? 0.3 。若 A 与 B 独立,则 P( A ? B) ? ;若已知 A, B 中至少有 一个事件发生的概率为 0 .6 ,则 P( A ? B) ? , P( A B) ? 。 13、一个袋子中有大小相同的红球 5 只黑球 3 只,从中不放回地任取 2 只,则取到球颜 色不同的概率为:。若有放回地回地任取 2 只,则取到球颜色不同的概率为:。 14、 E ( X ) ? D( X ) ? 1。若 X 服从泊松分布,则 P{ X ? 0} ? ;若 X 服从均匀分布, 则 P{ X ? 0} ? 。
2 15 、设 X ~ N ( ? , ? ) , 且 P{X ? 2} ? P{X ? 2}, P{2 ? X ? 4} ? 0.3 ,则 ? ? ;

P{ X ? 0} ? 。
16、某体育彩票设有两个等级的奖励,一等奖为 4 元,二等奖 2 元,假设中一、二等奖 的概率分别为 0.3 和 0.5, 且每张彩票卖 2 元。是否买此彩票的明智选择为:(买, 不买或无所谓)。 17、若随机变量 X ~ U (1,5) ,则 p? 〈 0 X〈4? ? ; E (2 X ? 1) ? ___, D(3 X ? 1) ? . 18 、 设 X ~ b(n, p), E ( X ) ? 2.4, D( X ) ? 1.44 , 则 P{ X ? n} ? , 并 简 化 计 算

?k
k ?0

6

2

? 6 ? k 6? k ? ?k ? ?0.4 0.6 ? 。 ? ?

19、随机变量 X、Y 的数学期望 E(X)= -1,E(Y)=2, 方差 D(X)=1,D(Y)=2, 且 X、Y 相 互独立,则: E (2 X ? Y ) ? , D(2 X ? Y ) ? 。 20、设 X 1 ,?, X 16 是总体 N (20,4) 的容量为 16 的样本, X 为样本均值, S 为样本方 差。
2

24

则: X ~ N(20, ), p X ? 20 ? 1 =, 中 ?(2) ? 0.9772。 11(1/10) 12( 28 , 0.3,1/3 ) 15( 2,0.8 ) 16( 买 )

?

?

X ? 20 15 2 S ~ ? 2 (15) , ~ )。此题 16 s / 15

13( 15/28,15/32

)

14( 0 )

17( 0.75 ,7,12 )

18 (

0.4 3 ,

6 ? 0.4 ? 0.6 ? (6 ? 0.4) 2 ? 7.2 )
19( -4 ,6 ) 20( 1/4,0.0556 , t(15 )

11 、 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 f ( x) ? ?

??e ? ?x , ?0,

x?0 ,则称 X 服从指数分布, x?0

E( X ) ? 。
12、做假设检验时,容易犯两类错误,第一类错误是:”弃真” ,即 H0 为真时拒绝 H0, 第二类错误是:错误。一般情况下,要减少一类错误的概率,必然另一类错误的概 率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制,使之《a, 而不考虑犯第二类错误的 概率,这种检验称为显著性检验,a 称为。 13、设二维随机向量 ( X , Y ) 的分布律是:

X Y
0 1

0 0.4 0.3

1 0.3 0

则 X 的方差 D( X ) ? ;

X与Y 的相关系数为: ? XY ? 。
14、A、B 是两个随机事件,已知 p(A) ? 0.5, p(B) ? 0.3,则 a) 若 A, B 互斥,则 p(A - B) ? ; b) 若 A, B 独立,则 p(A ? B) ? ; c) 若 p( A ? B) ? 0.2 ,则 p(A B) ? . 15、袋子中有大小相同的红球 7 只,黑球 3 只, (1)从中不放回地任取 2 只,则第一、二次取到球颜色不同的概率为:。 (2)若有放回地任取 2 只,则第一、二次取到球颜色不同的概率为:。 (3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球 , 则第一、二次取到球颜色不同的概率为: . 16、设随机变量 X 服从泊松分布 ? (? ), p{ X ? 7} ? P{ X ? 8} ,则 E? X

?? .

17、设随机变量 X 服从 B(2,0. 8)的二项分布,则 p?X ? 2? ? , Y 服从 B(8,0. 8)
25

的二项分布, 且 X 与 Y 相互独立,则 P{ X ? Y ? 1} =, E ( X ? Y ) ? 。 18 设某学校外语统考学生成绩 X 服从正态分布 N(75,25),则该学校学生的及格率

} 为。 为,成绩超过 85 分的学生占比 P{X ? 85
其中标准正态分布函数值 ?(1) ? 0.8413 , ?(2) ? 0.9772 , ?(3) ? 0.9987. 19、设二维随机向量 ( X , Y ) 的分布律是有 则 a ? , X 的 数 学 期 望 E ( X ) ? _________ , 相关系数 ? xy ? ______。 20、 设 X 1 ,..., X 16 及 Y1 ,...,Y8 分别是总体 N (8,16)

X Y
-1 1

0 0.3 0.3

1

X与Y 的
0.3

a
的容量 为

2 16,8 的两个独立样本, X , Y 分别为样本均值, S12 , S 2 分别为样本方差。

则: X ~ , X ? Y ~ , p X ? Y ? 2 1.5 =,

?

?

15 2 S1 ~ 16

? 2 (15)



S12 ~ 2 S2

F(15,7)









?(1) ? 0.8413 , ?(2) ? 0.9772 , ?(3) ? 0.9987
11 (

1

?

) 12( 取伪,增加,显著水平 ) 13( 0.21 ,3/7 ) 14( 0.5,0.65,3/7 )

15( 7/15 ,21/50 , 21/55 ) 16(8) 17(0.64,1-0.210,8) 18( 0.9987 ,0.0228 ) 19(_0.1,0.4,-0.25 ) 20(N(8,1) ,N(0,1.5),0.0456 ) 11.设事件 A,B 相互独立,且 P(A)=0.2,P(B)=0.4,则 P(A∪B)=___________。 12.从 0, 1, 2, 3, 4 五个数中任意取三个数, 则这三个数中不含 0 的概率为___________。

1 1 13.设 P(A)= ,P(A∪B)= ,且 A 与 B 互不相容,则 P( B )=___________。 2 3 1 2 14.一批产品, 由甲厂生产的占 , 其次品率为 5%, 由乙厂生产的占 , 其次品率为 10%, 3 3 从这批产品中随机取一件,恰好取到次品的概率为___________。 2 15.设随机变量 X~N(2,2 ),则 P{0<X≤4}=___________。(附:Φ (1)=0.8413)
16.设连续型随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) ? ?1 ? e ?3 x ,
? ? 0, x ? 0; x ? 0,

10、在假设检验中,容易犯两类错误,第一类错误是指: 则当 x >0 时,X 的概率密度 f(x)=___________。 18. 设 ( X , Y ) 的 概 率 密 度 为 ?1
? xy , f ( x, y ) ? ? 4 ? ? 0,

则 P{X ≤ 1 , Y ≤

0 ? x ? 2 ,0 ? y ? 2; 其他 ,

1}=___________。
26

1 2 ),则 E(X +1)=___________。 2 20.设 E(X)=2,E(Y)=3,E(XY)=7,则 Cov(2X,Y)=___________。 11( 0.52 ) 12( 0.4 ) 13( 5/6) 14( 1/ 12 ) 15( 0.6826) 16( 3e-3x ) 17( H0 成立的条件下拒绝 H0 的错误 ,也称为弃真错误。 ) 18(1 / 16 ) 19( 6) 20( 2 )
19.设 X~B(4, 11、已知 P(A)=P(B)=P(C)= 0.25 ,P(AC)=0,P(AB)=P(BC)= 0.15 ,则 A、B、C 中至少有 一个发生的概率为 12、A、B 互斥且 A=B,则 P(A)= 。 。 。

13、设 A、B 为二事件,P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A∣ B )=0.6,则 P(A∪B)= 14 、设 X 、 Y 相互独立, X ~ U (0,3) ,Y 的概率密度为
E (2 X ? 5Y ? 3) ?
?1 x ? ?1 e 4 , x ? 0 f ( x) ? ? 4 ? , 其它 ?0

,则

, D(2 X ? 3Y ? 4) ?



15、设某试验成功的概率为 0.5,现独立地进行该试验 3 次,则至少有一次成功的 概率为 16、已知 E ( X ) ? 3 , D( X ) ? 2,由切比雪夫不等式估计概率

P( X ? 3 ? 4) ?

。 ( ?(1) ? 0.84) 。

X ? 20 ? 4) 17、设 X ? B(100, 0.2) ,则概率 P ( ≈
?0, ? F ( x) ? ? 1 1? 2 , ? ? x 18.设 X 的分布函数 x ?1 x ?1

,则 E ( X ) ?

2 ??2 , 19. 已 知 随 机 变 量 X ~ N (? , ? ) 且 P( X ? 2) ? 0.5, P( X ? 5) ? ?(?1) ,

?

2

D( X ) ? [ E ? 。20、设随机变量 X 服从[0,2]上均匀分布,则 ( X )]2 。

11( 0.45 ) 12( 0 )13(0.88 )14( -14 ,147 )15( 0.875 )16( 0.125 )17( 0.68 )18( 2 )19( 9 )20(1/3 ) 概率论与数理统计真题判断题 三判断题(本大题共 5 小题,每题 2 分,共 10 分) 21. 概率函数与密度函数是同一个概念。( ) 22.当 N 充分大时,超几何分布 H (n, M, N)可近似成泊松分布。( ) 23.设 X 是随机变量,有 P(a ? X ? b) ? P(a ? X ? b) 。( )

27

24.若 X 的密度函数为 f ( x ) = cos x, x ? [0, 25 事件的对立与互不相容是等价的。() 21X 22X 23X 24.X 25X

?
2

] ,则 P(0 ? X ? ? ) ? ? cos tdt. ( )
0

?

21.若 P( A) ? 0, 则 A ? ? 。 ()22 若P( A) ? 0.1, P( B) ? 0.5, 则P( AB) ? 0.05 。 () 23.A,B,C 三个事 ABC ? ABC ? ABC 件恰有一个发生可表示为。() 24 n 个事件若满足 ?i, j, P( Ai Aj ) ? P( Ai ) P( Aj ) ,则 n 个事件相互独立。() 25 当 A ? B 时,有 P(B-A)=P(B)-P(A)。() 21X 22X 23∨ 24.X 25∨ 21.只要是随机变量,都能计算期望和方差。( ) 22.期望反映的是随机变量取值的中心位置,方差反映的是随机变量取值的分散程度。 () 23.方差越小,随机变量取值越分散,方差越大越集中。( ) 24.方差的实质是随机变量函数的期望。() 25.对于任意的 X,Y,都有 D( X ? Y ) ? DX ? DY 成立。( ) 21X 22∨ 23X 24.∨ 25X

21.若 X ~ N (0, 1), Y ~ N (2, 1), 则 X ? Y ~ N (?2, 2). ( ) 22.若 X ~ N (?, ? ), 则 P (
2

X ??

?

? 0) ?

1 . ( ) 2

23 若 ( X 1 , X 2 ,?, X n ) 是来自总体 X 的样本,则 X 1 , X 2 ,?, X n 相互独立. ( ) 24 不含总体 X 的任何未知参数的样本函数 g ( X 1 , X 2 ,?, X n ) 就是统计量. ( ) 25 样本矩与总体矩是等价的。( ) 21X 22∨ 23∨ 24.∨ 25X 21 矩估计法的基本思想是用总体矩代替样本矩,故矩估计量不唯一.( ) 22 设总体 X ~ N (?, ? 2 ),其中?,? 2 未知 , 则估计量 ? ? 分别是 ?,? 的无偏估计量 .(
2

?2 ? ? X,?

1 n ? (X i ? X )2 n i ?1

)23 事件的对立与互不相容是等价的。() 24. 若

P( A) ? 0, 则 A ? ? 。()
25. 若P( A) ? 0.1, P( B) ? 0.5, 则P( AB) ? 0.05 。 () 21X 22X 23X 24.X25X

概率论与数理统计真题计算题 四.计算题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分) 31. 口袋中有 7 个白球,3 个黑球. (1) 每次从中任取一个不放回,求首次取出白球的取球次数 X 的概率分布; (2) 如果取出的是黑球则不放回,而另外放入一个白球,求此时 X 的概率分布.故 X 的

28

概率分布为 32. 设 X 的概率分布是 P ( X ? ?1) ?

1 1 , P( X ? 1) ? , 求它的分布函数。 2 2 7 , 10

31 解:X 的首次取到白球的取球次数,则 X 的可能取值为 1, 2, 3, 4,记 Ai 为“第 i 次取出的球为黑球”i=1,2,?,10.(1)由乘法公式得 P( X ? 1) ? P( A1 ) ?

P( X ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 | A1 ) ?

3 7 7 ? ? , 10 9 30

P ( X ? 3) ? P ( A 1 A2 A 3 ) ? P( A 1 ) P ( A2 | A 1 ) P( A 3 | A 1 A2 ) ? 3 2 7 7 ? ? ? , 10 9 8 120

P( X ? 4) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A4 | A1 A2 A3 ) ? 3 2 1 7 1 ? ? ? ? , 10 9 8 7 120

故 X 的概率分布为 X P 1 7/10 2 3 4 1/120

7/30 7/120

(2) 如果取出黑球不放回,而另外放入一个白球,则由乘法公式得:

P ( X ? 1) ? P ( A1 ) ?

7 3 8 6 , ? ? , 10 P ( X ? 2) ? P ( A1 A2 ) ?

10 10

25

P ( X ? 3) ? P ( A1 A2 A3 ) ?

3 2 9 27 ? ? ? , 10 10 10 500

P ( X ? 4) ? P ( A1 A2 A3 A4 ) ?
32 解:当 1 X P 7/10 2

3 2 1 10 3 ? ? ? ? , 10 10 10 10 500
3 27/500 4 3/500

x ? ?1 时 ,

6/25

1 F ( x) ? P( X ? x) ? 0; 当 ? 1 ? x ? 1 时, F ( x) ? P( X ? x) ? P( X ? ?1) ? ; 2 1 1 当 x ? 1 时, F ( x) ? P( X ? x) ? P( X ? ?1) ? P( X ? 1) ? ? ? 1; 2 2

x ? ?1 ; ? 0, ?1 F ( x) ? ? , ? 1 ? x ? 1 ; ?2 x ? 1. ? 1,

Ax (1 ? x ) 3 , 0 ? x ? 1; 31. 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ? ? ? ? 0, 其他

29

求常数 A;(2) 求 X 的分布函数;(3) 求 P(X>1) 32

已知P( A) ? 0.5, P( A ? B) ? 0.8, 在下列情况下 (1) A, B不相容; (2) A, B相互独立 ;
(3) A ? B. 求P( B).
31 解: (1)由概率密度的性质得

?

??

??

f ( x)dx ? ? Ax(1 ? x) 3 dx ? 1
0 1 1 0 0

1

?
故 A=20.

1

0

Ax(1 ? x)3 dx ? ? A? (1 ? x) 4 dx ? A? (1 ? x)3 dx ? ?

A A A ? ? , 5 4 20

(2)当 x<0 时, F ( x) ? P( X ? x) ? 当 0≤x<1 时, F ( x) ? P( X ? x) ? 当 x≥1 时,

? 0dx ? 0
??

x

? 0dx ? ?
?? 1 0

0

x

0

20t (1 ? t )3 dt ? 1 ? (1 ? 4 x)(1 ? x) 4

F ( x) ? P( X ? x) ? ? 20x(1 ? x)3dx ? 1 所 以 X 的 分 布 函 数 为

x ? 0; ?0, ? F ( x ) ? ? 1 ? (1 ? 4 x )( 1 ? x ) 4 , 0 ? x ? 1; ?1, x ? 1. ?

(3) P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 1) ? 1 ? F (1) ? 1 ?1 ? 0.
32解:(1) 因为A,B不相容,有 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 所以 P( B) ? P( A ? B) ? P( A) ? 0.8 ? 0.5 ? 0.3

(2) 因为 A,B 独立,所以

P( B) ? P( A ? B) ? P( A) ? P( A) P( B) ? 0.8 ? 0.5 ? 0.5 ? P( B)

? P( B) ? 0.6.

(3) 因为 A ? B, 所以 A ? B ? B , P( B) ? P( A ? B) ? 0.8
31 已知 P( A) ? 0.1, P( B) ? 0.4, 且 P( A | B) ? 0.2, 求 P( A ? B) 的值. 32. 设有来自三个地区的各 10 名,15 名和 25 名考生的报名表, 其中女生的报名表分别 为 3 份,7 份和 5 份随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份. 求先抽到的一份是女生表的概率 p。 31 解:由概率乘法公式得 P( AB) ? P( B) P( A | B) ? 0.4 ? 0.2 ? 0.08,
? P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? P ( AB ) ? 0.1 ? 0.4 ? 0.08 ? 0.42

32 解: 设 Ai 表示“第 i 次取出的报名表是女生表”, i=1,2 B j 表示“报名表是取自第 j 区的考生”, 根 据

j=1,2,3.
题 意
30



P( B1 ) ? P( B2 ) ? P( B3 ) ? 1 3

P( A1 | B1 ) ? 3 10, P( A1 | B2 ) ? 7 15, P( A1 | B3 ) ? 5 25.
3 1 3 7 5 29 p ? P( A1 ) ? ? P( A1 ) P( A1 | B j ) ? ( ? ? ) ? 3 10 15 25 90 i ?1

31、已知离散型随机变量的分布律为求: X 的分布函数,(2) 32、已知连续型随机变量 X 的分布函数为 常数 A 和 B ,(2) 31 答;
?0 ? P?X ? 1? ? 0.2 ? F ( x) ? ? ? P?X ? 1? ? P?X ? 2? ? 0.5 ? ? p?X ? 1? ? P?X ? 2? ? P?X ? 3? ? 1 x ?1 1? x ? 2 2? x?3 x?3

D( X ) 。

F ( x) ? A ? B a r c t axn , x ? (??, ?) ,求(1)

p(?1 ? X ? 1) ,(3)概率密度 f ( x) 。

D( X ) ? E( X 2 ) ? E 2 ( X ) ? 3.6
lim F ( x) ? 0, lim F ( X ) ? 1.
x ??

32 解(1)因为 x ???

所以

x ? ??

lim ( A ? B arctan x) ? A ?

?
2

B ? 0, lim( A ? B ar ct an x) ? A ?
x ??

?
2

B ? 1.

A?
解 得

1 2

B?

1

?



2



1 1 1 1 1 p(?1 ? X ? 1) ? F (1) ? F (?1) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2 4 2 4 2

f ( x) ? F ?( x) ?
(3)

1 , ? ? ? x ? ?? ? (1 ? x 2 )

X , X , X 3 相互独立,其中 X 1 ~ U[0,6], X 2 服从 31、设随机变量 1 2 X 3 ~ ? (3) ,计算 D( X 1 ? 2 X 2 ? 3X 3 ) 。
32、设

??

1 2 的指数分布,

X 1 , X 2 ? X n 是总体 X 的样本,求 X 的数学期望 ? 和方差 ? 2 的矩估计量。 X 1 , X 2 , X 3 相互独立,所以随机变量 X 1 ,?2 X 2 ,3 X 3 也相互独立。

31 解:因为随机变量

D( X 1 ? 2 X 2 ? 3X 3 ) ? D( X 1 ) ? 4D( X 2 ) ? 9D( X 3 ) 又 由 于 X 1 ~ U [0,6] , 所 以

31

D( X 1 ) ?

1 (6 ? 0) 2 ?? X 2 的指数分布,所以 D( X 2 ) ? 4 12 由于 2 服从

( 6 ? 0) 2 X 3 ~ ? (3) , 所 以 D( X 3 ) ? 3 D( X 1 ? 2 X 2 ? 3X 3 ) = 12 由 于
4 ? 4 ? 9 ? 3 ? 46
1 n ? ?? ? n ? X i ? i ?1 ? 1 2 ?? 2 ? ? 2 ? ? n ?

+

2 2 2 32 解: E( X ) ? ?, E( X ) ? D( X ) ? [ E( X )] ? ? ? ?

?X
i ?1

n

2 i

?? ?
解得:

1 n 1 n n ?1 2 2 ? X ? X , ? ? ( X i ? X )2 ? S ? ? i n i ?1 n i ?1 n
N (0,1) 分布,求随机变量 Y ? e X 的概率密度函数。

31、设随机变量 X 服从

32 假设一批产品中一、二、三等品各占 60%、30%、10%,从中随机取出一件,结果不是 三等品,求取到的产品是一等品的概率。
y ? 0, FY ( y ) ? P? Y ? y? ? 0, f Y ( y ) ? 0

f X ( x) ?
31 解

1 2?

e

?

x2 2

y ? 0, FY ( y ) ? P? Y ? y? ? P e X ? y ? P?X ? Lny? ?

?

?

?

Lny

1 2?

??

e

?

1 ( Lny ) 2 2

.

1 y

所以

1 ? ( Lny ) 2 ? 1 e 2 ? f Y ( y) ? ? 2? ?0 ?

y ? 0 y ? 0

32 解:设 Ai :表示取到第 i 等品( i ? 1, 2,3 )

A1 ? A3 ,于是 A1 A3 ? A1

P ( A1 / A3 ) ?

P ( A1 A3 ) P ( A1 ) 60% 2 ? ? ? P ( A3 ) P ( A3 ) 1 ? 10% 3

P(B) (2)、 P( A B ) . 31 已知 P( A) ? 0.9, P( A ? B) ? 0.4 ,A 与 B 相互独立。求: (1) 、
32 设 随 机 变 量

X~N

2

(

, 1

0

,

P? X ? d? ? 0.0668, ?(1) ? 0.8413, ?(1.5) ? 0.9332 ,求 d .
31 解:事件 A 与 B 相互独立,则 P( AB) ? P( A) P( B) ,

P( A ? B) ? P( A) ? P( AB) ? P( A) ? P( A) P( B) ? 0.9 ? 0.9P( B) ? 0.4

32

于是

P( B) ?

5 9

P( A B ) ?

P( AB) P( A ? B) 0.4 9 ? ? ? 5 10 P(B) P(B) 1? 9

32 解: P ? X ? d ? ? P ?

d ?10 ? X ? 10 d ? 10 ? ? ) ? 0.0668 ? 1 ? 0.9332 ? ? ?( 2 ? 2 ? 2

于是 ? (

10-d 10-d ) ? 0.9332 ,则 ? 1.5 ,这样 d ? 7 2 2

0 ? x ? 1, ?x , ? 31 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ? ?2 ? x , 1 ? x ? 2, ,求(1) X 的分布 ?0 , 其他. ?
函数 F ( x ) ; 机 变 量 32 P ?

3? ?1 ? X ? ? 32、设随机变量 X 在 (0,1) 内服从均匀分布,求随 2? ?2
的 概 率 密 度 31 解 :

Y ? ?2 X ? 3

F ( x) ?

?

x

??

? x 0dt ? 0, x?0 ? ??? 2 ? x x ? ? tdt ? , 0 ? x ?1 ? 0 2 f (t )dt ? ? 1 x x2 ? tdt ? ?1 (2 ? t )dt ? 2 x ? 2 ? 1,1 ? x ? 2 ? ?0 ? 2 x?2 ? ? f (t )dt ? 1, ? 0
x ? ? x 0? 1? x ? 2 x ? 2 0 1

, ?0 ? 2 ?x , ? F ( x) ? ? 2 2 ?2 x ? x ?1 , ? 2 ? 1 , ?



1 3 1 3 3 1 3 1 3 1 1 3 P{ ? X ? } ? P{ ? X ? } ? F ( ) ? F ( ) ? [2 ? ? ( ) 2 ? 2] ? ( ) 2 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

32、解: X 在 (0, 2) 内服从均匀分布,于是 f X ( x) ? ?

?1 0 ? x ? 1 , 其它 ?0
y ?3 1 x? ? ? , 所 以 2 2

由 Y ? ?2 X ? 3 有 y ? ?2 x ? 3 , 则 x ? ?
?1 ? fY ( y ) ? ? 2 ? ?0 1? y ? 3 其它

31.设 对 于 事 件







, ,求 、 至少出现一个的概率。 32.设有 10 件产品,其中有 3 件次品,从中任意抽取 5 件,问其中恰有 2 件次品的 概率是多少?31 解:由于 又由概率定义知 ,所以
33

从而由性质 4 知,



,从而由概率的加法公式得

32 解:设

表示:“任意抽取的 5 件中恰有 2 件次品”。则 种,即

。5 件产品中 。于是所求概率

恰有 2 件次品的取法共有 为

/ 31.一批产品共有 10 个正品 2 个次品,从中任取两次,每次取一个(有放回)。

求: (1)第二次取出的是次品的概率;(2)两次都取到正品的概率; (3)第一次取到正品,第二次取到次品的概率。 32.一批产品共有 10 个正品 2 个次品,从中任取两次,每次取一个(不放回)。求: (1)至少取到一个正品的概率;(2)第二次取到次品的概率;(3)恰有一次取 到次品的概率。 31 解:设 表示:“第 次取出的是正品”( =1,2),则

(1)第二次取到次品的概率为 (2)两次都取到正品的概率为 (3)第一次取到正品,第二次取到次品的概率为 32 解:设 表示:“第 次取出的是正品”( =1,2),则

(1)至少取到一个正品的概率

( 2 ) 第 二 次 取 到 次 品 的 概 率 为

( 3 ) 恰 有 一 次 取 到 次 品 的 概 率 为

31.一批产品共有 10 件正品 2 件次品,从中任取两件,求: (1)两件都是正品的概率;(2)恰有一件次品的概率;(3)至少取到一件次品 的概率。 32.一工人照看三台机床,在一小时内,甲机床需要照看的概率是 0.6,乙机床和丙 机床需要照看的概率分别是 0.5 和 0.8。求在一小时中, (1)没有一台机床需要照看(2)至少有一台机床不需要照看的概率。

34

31 解:设 件次品”;

表示:“取出的两件都是正品是正品”;

表示:“取出的两件恰有一

表示:“取出的两件至少取到一件次品”;则(1)两件都是正品的概率

(2)恰有一件次品的概率 ( 3 ) 至 少 取 到 一 件 次 品 的 概 率

32 解:设 要照看“;

表示:“没有一台机床需要照看”;

表示:“至少有一台机床不需 ;

表示:“第 台机床需要照看”( =1 , 2 , 3 )。则 。

31.在某城市中发行三种报纸 的有 30%, 订阅

、 及

, 经调查, 订阅

报的有 50%, 订阅 及



报的有 20%, 同时订阅

报的有 10%, 同时订阅

报的有 8%,

同时订阅 及 报的有 5%,同时订阅 、 报的有 3%,试求下列事件的概率: 32.一盒子中黑球、红球、白球各占 50%、30%、20%,从中任取一球,结果不是红 球,求:(1)取到的是白球的概率;(2)取到的是黑球的概率。 32. (1)只订阅 31 解:( 1 ) 及 报;(2)恰好订阅两种报纸。



2



32 解:设 (1)化为求 相容,所以, (1)

分别表示:“取到的是黑球、红球、白球”( =1,2,3),则问题 ;问题(2)化为求 。由题意 。因此由条件概率公式得 两两互不

(2)

31.已知工厂 生产产品的次品率分别为 1%和 2%, 现从由 的产品分别 占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件,求:(3) 该产品是次品的概率; (4) 若取到的是次品,那么该产品是
35

工厂的概率 。

32.有两个口袋,甲袋中盛有 4 个白球,2 个黑球;乙袋中盛有 2 个白球,4 个黑 球。 由甲袋任取一球放入乙袋, 再从乙袋中取出一球, 求从乙袋中取出的是白球的概率。 31 解:设 表示“取到的产品是次品”; 工厂的”。则 “取到的产品是 工厂的”; 取到的产

“取到的产品是 品是次品的概率为

(1)

(2)若取到的是次品,那么该产品是

工厂的概率为

32 解:设 球”; 则

表示:“由甲袋取出的球是白球”;

表示:“由甲袋取出的球是黑

表 示 : “ 从 乙 袋 取 出 的 球 是 白 球 ” 。

31.设有一箱同类产品是由三家工厂生产的,其中 1/2 是第一家工厂生产的,其余 两家各生产 1/4,又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有 2%、4%、5%的次品,现从 箱中任取一件产品,求: (1)取到的是次品的概率;(2)若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概 率。 32 三家工厂生产同一批产品,各工厂的产量分别占总产量的 40%、25%、35%,其 产品的不合格率依次为 0.05、0.04、和 0.02。现从出厂的产品中任取一件,求: (1)恰好取到不合格品的概率;(2)若已知取到的是不合格品,它是第二家工厂 生产的概率。 31 解:设事件 工厂生产的” ( 两两互不相容, (1) 表示:“取到的产品是次品”;事件 )。 则 由全概率公式得 表示:“取到的产品是第 家 ,且 ,

(2)由贝叶斯公式得 32 解:设事件 表示:“取到的产品是不合格品”;事件 表示:“取到的产

品是第 家工厂生产的” ( 两两互不相容,由全概率公式得

) 。



, 且



36

(1)



2

















=

31.有朋友远方来访,他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为 3/10、1/5、1/ 10、2/5,而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为 1/4、1/3、1/12、1/8。求: ( 1 ) 此人来迟的概率( 2 ) 若已知来迟了,此人乘火车来的概率。 32.有两箱同类零件,第一箱 50 只,其中一等品 10 只,第二箱 30 只,其中一等 品 18 只,今从两箱中任选一箱,然后从该箱中任取零件两次,每次取一只(有放回), 试求:(1)第一次取到的是一等品的概率;(2)两次都取到一等品的概率。 31 解:设事件 车、飞机来”( 两互不相容 ( 得 表示:“此人来迟了”;事件 ,4)。则 1 ) 由 分别表示:“此人乘火车、轮船、汽 ,且 全 概 , 率 公 两 式

(2)由贝叶斯公式得 32 解:设

= ; ( 1 ) 表示:“第 次取到的

表示:“取到第 箱零件” ; 则

是 一 等 品 ”

(2)

31.设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成,它们分别以 0.03、0. 04、0.06 的概率被损坏而发生断路,求电路发生断路的概率。 32.甲、乙两人各自同时向敌机射击,已知甲击中敌机的概率为 0.8,乙击中敌机 的概率为 0.5,求下列事件的概率:( 1 ) 敌机被击中;(2)甲击中乙击不中;(3) 乙击中甲击不中。 31 解:设 表示:“第 个电子元件被损坏”( =1,2,3),则有 ; 。依题意所求概率为 ;

37

32 解:设事件

表示:“甲击中敌机”;事件 (1)

表示:“乙击中敌机”;事件

表示: “敌机被击中” 。 则

(2) (3) 31.已知 32.设 3 1 , , 解 , : , ,求 由 ,求 。 于 。



3

2









, , 而 , ,

。 31.设事件 (2) 32.设 (1) 31 解:由 即 解 得 、 为随机事件,且 。 , , ,求: 、 相互独立, 已知 , 。 求: (1) ;

;(2)

38





3 2

解 : ( 1 )

( 2 )

31、从一批由 1100 件正品,400 件次品组成的产品中任取 200 件。 (1) 求恰有 90 件次品的概率(2) 求至少有两件次品的概率。 32、在房间里有 10 个人,分别佩带从 1 号到 10 号的纪念章,任选 3 人记录其纪念章的 号码。 (1) 求最小号码为 5 的概率。(2)求号码全为偶数的概率。 31 答:(1)
90 110 200 1 199 C400 C1100 C1100 ? C400 C1100 , ( 2 ) 1 ? 200 200 C1500 C1500

C52 1 32 答:(1)最小号码为 5,即从 6、7、8、9、10 里选两个,所求概率为 3 = C10 12
(2)号码全为偶数,即从 2,4,6,8,10 里选三个,所求概率为
3 1 C5 = 3 C10 12

31、从 5 双不同的鞋中任取 4 只,求这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率。 32、将 3 个球随机的放入 4 个杯子中,求杯子中球的最大个数分别为 1,2,3 的概率。 4 4 1 2 2 C4 2 2 ? C5 31 解:从 5 双鞋中取 4 只,至少配成一双的概率为: C5 或 1 ? C5 2 或 4 4 C10 C10
1 2 2 C5 C8 ? C5 4 C10

32 解 : 杯 中 最 多 有 一 个 球 时 , 概 率 为
1 1 C32C4 C3 9 ? ; 3 4 16

3 A4 6 ? ;杯中最多有两个球时,概率为 3 4 16

杯中最多有三个球时,概率为

3 1 C3 C4 1 ? ; 3 4 16

31、某货运码头仅能容一船卸货,而甲乙两船在码头卸货时间分别为 1 小时和 2 小时。 设甲乙两船在 24 小时内随时间可能到达,求它们中任何一船都不需等待码头空出的概 率。 32、从区间(0,1)内任取两数,求这两个数的积小于 1/4 的概率。 31 解: 设 X、Y 分别为甲乙两船到达的时刻而甲到乙未到应满足 Y ? X ? 1 而乙到甲未 到应满足 X ? Y ? 2 所以它们中任何一船都不需等待码头空出的概率为

39

1 1 24 ? 24 ? ? 22 ? 22 ? ? 23? 23 2 2 =0.8793 P? 24 ? 24 1 3 ? 3 1 1? ? ? ? 32 解: 设从区间 (0, 1) 所取两数为 X、Y 要使 XY〈 ,P ? 2 4 2 4 4 1
或者 P ? 1 ?

? 0.56

1 1 1 1 1 ? ?1 dx ? ? ln 2 4 4 4x 4 2

31、已知 P A ? 0.3, P?B? ? 0.4 , P AB ? 0.5 ,求 P B A ? B

? ?

? ?

?

?
1 1 1 。求密码被 5 3 4

32、三个人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为 , , 破译的概率。 31 解:? P( AB) ? P( A) ? P( AB ) =0.7-0.5=0.2

? P ( B A ? B ) ? P ( AB ) ?
P( A ? B )

0.2 P ( AB ) = =0.25 P ( A) ? P ( B ) ? P ( AB ) 0.7 ? 0.6 ? 0.5

32 解:设 AI ?"第i个人能破译 " ,则所求为 P( A1 ? A2 ? A3 )

? 1? P( A 1?A 2 ?A 3 ) ? 1 ? P( A 1 ) P( A 2 ) P( A 3)

4 2 3 ? ? ? 0.6 5 3 4

31:设有 4 张卡片分别标以数字 1,2,3,4,今从中任取一张。设 A 表示事件“取到 标有 1 或 2 的卡片”,B 表示事件“取到标有 1 或 3 的卡片”,C 表示事件“取到标有 1 或 4 的卡片”。验证

P( AB) ? P( A) P( B),P( AC) ? P( A) P(C ),P( BC) ? P( B) P(C ) P( A) P( B) P(C) ? P( ABC)
32、某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号求他拨号不超过三次而接 通所需电话的概率。 31 解: 显然 P ( A) ? P ( B) ? P(C ) ?

1 1 1 , P ( BC ) ? , P ( ABC ) ? , 4 4 4 1 1 1 ? P( AB ) ? P( A) P( B) ? , P( AC ) ? P( A) P(C ) ? , P( BC ) ? P( B) P(C ) ? 4 4 4 1 而 P( A) P ( B ) P (C ) ? ? P ( ABC ) 8 P ( AB ) ?

1 , 2

32 解:设 A=“在三次内能拨通电话”,

Ai ?" 第 i 次 能 拨 通 电 话 “ i=1 , 2 , 3 , 则 A ? A1 ? A1 A2 ? A1 A2 A3

P( A) ? P( A1 ) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 A3 )
? P( A1 ) ? P( A1 ) P( A2 A1 ) ? P ( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )

40

?

1 9 1 9 8 1 3 ? ? ? ? ? ? 10 10 9 10 9 8 10

概率论与数理统计真题综合题 四.综合题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分) 33 写出下列随机试验的样本空间: (1)同时掷两颗骰子,记录两颗骰子的点数之和;(2)在单位圆内任意一点,记录它 的坐标;(3)10 件产品中有三件是次品,每次从其中取一件,取后不放回,直到三件 次品都取出为止,记录抽取的次数;(4)测量一汽车通过给定点的速度. 34 设 A、B、C 为三个事件,用 A、B、C 的运算关系表示下列事件: (1)A 发生,B 和 C 不发生;(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生;(3)A、B、C 都发生; (4)A、B、C 都不发生;(5)A、B、C 不都发生;(6)A、B、C 至少有一个发生; (7)A、B、C 不多于一个发生;(8)A、B、C 至少有两个发生. 33 解 所求的样本空间如下 (1)S= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 2 2 (2)S= {(x, y)| x +y <1}(3)S= {3,4,5,6,7,8,9,10}(4)S= {v |v>0}

(1) ABC
34 解 所求的事件表示如下

(2) ABC (3) ABC (4) ABC (6) A ? B ? C

(5) ABC

(7) AB ? BC ? AC (8) AB ? BC ? CA
33 某旅行社 100 名导游中有 43 人会讲英语,35 人会讲日语,32 人会讲日语和英语,9 人会讲法语、英语和日语,且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种,求: (1)此人会讲英语和日语,但不会讲法语的概率;(2)此人只会讲法语的概率. 34 罐中有 12 颗围棋子,其中 8 颗白子 4 颗黑子,若从中任取 3 颗,求: (1) 取到的都是白子的概率;(2) 取到两颗白子,一颗黑子的概率; (3) 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率;(4) 取到三颗棋子颜色相同的概率. 33 解: 设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, C={此人会讲法语}根据题意, 可得 (1)

P( ABC ) ? P ( AB ) ? P ( ABC ) ?

32 9 23 ? ? 100 100 100

P( ABC) ? P( AB) ? P( ABC) ? P( A ? B) ? 0 ? 1 ? P( A ? B) 43 35 32 54 ? 1? ? ? ? 100 100 100 100
34 解 (1) 设 A={取到的都是白子} 则
P( A) ?

? 1 ? P( A) ? P( B) ? P( AB)

3 C8 14 ? ? 0.255 3 C12 55

1 C82C4 ? 0.509 . 3 C12 (3) 设 C={取三颗子中至少的一颗黑子} P(C ) ? 1 ? P( A) ? 0.745

(2) 设 B={取到两颗白子, 一颗黑子 P( B) ?

3 3 ? C4 (4) 设 D={取到三颗子颜色相同} P( D) ? C8 ? 0.273 3

C12

33(1)500 人中,至少有一个的生日是 7 月 1 日的概率是多少(1 年按 365 日计算)? (2)6 个人中,恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少?
41

34. 将 C,C,E,E,I,N,S 7 个字母随意排成一行,试求恰好排成 SCIENCE 的概率 p. 33 解 (1) 设 A = { 至 少 有 一 个 人 生 日 在 7 月 1 日 }, 则
P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 364500 ? 0.746 365500
12

4 1 2 (2)设所求的概率为 P(B) P( B) ? C6 ? C12 ?11 ? 0.0073 6

7 34 解 由 于 两 个 C , 两 个 E 共 有 A A 种 排 法 , 而 基 本 事 件 总 数 为 A7 ,因此有

2 2

2 2

p?

2 2 A2 A2 ? 0.000794 7 A7

33 从 5 副不同的手套中任取款 4 只,求这 4 只都不配对的概率. 34 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件,第 i 只零件是不合格的概率 为 pi ?

1 ,i=1,2,3,若以 x 表示零件中合格品的个数,则 P(x=2)为多少? 1?i

4 33 解 要 4 只都不配对,我们先取出 4 双,再从每一双中任取一只,共有 C 5 ? 24 中

取法. 设 A={4 只手套都不配对},则有 34 解

C 4 ? 24 80 P (A ) ? 5 4 ? 210 C 10

设 Ai = { 第 i 个 零 件 不 合 格 } , i=1,2,3, 则 P ( Ai ) ? pi ?

1 所以 1? i

P( Ai ) ? 1 ? pi ?

i 1? i P( x ? 2) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) 由于零件制造相互独立,有:

P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) , P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )
所以, P( x ? 2) ? 1 1 1 1 2 1 1 1 3 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24

33 假设目标出现在射程之内的概率为 0.7,这时射击命中目标的概率为 0.6,试求两次 独立射击至少有一次命中目标的概率 p. 34 设某种产品 50 件为一批,如果每批产品中没有次品的概率为 0.35,有 1,2,3,4 件次品的概率分别为 0.25, 0.2, 0.18, 0.02,今从某批产品中抽取 10 件,检查出一 件次品,求该批产品中次品不超过两件的概率. 33 解 设 A={目标出现在射程内},B={射击击中目标},Bi ={第 i 次击中目标}, i=1,2. 则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2,由全概率公式
P ( B ) ? P ( AB ) ? P ( AB ) ? P ( AB ) ? P ( A) P ( B | A) ? P ( A) P (( B1 ? B2 ) | A)

另外, 由于两次射击是独立的,



P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36 由加法公式 P((B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A) - P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84 因 此 P(B)= P(A)P((B1+B2)|A)=0.7 × 0.84 = 0.588 34 解 设 Ai ={一批产品中有 i 件次品},i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取 10 件检查出一件 次品}, C={产品中次品不超两件}, 由题意

42

P( B | P( B | P( B | P( B | P( B |

A 0 ) A 1 )

? ?

0
1 9 C 1 C49 10 C50

? ? ? ?

1 5 16 49

A 2 ) A 3 ) A 1 )

? ? ?

1 9 C2 C48 10 C50 1 9 C3 C47 10 C50 1 9 C4 C46 10 C50

39 98 988 2303

由于 A0, A1, A2, A3, A4 构成了一个完备的事件组, 由全概率公式
P( B) ? ? P( Ai ) P( B | Ai ) ? 0.196 由 Bayes 公式
i ?0 4

P ( A0 ) P ( B | A0 ) ? 0 故 P( B) P( A 1 ) P( B | A 1) P( A ? 0.255 1 | B) ? P( B) P ( A2 ) P ( B | A2 ) P ( A2 | B ) ? ? 0.333 P( B) P ( A0 | B ) ?

P(C ) ? ? P( Ai | B) ? 0.588
i ?0

2

33 由以往记录的数据分析,某船只运输某种物品损坏 2%,10%和 90%的概率分别为 0.8, 0.15,0.05,现在从中随机地取三件,发现三件全是好的,试分析这批物品的损坏率是 多少(这里设物品件数很多,取出一件后不影响下一件的概率). 34 验收成箱包装的玻璃器皿,每箱 24 只装,统计资料表明,每箱最多有两只残次品, 且含 0,1 和 2 件残次品的箱各占 80%,15%和 5%,现在随意抽取一箱,随意检查其中 4 只;若未发现残次品,则通过验收,否则要逐一检验并更换残次品,试求: 33 解 设 B={三件都是好的}, A1={损坏 2%}, A2={损坏 10%}, A1={损坏 90%}, 则 A1, A2, A3 是两两互斥, 且 A1+ A2 +A3=Ω , P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05. 3 3 3 因此有 P(B| A1) = 0.98 , P(B| A2) = 0.90 , P(B| A3) = 0.1 , 由全概率公式
P( B) ?

? P( A ) P( B | A )
i ?1 i i 3

3

? 0.8 ? 0.98 ? 0.15 ? 0.903 ? 0.05 ? 0.103 ? 0.8624

由 Bayes 公式, 这批货物的损坏率为 2%, 10%, 90%的概率分别为
P ( A1 | B ) ? P ( A2 | B ) ? P ( A3 | B ) ? P ( Ai ) P ( B | Ai ) 0.8 ? 0.983 ? ? 0.8731 P( B) 0.8624 P ( Ai ) P ( B | Ai ) 0.15 ? 0.903 ? ? 0.1268 P( B) 0.8624 P ( Ai ) P ( B | Ai ) 0.05 ? 0.103 ? ? 0.0001 P( B) 0.8624

由于 P( A1|B) 远大于 P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为 0.2. (1)一次通过验收的概率α ;(2)通过验收的箱中确定无残次品的概率β . 34 解 设 Hi={ 箱 中 实 际 有 的 次 品 数 }, i ? 0,1, 2 , A={ 通 过 验 收 } P(H0)=0.8,
P ( A | H 0 ) ? 1, P ( A | H1 ) ? P( A | H 2 ) ?
4 C 23 5 ? , 4 C 24 6 4 C 22 95 ? 4 C 24 138

P(H1)=0.15,

P(H2)=0.05, 那么有:(1)由

全概率公式 ? ? P( A) ? ? P( H i ) P( A | H i ) ? 0.96
i ?0

2

43

(2)由 Bayes 公式 得

? ? P( H i | A) ?

P( H 0 ) P( A | H 0 ) 0.8 ?1 ? ? 0.83 P( A) 0.96

33 一建筑物内装有 5 台同类型的空调设备,调查表明,在任一时刻,每台设备被 使用 的概率为 0.1,问在同一时刻(1)恰有两台设备被使用的概率是多少? (2)至少有三台设备被使用的概率是多少?
3 4 5 34 ? C5 (0.1)3 (0.9)2 ? C5 (0.1)4 (0.9)1 ? C5 (0.1)5 (0.9)0 ? 0.00856 进行某种试验,设试验成

功的概率为

3 1 ,失败的概率为 ,以 X 表示试验首次成功所需试验的次数,试写出 X 4 4

的分布律,并计算 X 取偶数的概率. 33 解 设 5 台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是 5 重伯努 利试验. 由题意,有 p=0.1, q=1 ? p=0.9, 故
2 2 3 (1) P 1 ? P 5 (2) ? C5 (0.1) (0.9) ? 0.0729

(2) P 2 ? P 5 (3) ? P 5 (4) ? P 5 (5) 34 解 X 的分布律为: P( X ? k ) ? ? ?
?

?1? ? 4?

k ?1

? 3? ? ? , k ? 1, 2,3,? ? 4?
? 2k ) ?
k

X 取偶数的概率: P{ X 为偶数} ? ? P ( X
k=1

?? ? ?4?
k=1

?

?1?

2 k ?1

?3? ? ? ?4?

? ? 1 ? ? 3? ? ? k=1 ? 16 ?

? 3?

1 16 ? 1 5 1? 1 16
x ?1 x ?1

33 设连续型随机变量 X 的密度函数为

? ? F ( x) ? ? ? ?

k 1 ? x2 0,

,

1? 求:(1)系数 k;(2) P ? ? X ? ? ;(3)X 的分布函数. 2? ? 2 34.设某台机器生产的螺栓的长度 X 服从正态分布 N(10.05, 0.06 ), 规定 X 在范围(10.05 ±0.12)厘米内为合格品,求螺栓不合格的概率.

33.解

(1)由题意,

?

??

??
k

f ( x)dx ? 1, 因此
dx ? k arcsin x 1 ? k? ? 1 ?1

?

??

??

f ( x)dx ? 1

?

?1

?1

1 ? x2

解得: k ?

?

(2)

1/ 2 1 ? ? ?? ? 1 1 ? 1/ 2 k 1 ? P? x ? ? ? ? dx ? arcsin x ? ? ? ?? 2 ?1/ 2 ? 1/ 2 2 ? ??6 6 ? 3 ? ? 1? x
?
x

(3) X 的分布函数
? 0 ? f ( x )dx ? ?1/ 2 ? arcsin x / ? ?? ?1 ? 解得: k ? 1/ ? F ( x) ? x ? ?1 ? 1? x ? 1 x ?1

34 解

由题意,设 P 为合格的概率,则
44

X ? 10.05 ? ? P ? P(| X ? 10.05 |? 0.12) ? P ? ?0.12 ? X ? 10.05 ? 0.12 ? ? P ? ?2 ? ? 2? 0.06 ? ?

? ?(2) ? ?(?2) ? 2?(2) ? 1 ? 2 ? 0.9772 ? 1 ? 0.9544

则不合格的概率=1 ? P = 0.0456 33 设随机变量 X 服从正态分布 N(60,9),求分点 x1,x2,使 X 分别落在(-∞,x1)、(x1, x2)、(x2,+∞)的概率之比为 3:4:5. 2 34 已知测量误差 X(米)服从正态分布 N(7.5, 10 ),必须进行多少次测量才能使至少 有一次误差的绝对值不超过 10 米的概率大于 0.98? 33 解 由题,

x1 ? 60 3 ? X ? 60 x1 ? 60 ? P( X ? x1 ) ? P ? ? )? ? 0.25 ? ? ?( 3 ? 3 3? 4?5 查表可得 ? 3 x1 ? 60 x1 ? 60 ?(? ) ? 1 ? ?( ) ? 0.75, 3 3

?

x1 ? 60 ? 0.67 解得, x1 = 57.99 3

x2 ? 60 3? 4 ? X ? 60 x2 ? 60 ? 又 P( X ? x2 ) ? P ? ? )? ? 0.5833 ? ? ?( 3 ? 3 3? 4?5 ? 3

查表可得 34 解

x2 ? 60 ? 0.21 解得, x2 =60.63. 3

设一次测量的误差不超过 10 米的概率为 p, 则由题可知

? ?10 ? 7.5 X ? 7.5 10 ? 7.5 ? p ? P( X ? 10) ? P ? ? ? ? 10 10 ? ? 10 ? ?(0.25) ? ?(?1.75) ? ?(0.25) ? 1 ? ?(1.75) ? 0.5987 ? 1 ? 0.9599 ? 0.5586

设 Y 为 n 次独立重复测量误差不超过 10 米出现的次数,则 Y~B(n, 0.5586) n 于是 P(Y≥1)=1 ? P(X=0)=1 ?(1 ? 0.5586) ≥0.98 n 0.4414 ≤0.02, n≥ln(0.02)/ln(0.4414)解得:n≥4.784 取 n=5, 即,需要进行 5 次测量. 33 设 X 服从 N(0,1)分布,求 Y=|X|的密度函数. 34 若随机变量 X 的密度函数为
?3 x 2 , f ( x) ? ? ? 0, 0 ? x ? 1 ,求 其他

Y=

1 的分布函数和密度函数. x
x ? 0,

33 解

? x, y=|x|的反函数为 h(y)= ? ? ? x,

x?0

从而可得 Y=|X|的密度函数为:
?y 1 e 2 ? 2?
2

当 y>0 时, f ( y) ? f (? y) | (? y) ' | ? f ( y) | y ' |? Y X X 当 y≤0 时, fY ( y) ? 0 因此有
? 2 ?y e 2 , y?0 ? fY ( y ) ? ? ? ? 0, y?0 ?
2

?y 1 e 2 ? 2?

2

2

?

e

? y2 2

34 解

y=

1 1 1 在(0,1)上严格单调,且反函数为 h(y)= , y>1, h’(y)= ? 2 x y y

?1? ? 1 ?? 1 ? 1 3 fY ( y) ? f X [h( y)] | h?( y ) |? f X ? ? ? 2 ? 3 ? 2 ? ? 2 ? ? 4 ? y? y ? y ?? y ? y

45

因此有

? 3 , y ?1 ? fY ( y ) ? ? y 4 ? 0, other ?
? y y 3 y ?4 dy ? ? y ?3 ? 1 ? y ?3 , ? FY ( y ) ? ? ?1 1 ? 0, ? y ?1 other

Y 的分布函数为:

33 设随机变量 X 的密度函数为
2

2 ? , ? f ( x) ? ? ? (1 ? x 2 ) ? 0, ?
x

x ? 0 试求 Y=lnX 的密度函数. x?0

34 设随机变量 X 服从 N(μ , ? )分布,求 Y= e 的分布密度. 33 解 由于 y ? ln x 严格单调,其反函数为 h( y) ? e y , 且h '( y) ? e y , 则
fY ( y ) ? f X [ h( y )] | h?( y ) |? f X (e y ) e y 2e y ? (1 ? e 2 y ) 2 ? , ? (e ? y ? e y ) ?

? ? ? y ? ??

34 解

由于 y ? e x 严格单调,其反函数为 h( y) ? ln y, 且h '( y) ? , y>0, 则
fY ( y ) ? f X [ h( y )] | h ?( y ) |? f X (ln y ) ? 1 2? ? y e
? 1 2? 2 (ln y ? ? ) 2

1 y

1 y

当 y ? 0 时 fY ( y) ? 0

,

y ? 0

因此

1 ? (ln y ? ? ) 2 ? 1 2 e 2? , ? fY ( y ) ? ? 2? ? y ? ?0,

y ?0 y ?0
?2 x

33 假设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布证明:Y= 1 ? e 在区间(0, 1)上服从均匀 分布. 34 把一枚硬币连掷三次,以 X 表示在三次中正面出现的次数,Y 表示三次中出现正面的 次数与出现反面的次数之差的绝对值,试求(X,Y)的联合概率分布. 33 解 由 于 y ? 1? e
?2 x

1 h( y ) ? ? ln(1 ? y ), 0 ? y ? 1, 2

在 (0, + ∞ ) 上 单 调 增 函 数 , 其 反 函 数 为 : 1 并且 h '( y ) ? ,则当 0 ? y ? 1 2(1 ? y ) 当 y≤0 或 y≥1 时, fY ( y) =0.因此 Y 在区间

fY ( y ) ? f X [ h( y )] | h ?( y ) | ? fX ? 2e 1 1 ( ? ln(1 ? y )) 2 2(1 ? y )
?2( ? 1 ln(1? y )) 2

1 ?1 2(1 ? y )

(0, 1)上服从均匀分布. 34 解 根据题意可知, (X,Y)可能出现的情况有:3 次正面,2 次正面 1 次反面, 1 次 正面 2 次反面, 3 次反面, 对应的 X,Y 的取值及概率分别为

1 P(X=3, Y=3)= 8

?1? ?1? 3 P(X=2, Y=1)= C ? ? ? ? ? ? 2? ? 2? 8
2 3

2

X Y 1

0 0

1 3/8

2 3/8

3 0

46

P(X=1,
1 ? 1 ?? 1 ? C3 ? ?? ? ? 2 ?? 2 ? 3?1

Y=1)=
? 3 8

3

1/8

0

0

1/8

P(X=0,

?1? 1 Y=3)= ? ? ? ? 2? 8
于是,(X,Y)的联合分布表如下: 33 设 二 维 连 续 型 随 机 变 量 (X, Y) 的 联 合 分 布 函 数 为

3

x ?? y? ? F ( x, y) ? A ? B ? arctan ?? C ? arctan ? 2 ?? 3? ? ,求:(1)系数 A、B 及 C; (2)(X, Y)的联合概率密度; (3)X,Y 的边缘分布 函数及边缘概率密度;(4)随机变量 X 与 Y 是否独立?
e 34 设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为 f ( x, y ) ? ? ? ?
-(x+y)

,

0 ? x ? ??, 其他

0,

(1)求分布函数 F(x, y);(2)求(X,Y)落在由 x=0,y=0,x+y=1 所围成的三角 形区域 G 内的概率. 33 解 (1) 由(X, Y)的性质, F(x, -∞) =0, F(-∞,y) =0, F(-∞, -∞) =0, F(+ ∞, +∞)=1, 可以得到如下方程组:
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ?? ? ? A ? B ? arctan ??C ? 2 ?? 2 ? ? ? ? C ? arctan y ? A? B ? ?? 2 ?? 3 ? ? ? ? 0 ? ? ? ? 0 ?

? ? A? B ? 2 ? ? ? A? B ? 2 ?

? ? ? 0 ?? ??C ? ? 2 ? ?? ? ?? ? ??C ? ? ?1 2 ? ??

解得: A ?

, 2 2 ? 2 F ( x, y) 6 (2) f ( x, y ) ? ? 2 ?x?y ? (4 ? x 2 )(9 ? y 2 )

1

?

2

, B?

?

, C?

?

(3) X 与 Y 的边缘分布函数为:

1 ?? x ?? ? ? ? 1 ? ? x? ? arctan ?? ? ? ? ? ? arctan ? 2 ? ? ?2 2 ?? 2 2 ? ? ? 2 2? 1 ? ? ? ?? ? y ? 1 ?? y? FY ( y) ? F ( ? ?, y) ? 2 ? ? ?? ? arctan ? ? ? ? arctan ? ? ? 2 2 ?? 2 3? ? ? 2 2? 2 ' X 与 Y 的 边 缘 概 率 密 度 为 : f X ( x) ? FX ( x) ? 2 ? ( x ? 4) 3 fY ( y) ? FY' ( y) ? ? ( y 2 ? 9) FX ( x) ? F ( x, ? ?) ?
(4) 由(2),(3)可知: f ( x, y) ? f X ( x) fY ( y) , 所以 X,Y 相互独立. 34 解 (1) 当 x>0, y>0 时, F ( x, y) ? 否 则 , F(x,
P(( x, y ) ? G ) ? ?? f ( x, y )dxdy
G

??
0

y

x

0

e?(u ?v ) dudv ? (1 ? e? x )(1 ? e? y )
0. (2) 由 题 意 , 所 求 的 概

y)

=

? ? dx ?
0

1

1? x

0

e ? ( x ? y ) dy ? 1 ? 2e ?1 ? 0.2642

47

Ae 33 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f ( x, y ) ? ? ? ?

-(3x+4y)

,

x ? 0, y ? 0, 其他

0,

求:(1)常数 A;(2)X,Y 的边缘概率密度;(3) P(0 ? X ? 1, 0 ? Y ? 2) . 34 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 1). 33 解
?? ??

? 2 xy ?x ? , f ( x, y) ? ? 3 ? ? 0,

0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2, 求 其他

P(X+Y≥

(1) 由联合概率密度的性质,可得
?? ??

? ?

f ( x, y)dxdy ? 1 ? ?

??

0

?

??

0

Ae?(3 x?4 y ) dxdy ? A /12

解得 A=12. (2) X, Y 的边缘概率密度分别为:

f X ( x) ? ? fY ( y) ? ?

??

??

??

??

?? ? (3 x ? 4 y ) ? dy ? 3e?3 x , x ? 0 ? ?0 12e f ( x, y)dy ? ? ? other ?0, ?? ? (3 x ? 4 y ) ? dx ? 4e?4 y , y ? 0 ??0 12e f ( x, y)dx ? ? ? other ? 0,

(3) P(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) ?

? ? 12e
0 0

2

1

? (3 x ? 4 y )

dxdy

? (1 ? e?3 )(1 ? e?8 )

34 解 由题意,所求的概率就是(X,Y)落入由直线 x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1 围的 区域 G 中, 则
P (( x, y ) ? G ) ? ? ?

??
G 2 1? x

f ( x, y )dxdy x2 ?

? ?

1

0 1

dx ?

0

4x2 3

xy dy 3 x 5 x3 65 ? ? dx ? 2 6 72

33 设二维随机变量(X, Y)在图 2.20 所示的区域 G 上服从均匀分布,试求(X, Y)的联合 概率密度及边缘概率密度. 34 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0, 0.2)上服从均匀分布,Y 的概率密度 是
?5e ?5 y ,???? y ? 0 求:(1)X 和 Y 和联合概率密度; (2)P(Y≤X). f y ( y) ? ? y?0 ?0,

33 解

由于(X, Y)服从均匀分布,则 G 的面积 A 为:

A ? ?? f ( x, y)dxdy ? ? dx ? 2 dy ?? ( x ? x 2 )dx ?
G 0 x 0

1

x

1

1 , 6

(X, Y)的联合概率密度为:

?6, 0 ? x ? 1 .X,Y 的边缘概率密度为: f ( x, y) ? ? 0, other ?
f X ( x) ?

?

??

??

? x 6dy ? 6( x 2 ? x ), 0 ? x ? 1 ? f ( x, y )dy ? ? ?x ? other ?0,
2

fY ( y ) ?

?

??

??

? ? f ( x, y )dx ? ? ?y ? ?0,

y

6dy ? 6(

y ? y ), other

0 ? y ?1

48

34 解

由于 X 在(0, 0.2)上服从均匀分布,所以 f X ( x) ? 1/ 0.2 ? 5

(1) 由于 X,Y 相互独立,因此 X, Y 的联合密度函数为:

?25e ?5 y , y ? 0, 0 ? x ? 0.2 f ( x, y ) ? f X ( x ) f Y ( y ) ? ? other ? 0,

y

y=x

(2) 由题意,所求的概率是由直线 x=0, x=0.2, y=0, y=x 所围的区域, 0 0.2 x P(Y ? X ) ? ?? f ( x, y )dxdy ? ? dx ? 25e ?5 y dy 0 0 如右图所示, 因此 G
? 5?
0.2 0

0.2

x

1 ? e?5 x dx ? 1 ? e?1 ? 1 ?e ?1
?1 ? ,????0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 f ( x, y ) ? ? 2 ? 其他 ? 0,

33 设(X,Y)的联合概率密度为 有 一个小于

求 X 与 Y 中至少

1 的概率. 2
? 2 1? y e ,???? x ? 1, y ? 1 ? f ( x, y ) ? ? x 3 ? ?0,????????? 其他,

34 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

求边缘概率密度 f X ( x) 与 fY ( y) ,并判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立. 33 解 所求的概率为
1 1 ? ? P?(X ? ) ? (Y ? )? 2 2 ? ? 1 1 ? ? ? 1? P? X ? , Y ? ? 2 2 ? ? ? 1? ? 1?

? ?

??

0.5 1

?

??

0.5

f ( x , y ) dxdy

0.5

?

2

0.5

1 5 dxdy ? 2 8

34 解

先 计 算 f X ( x) , 当 x<1 时 ,
?? 1

f X ( x) ? 0

当 x ≥ 1 时 ,

f X ( x) ? ?

?? 2 2 1? y ?2 e dy ? 3 e1? y ? 3 , 再计算 fY ( y) , 当 y<1 时, fY ( y) ? 0 3 1 x x x

?? 1? y 2 1? y ?1 e dx ? 2 e1? y ?e 3 1 1 x x 可见, f ( x, y) ? f X ( x) fY ( y) ,所以随机变量 X, Y 相互独立
当 y≥1 时,

fY ( y) ? ?

??

33 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 f ( x, y ) ? ?

? x ? y ,?????? ? x? y ? ?? ?0,????????? 其他,

求边缘概率密度 f X ( x) 与 fY ( y) ,并判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立. 34 由于 f ( x, y) ? x ? y ? f X ( x) fY ( y ) ? ? x ?

? ?

1 ?? 1? ?? y ? ? , 所以随机变量 X,Y 不独 2 ?? 2?
2

立随机变量 X 的分布列为 X P 33 解 -1
1 3 1 6

0

1 2

1

1 1 1 2 6 12 4 求 E(X),E(-X+1),E(X )

先计算 f X ( x) , 当 x<0 或者 x>1 时, f X ( x) ? 0
49

当 1≥x≥0 时,

2 f X ( x) ? ? x ? y dy ? xy ? 1 2 y 0

1

1 1 ? x? 0 2

再计算 fY ( y) , 当 y<0 或者 y>1 时, fY ( y) ? 0 当 1≥y≥0 时, 34 解
1 1 1 1 fY ( y) ? ? x ? ydx ? xy ? x 2 ? y ? 0 2 0 2

1 1 1 1 1 1 E( X ) ? ?1? 1 3 ? 0 ? 6 ? 2 ? 6 ? 1? 12 ? 2 ? 4 ? 3

1 1 1 1 1 2 E(? X ? 1) ? (?(?1) ? 1) ? 1 3 ? (?0 ? 1) ? 6 ? (? 2 ? 1) ? 6 ? (?1 ? 1) ? 12 ? (?2 ? 1) ? 4 ? 3 2 或者 E(? X ? 1) ? E(? X ) ? E(1) ? ?E( X ) ? 1 ? ? 1 3 ?1 ? 3

2 2 2 35 1 1 2 1 1 1 E(? X 2 ) ? (?1)2 ? 1 3 ? (0) ? 6 ? ( 2 ) ? 6 ? (1) ? 12 ? (2) ? 4 ? 24

33.一批零件中有 9 件合格品与三件废品,安装机器时从这批零件中任取一件,如果取 出的废品不再放回,求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望. 2 34.已知离散型随机变量 X 的可能取值为-1、0、1,E(X)=0.1,E(X )=0.9,求 P(X= ? 1),P(X=0),P(X=1). 33 解 设取得合格品之前已经取出的废品数为 X, X 的取值为 0, 1, 2, 3, Ak 表示取出 废品数为 k 的事件, 则有:
P ( Ak ) ? E( X ) ?
k 1 C3 C9 ? , k ? 0,1, 2, 3, k 1 C12 C12 ?k

?

3 k ?0

k ? P ( Ak ) ?

66 ? 0.3 220

34 解 根据题意得:

E ( X ) ? ?1P( X ? ?1) ? 0P( X ? 0) ? 1P( X ? 1) ? 0.1 E ( X 2 ) ? (?1)2 P( X ? ?1) ? 02 P( X ? 0) ? 12 P( X ? 1) ? 0.9
P(X=1)=0.5, P(X=0) = 1 ? P(X ?? 1)??

可以解得 P(X ?? 1)=0.4, P(X=1) = 1 ? 0.4 ? 0.5=0.1

2(1 ? x ),?????? ? x ? ?? 33.设随机变量 X 的密度函数为 f ( x ) ? ? 求 E(X). ? ? ????????????? ?其他.

34.设随机变量 X 的密度函数为

? e ? x ,????? x ? 0? 求 f ( x) ? ? ? ?????????? x ? ??

E(2X),E( e

?2 x

).

33.解 由题意, E ( X ) ?

?

1 1 xf ( x)dx ? ? 2(1 ? x) xdx ? , ?? 0 3 ?

34.解

? ?x ?x ? E (2 X ) ? ? 2 xf ( x)dx ? ? 2 xe? x dx ? 2 xe? x |? |0 ? ? 2 0 ? ?0 e dx ? 2 ? 0 ? e ?? 0

?

?

?

?

E (e ?2 X ) ? ?

? ?

?

?? ?

e ?2 x f ( x )dx 1 ?3 x ? 1 e |0 ? 3 3

0

e ?2 x e ? x dx ? ?

33.对球的直径作近似测量,其值均匀分布在区间[a,b]上,求球的体积的数学期望. 34. 设 随 机 变 量
?4 y

X , Y

2e ?2 x ,????? x ? 0? 的 密 度 函 数 分 别 为 f ( x) ? ? ? X ? ????????????? x ? ??

? 4e ,???? y?? 0? fY ( y ) ? ? ? ??????????? y ? ??

50

求 E(X+Y),E(2X-3Y ).
4 3

2

33. 解
?

由 题 意 , 球 的 直 接 D~U(a,b),
b

球 的 体 积 V=

? ?D 2 ? 因 此 ,
3
2

E(V ) ? ? Vf ( x)dx ? ?
??

a

4 ? x? 1 ?? ? dx 3 ?2? b?a
? ? ?
? ?
?? ?? ??

3

?

x 4 |? 0 ? 2 4b (? a )

?

?

(a? b) (2 a? 24

b )

34.解

E ( X ? Y ) ? E ( X ) ? E (Y )

x f X ( x ) dx ? 2 xe
?2 x

0

? dx ? ?
0

??

??

y fY ( y )dy

??

4 ye ?4 y dy

1 1 3 ? ? 2 4 4
??

E (2 X ? 3Y 2 ) ? 2 E ( X ) ? 3E (Y 2 ) ? 2? ? 2?
?? ?? ??

x f X ( x ) dx ? 3? 2 xe ?2 x dx ? 3?
0

??

y 2 fY ( y )dy

??

0

4 y 2 e ?4 y dy

? 1?

3 5 ? 8 8

33 设 随 机 函 数 X 和 Y 相 互 独 立 , 其 密 度 函 数 为 f X ( x) ? ?
(y-5) ?e ? ,???? y?? 5? 求 fY ( y ) ? ? ? ???????? ??? y ? 5?

, ? x ? ?1 ?2 x ?????? ? ???????????其他?

E(XY). E(X), D(X).

34 设随机函数 X 的密度为

1 ? ,???? x ? 1? 求 ? f ( x) ? ? ? 1 ? x 2 ? ????????????? ? x ? 1. ?

33 解

由于 XY 相互独立, 因此有
?
??

E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ? ? ?

??

x f X ( x ) dx ?

??

??

y f Y ( y ) dy

?

1

0

2 x 2 dx ?

??

5

ye ? ( y ? 5 ) dy

? ?? ? ?? ?? ? ? ye ? ( y ? 5 ) ? ? e ? ( y ? 5 ) dy ? ? ? ? ? 5 5 ? ?? ? ? ?? ? ? 2 ? ? ( y ?5 ) ? ? ? ? 0 ? 5 ? ? ? ?e ?? 5 ?? 3 ? ? ? ? 2 2 ? ? ?5 ? ? ? (0 ? 1) ? ? ? ? ? ( ?6) ? 4 ? 3 3 2 3

34 解

E( X ) ? ?
2

??

??

x f ( x)dx ?
1

??
?
1 ?1

1

1

x 1 ? x2

?1

dx ? 0

E( X

)?

?

??

??

x 2 f ( x ) dx ?

?? ??

2

?
2

?

x2 2 1 x2 dx ? dx ? ?0 1 ? x 2 1 ? x2 2 11? x ?1 2 1 2 1 1 2 ?0 1 ? x 2 dx ? ? ? ?0 1 ? x dx ? ? ?0 1 ? x 2 dx ? 2 1 1 ( )? arcsin x |1 ?1 ? 0? ? 4 ? 2 2

?

D( X ) ? E ( X 2 ) ? ? E ( X ) ? ?
2

1 2
? x ? 2x?2 e ,?????x ? 0? ? f ( x) ? ? ?2 ? ???????????????? x ? ?? ?
2

33 设随机函数 X 服从瑞利(Rayleigh)分布, 其密度函数为 其中σ >0 是常数,求 E(X),D(X). 33 解

E( X ) ? ?

??

??

x f ( x)dx ? ?

??

x2

0

?2

e

?

x2 2? 2

dx ? ? ?

??

0

xde

?

x2 2? 2

51

2 2 ?? ? x 2 ?? ? x 2 ? ? 2x?22 ?? ? 2? 2? ? ? ? xe ? e dx ? ? ? e dx 0 0 ?0 ? ?

u?x / ? ??? ???? e 0

??

? u2

2

du ? ? ?
??

E( X 2 ) ? ?

??

??

x 2 f ( x)dx ? ?

0

?

2? ? ??? 2 2 2 3 x2 ?? ? ? x2 x 2 2? 2 2? e dx ? ? x de 2 ?
0

2 2 ?? ? ? x2 ?? ?? ? ? x ? x ? ? ? x 2 e 2? 2 ? ? 2 xe 2? 2 dx ? ? 2? xe 2? 2 dx 0 0 0 ? ?

??? ? ? 2? 2 ? e?u du ? ?2? 2e ?u
0

2 u? x 2? 2

??

?? ? 2? 2 0
2

D( X ) ? E ( X 2 ) ? ? E ( X ) ?

2

? ?? ? 2 ? 2? 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ? ? (2 ? 2 ) ? ?

33 抛掷 12 颗骰子,求出现的点数之和的数学期望与方差. 34 将 n 只球(1~n 号)随机地放进 n 只盒子(1~n 号)中去,一只盒子装一只球,将 一只球装入与球同号码的盒子中,称为一个配对,记 X 为配对的个数,求 E(X), D(X). 33 解 掷 1 颗骰子,点数的期望和方差分别为: 2 2 2 2 2 2 2 E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6= 7/2 E(X )=(1 +2 +3 +4 +5 +6 )/6=91/6 2 2 因此 D(X) = E(X )?(E(X)) = 35/12 掷 12 颗骰子, 每一颗骰子都是相互独立的, 因此有: E(X1+X2+?+X12)=12E(X) = 42 D(X1+X2+?+X12) =D(X1)+D(X2)+?+D(X12)=12D(X)=35 34 解 (1)直接求 X 的分布律有些困难,我们引进新的随机变量 Xk
第k 只球装入第k号盒子 ? 1, , 则有: X ? Xk ? ? 0, 第 k 只球没装入第 k 号盒子 ?

?X
k ?1

n

k

,Xk 服 0-1 分布

因此: P ( X k ? 0) ? 1 ? p ? 1 ?
E( X k ) ? p ? 1 , n D( X k ) ?

1 1 , P( X k ? 1) ? p ? , n n

? n E( X ) ? E ? ? X k ? k ?1

1? 1? ?1 ? ? n? n? n 1 ? ? ? ? E ? X k ? ?n ? n ? 1 k ?1 ?

(2) X k X j 服从 0-1 分布,则有

P( X k X j ? 1) ? P( X k ? 1, X j ? 1) ?

1 n ( n?1)

, E( X k X j ) ?

1 n ( n?1)

? n ? D( X ) ? D ? ? X k ? ? k ?1 ? ? ? D ? X ? ? 2? Cov ( X
n k ?1 n k k? j

k

, X j) X j ) ? E ( X k ) E ( X j ))

?

1? ?n? ? ? 2? ( E ( X n? ?
k ?1 k? j

1?

1?

k

? 1 1 1 ? ? 2? ? ? 2 ? n n ? k ? j ? n ( n ? 1) 1 1 1 ? 1 n ?1 ? ? 2 ? ? 1? ? 2Cn ? 2 ? ? 1? ? ?1 ? ? ? ?1 n n ? n n ? ? ? n( n ? 1) ? 1?

故,E(X)=D(X)=1. 我们知道,泊松分布具有期望与方差相等的性质,可以认定,X 服从参数为 1 的泊 松分布. 概率论与数理统计真题应用题 五.应用题(本大题共 1 小题,每小题 20 分,共 20 分)
52

35 某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占 20%,以 X 表示在随机抽 查 100 个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数,求 P(14 ? X ? 30) . x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф (x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 35 解 X~b(k;100,0.20), EX=100×0.2=20, DX=100×0.2×0.8=16.----5 分

P(14 ? X ? 30) ? ?(
? 0.927
35 估计. 35 解 设

30 ? 20 14 ? 20 ) ? ?( ) ? ?(2.5) ? ?(?1.5) 16 16

=0.994+0.933--1

X1 , X 2 ,?, X n
k ?1















:

P( X ? k ) ? p(1 ? p) , k ? 1, 2,?, 0 ? p ? 1 ,的样本,试求未知参数 p 的极大似然
L( x1 ,?, xn ; p) ? ? p(1 ? p)
i ?1
n

n

xi ?1

? p (1 ? p) i?1
n
n i ?1

? xi ?n
?n ? 0,

n

ln L ? n ln p ? (? X i ? n) ln(1 ? p),
i ?1

d ln L n ? ? dp p
n i ?1

?X

i

1? p

解似然方程

n ? p

?n ? ? X i 1? p

,得 p 的极大似然估计

1 ? p? 。 X

.35 已知一批产品中 90%是合格品, 检查时, 一个合格品被误认为是次品的概率为 0.05, 一个次品被误认为是合格品的概率为 0.02,求(1)一个产品经检查后被认为是合格品 的概率;(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 35 解:设 A ? ‘任取一产品,经检验认为是合格品’

B ? ‘任取一产品确是合格品’ 则(1) P( A) ? P( B) P( A | B) ? P( B) P( A | B)

? 0.9 ? 0.95 ? 0.1? 0.02 ? 0.857. P( B | A) ? P( AB) ? 0.9 ? 0.95 ? 0.9977
P( A) 0.857

35 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是 相互独立的,并且概率都是 2/5. 设 X 为途中遇到红灯的次数,求 X 的分布列、分布 函数、数学期望和方差. 35 解: X 的概率分布为 P( X ? k ) ? C3k ( 2 ) k ( 3 )3?k k ? 0,1, 2,3.
5 5



X P

0 27 125

1 54 125

2 36 125

3 8 125

? 0 ? 27 ? ?125 ? ? 81 F ( x) ? ? ?125 ?117 ? 125 ? ? ? 1

, , , , ,

x ? 0, 0 ? x ?1 , 1 ? x ? 2, 2 ? x ? 3, x ? 3.

2 3 18 2 6 X 的分布函数为 DX ? 3 ? ? ? EX ? 3 ? ? , 5 5 25 5 5 35 设二维随机变量 ( X , Y ) 在区域 D ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1} 上服从均匀分 布. 求(1) ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度;(2) Z ? X ? Y 的分布函数与概率密度. 35 解: (1) ( X , Y ) 的概率密度为 y

?2, ( x, y ) ? D f ( x, y1 )?? 其它 ?0, x+y =1 .
D
D1

0

z

x+y=z

1

x
53

f X ( x) ? ?

?? ??

? 2 ? 2 x, 0 ? x ? 1 f ( x, y )dy ? ? ? 0 , 其它

(2)利用公式 f Z ( z ) ? 其中 f ( x, z ? x) ? ?

?

?? ??

f ( x, z ? x)dx

?2, 0 ? x ? 1,0 ? z ? x ? 1 ? x ?2, 0 ? x ? 1, x ? z ? 1. ?? ?0, 其它 ?0, 其它.
当 z ? 0 或 z ? 1 时 f Z ( z) ? 0

0 ? z ? 1 时 f Z ( z ) ? 2 ? dx ? 2 x 0 ? 2 z
z 0

z

z =x

z

故 Z 的概率密度为
z?0 ?0, ?2 z , 0 ? z ? 1, ? ?0 , ? x fZ ( z) ? ? z ? 2 ? z ? 0 2 ydy, 0 ? z ? 1 ? ? z , ? ? 0 , 其它. f Z ( z ) ? ? ?? f Z ( y)dy ? ? ? ? ?1, ? z ?1 z ? 0, 0 ? z ? 1,

?1 , z ? 1.

Z 的分布函数为 或利用分布函数法
? ? 0 , ? FZ ( z ) ? P( Z ? z ) ? P( X ? Y ? z ) ? ? ?? 2dxdy, ? D1 ? 1 , ?
?2 z, ? ( z) ? ? f Z ( z ) ? FZ ?0 , 0 ? z ? 1, 其它.

z ? 0,

? 0 ? z ? 1, ? ? z 2

? 0 ? 1 ?

, , ,

z ? 0, 0 ? z ? 1, z ? 1.

z ? 1.

35 向一目标射击,目标中心为坐标原点, 已知命中点的横坐标 X 和纵坐标 Y 相互独立, 且均服从 N (0, 2 ) 分布. 求(1)命中环形区域 D ? {( x, y) |1 ? x ? y ? 2} 的概
2 2 2

率;(2)命中点到目标中心距离 Z ? 35 解: y (1) P{X , Y ) ? D} ?
x2 ? y 2 8

X 2 ? Y 2 的数学期望.

?? f ( x, y)dxdy
D
2 1

1 ? ? ?? e 2? ? 4 D

1 dxdy ? 8?
2
r
2

? ?
0

2?

e

?

r2 8

rdrd?

? ?? e
1

2

?

r 8

2

0

1

x
2 ?

? r2 d (? ) ? ? e 8 8

? e ?e ;
1
2

1 8

?

1 2

(2) EZ ? E ( X ? Y ) ?
2

? ?
??

??

?? ??

1 ? x ?y ? e 8?
2 2

x2 ? y 2 8

dxdy

1 ? 8?

? ?
0

2?

?? 0

re

?

r2 8

1 ?? ? rdrd? ? ? e 8 r 2 dr 4 0

r2

54

? ? re

?

r2 8

??

??
0

?? 0

e

?

r2 8

2? dr ? 2

?

?? ??

1 ?8 e dr ? 2? . 2?

r2

35 设某机器生产的零件长度(单位:cm) X ~ N ( ? , ? 2 ) ,今抽取容量为 16 的样 本,测得样本均值 x ? 10 ,样本方差 s2 ? 0.16 . (1)求 ? 的置信度为 0.95 的置 信 区 间 ; ( 2 ) 检 验 假 设 H0 : ? 2 ? 0 . ( 1 显 著 性 水 平 为 0.05 ) .

t0.05 (16) ? 1.746, t0.05 (15) ? 1.753, t0.025 (15) ? 2.132,

?

2 0.05

2 2 (16) ? 26.296, ?0.05 (15) ? 24.996, ?0.025 (15) ? 27.488.

35

解 : ( 1 )

?

的 置 信 度 为 1??

下 的 置 信 区 间 为

( X ? t? / 2 (n ? 1)

s , n

X ? t? / 2 (n ? 1)

s ) n

X ? 10, s ? 0.4, n ? 16, ? ? 0.05, t0.025 (15) ? 2.132
所以 ? 的置信度为 0.95 的置信区间为(9.7868,10.2132) ( 2 ) H0 : ? 2 ? 0.1 的 拒 绝 域 为
2 ?0.05 (15) ? 24.996 2 ? 2 ? ?? (n ?1) .

?2 ?

15S 2 ? 15 ?1.6 ? 24 0.1

因为

2 ? 2 ? 24 ? 24.996 ? ?0.05 (15) ,所以接受 H 0 .

35 装有 10 件某产品(其中一等品 5 件,二等品 3 件,三等品 2 件)的箱子中丢失一件 产品,但不知是几等品,今从箱中任取 2 件产品,结果都是一等品,求丢失的也是一等 品的概率。 35 解 : 设 A ? ‘ 从 箱 中 任 取 2 件 都 是 一 等 品 ’

P( A) ? P(B1 )P( A | B1 ) ? P(B2 )P( A | B2 ) ? P(B3 )P( A | B3 )
Bi ? ‘丢失 i 等号’
i ? 1, 2, 3 . 则
1

?

2 2 1 C4 3 C5 1 C2 2 ? 2 ? ? 2 ? ? 5 ? 2 2 C9 10 C9 5 C9 9

所求概率为 P( B

| A) ?

P( B1 ) P( A | B1 ) 3. ? P( A) 8

ax ? 1, 35 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ? ? ?

的分布函数 F ( x ) ; (3) P(1 ? X ? 3). 35 解:(1) 1 ?

? 0

,

0 ? x ? 2, 求(1)常数 a ; (2) X 其它.

?

?? ??

2 a 2 f ( x)dx ? ? (ax ? 1)dx ? ( x 2 ? x)0 ? 2a ? 2 0 2

a??
,
x 0

1 2
x ? 0, 0 ? x ? 2, x ? 2.

(2) X 的分布函数为
F ( x) ?
x ? 0, 0 ? x ? 2, x ? 2.

?

x ??

?0 ? ? f (u )du ? ? ? ? ? ?1

u (1 ? )du , 2 ,

, ?0 ? x2 ? ? ?x ? , 4 ? 1 , ? ?

2 x 1 f ( x ) dx ? ?1 ? 1 (1 ? 2 )dx ? 4 . ? e ? x , 0 ? y ? x, 35 设 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) ? ? 其它. ? 0,

(3) P(1 ? x ? 3) ?

3

求 (1) 边缘概率密度 f X ( x), fY ( y) ;
55

(2)P( X ? Y ? 1) ;(3)Z ? X ? Y

的概率密度 f Z ( z) . 35 解:(1) f ( x) ? X ? y
fY ( y ) ?
?? ??

, x?0 ? 0 ?0 , ? ? ? ?x f ( x, y )dy ? ? x ? x e dy, x ? 0. ? xe , ? ?? 0
y?0 y ? 0.

x ? 0, x ? 0.

?

?? ??

0 , ? ? f ( x, y )dx ?? y= x ?? e ? x dx, ? ?? y

x 0 x+y=1 35 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为
? ( x, y ) ? ? 8
?1 ? ( x ? y ), ? ?0, 0 ? x ? 2, 0 ? y ? 2 其它

? 0 , y ? 0, ? ? ?y ?e , y ? 0.

1 求 X 与Y 的边缘密度函数 ?X ( x), ?Y ( y) ;2 判断 X 与Y 是否独立?为什么? (1) 求 Z ? X ? Y 的密度函数 ?Z ( z) 。 35 答:(1)
? X ( x) ? ? 4
?1 ? ( x ? 1), ? ?0, x ? [0, 2] x ? [0, 2] ,

?Y ( y ) ? ? 4

?1 ? ( y ? 1), ? ?0,

y ? [0, 2] y ? [0, 2]

(2)不独立
?Z
?1 2 ?8 z , ? ?1 ( z) ? ? z (4 ? z ), ?8 ? 0, ? ? 0 ? z ? 2 2 ? z ? 4 其它

(3) 35 已知甲,乙两箱中有同种产品,其中甲箱中有 3 件正品和 3 件次品,乙箱中仅有 3 件正品,从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后,(1)求从乙箱中任取一件产品为次 品的概率; (2)已知从乙箱中取出的一件产品为次品,求从甲箱中取出放入乙箱的 3 件产品中恰 有 2 件次品的概率。 35 解: (1)设 Ai 表示“第一次从甲箱中任取 3 件,其中恰有 i 件次品”, (i=0,1,2,3) 设 B 表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件;

P( B) ? ? P( Ai ) P( B | Ai ) ?
i ?1

n

3 2 1 1 2 3 1 1 1 C3 C3 C3 C1 C3 C3 C2 C3 C3 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 3 3 1 3 1 3 1 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 4

(2)

P( A2 | B ) ?

P( A2 B ) ? 0.6 P( B)

35 设连续型随机变量 X 的密度为:
?x (1)求常数 c ;(2)求分布函数 F ( x) ; ? ( x) ? ?ce ,

? ?0,

x ? 0 (3)求 Y x?0

? 2 X ? 1的

56

密度 ?Y ( y) 35
x

??

??

? ? ( x)dx ? 1 ?

??

? ce
0

?x

dx ? c ? 1 (2)

F ( x) ?

??

? ? (t )dt

x ? 0 ?0, ? ? ? x ?t ?x e dt ? 1 ? e , x ? 0 ?? ?0

(3)Y 的分布函数 FY ( y ) ? P{2 X ? 1 ? y} ? P{ X ?

y ?1 } 2

35 设二维连续型随机变量 ( X , Y ) 的联合密度为
? ( x, y ) ? ?
?c, ?0, 0 ? x ? 1, 其它 0? y? x

(1)求常数 c ; 立?为什么?

(2)求 X 与Y 的边缘密度 ? X ( x), ?Y ( y) ;(3)问 X 与Y 是否独

(2)(4)求 Z ? X ? Y 的密度 ?Z ( z) ; 35 解:(1) 1 ? (2)

(5)求 D(2 X ? 3Y ) 。
1

? ?
??

??

??

??

? ( x, y)dxdy ? ?
? ?
x

0 0

?

x

cdydx ?

c , ? c?2 2

? X ( x) ? ? ? ( x, y)dy ? ??0
?? ??

2dy ? 2 x,

0 ? x ?1 其它

? ?0,

? 1 2dy ? 2(1 ? y ), 0 ? y ? 1 ? ?Y ( y ) ? ? ? ( x, y)dx ? ? ?y ?? ? 其它 ?0,
??

(3) X 与Y 不独立;
? X ?Y ( z ) ?

?

??

??

? z 2dy ? z , 0 ? z ?1 ? ?z / 2 ? 1 ? ( x, z ? x) dx ? ? ?z / 2 2dy ? 2 ? z , 1 ? z ? 2 ? 其它 ?0, ?

(4) (5) EX ? 1 2 x 2 dx ? 2 , ?0
3
1 1 EY ? ? 2 y(1 ? y)dy ? , 0 3 1

EX 2 ? ? 2 x 3 dx ?
0

1

1 2

EY 2 ? ? 2 y 2 (1 ? y)dx ?
0

1 6

1 2 1 DX ? ? ( )2 ? , 2 3 18

1 x 1 1 1 1 DY ? ? ( )2 ? EXY ? ? ? 2 xydydx ? , 0 0 6 3 18 4

35 某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为 9:3:2:1,它们在一定时间内需要修 理的概率之比为 1:2:3:1,当有一台机床需要修理时,求这台机床是车床的概率。 35 解:设 A 1) ? 1 ={某机床为车床}, P ( A

9 1 ; A2 ={某机床为钻床}, P ( A2 ) ? ; 15 5

57

2 1 ; A4 ={某机床为刨床}, P ( A4 ) ? ; 15 15 1 2 3 1 B ={需要修理}, P( B | A1 ) ? , P ( B | A2 ) ? , P( B | A3 ) ? , P ( B | A4 ) ? 7 7 7 7

A3 ={某机床为磨床}, P( A3 ) ?

则 P( B) ?

? P( A ) P( B | A ) ? 105 P( A | B) ?
i ?1 i i
1

4

22

P( A1 ) P( B | A1 ) 9 。 ? P( B) 22

35 假设一部机器在一天内发生故障的概率是 0.2。若一周 5 个工作日内无故障则可 获 10 万元; 若仅有 1 天故障则仍可获利 5 万元; 若仅有两天发生故障可获利 0 万元; 若有 3 天或 3 天以上出现故障将亏损 2 万元。求一周内的期望利润。 35 解:设 X 表示一周 5 个工作日机器发生故障的天数,则 X ~ B(5,0.2) ,分布律 为:
k P( X ? k ) ? C5 0.2k 0.85?k , k ? 0,1,...,5

设 Y (万元)表示一周 5 个工作日的利润,根据题意, Y 的分布律
?10, X ? 0, P ( X ? 0) ? 0.328 ?5, X ? 1, P ( X ? 1) ? 0.410 ? Y ? f (X ) ? ? ?0, X ? 2, P ( X ? 2) ? 0.205 ? ?? 2, X ? 3, P ( X ? 3) ? 0.057

则 EY ? 5.216 (万元)。

35 将 A 、 B 、 C 三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为 0.8,而输出为其它 CCCC 之一输入信道, 一字母的概率都为 0.1。 今将字母 AAAA ,BBBB , 输入 AAAA , BBBB ,CCCC 的概率分别为 0.5,0.4, 0.1。 已知输出为 ABCA , 问输入的是 AAAA 的概率是多少?(设信道传输每个字母的工作是相互独立的)。 35 解:设 A1 , A2 , A3 分别表示输入 AAAA , BBBB , CCCC 的事件, B 表示输出 为 ABCA 的随机事件。由贝叶斯公式得:
~ P( A1 B ) ? ~ P( A1 ) P( B A1 )

~

? P( A ) P( B A )
i ?1 i i

3

~

P( A1 ) ? 0.5, P( A2 ) ? 0.4, P( A3 ) ? 0.1

~ ~ P( B A1 ) ? 0.8 ? 0.1? 0.1? 0.8 ? 0.0064 P( B A2 ) ? 0.1? 0.8 ? 0.1? 0.1 ? 0.0008 ~ P( B A3 ) ? 0.1? 0.1? 0.8 ? 0.1 ? 0.0008
?) ? P( A1 B 0.5 ? 0.0064 8 ? 0.5 ? 0.0064 ? 0.0008 ? 0.4 ? 0.0008 ? 0.1 9
2 X ~ N (?1 ,? 12 ) , Y ~ N (? 2 ,? 2 ) 中 分 别 抽 取 容 量 n1 ? 13 ,

35. 在 总 体

2 n2 ? 16 的两个独立样本, 测得样本方差分别为 S12 ? 4.38, S 2 ? 2.15 . 求二总体方差

58





90%











.

(



:

F0.95 (12,15) ? 2.48,F0.9 (12,15) ? 2.02,F0.95 (15,12) ? 2.62,F0.9 (15,12) ? 2.1 )
35 解

1 ? ? ? 0. 9 ,

? ? ? 0. 05 , 1 ? ? 0. 95 , n1 ? 1 ? 12 , n2 ? 1 ? 15 2 2
, 15) = 2.48 F ,15 )? 0.05(12

F0.95(12

1 1 ? F , ) 2.62 0.95(1512

2 S1 4. 38 ? ? 2. 04 2 S2 2.15
2 ??1 / ?2 2 的

90% 的











:

2.04 ( , 204 . ?248 . )? (078 . , 506 . ) 2.62
2 35 两正态总体 X ~ N (?1 , ? 12 ) , Y ~ N (? 2 ,? 2 ) 的参数为未知,

依 次 取 容 量 为 n1 ? 10 , n2 ? 11 的 样 本 , 测 得 样 本 方 差 分 别 为
2 S12 ? 0.34,S 2 ? 0.29 , 求两总体方差比的 90%的置信区间.

(注: F0.95 (9,10) ? 3.02,F0.95 (10,9) ? 3.14,F0.9 (10,9) ? 2.42,F0.9 (9,10) ? 2.35) 解

1 ? ? ? 0.9,

?
2

? 0.05, n1 ? 1 ? 9 , n2 ? 1 ? 10

F0.95 ( 9,10) ? 3. 02

F0.05 ( 9,10) ?

1 1 S12 0.34 2 ? 的 ? ? 1.17 ?? 12 / ? 2 2 F0.95 (10, 9) 3.14 S 2 0.29

90%的 置 信 区 间

1 ,1.17 ? 3.14) ? (0.39,3.67 ) 3.02 35 从母体 X 中取得容量 n ? 8 的样本值为 0.31 , 0.26 , 0.28 , 0.33 , 0.29 , (1.17 ?
0.32 , 0.24 , 0.25.试利用变换 ui ? a( xi ? b) ? 100( xi ? 0.28) , i ? 1,2,?,8 及公式
2 ? ? xi ? x ? ? i ?1 n

1 a2

? ?u
i ?1

n

i

? u ? 计算样本的二阶中心矩的观察值.35 解 由 变 换 式
2

得 样 本 的 变 换 值 u i , i ? 1,2,?,8 为 3 , ? 2 , 0 ,
2

5

,

1

,

4

,

?

4

,

?

3

,

1 n 1? n ? u ? ? u i ? 0.5, ? ? u i ? ? 8u 2 ? 2 8 i ?1 8 ? i ?1 ?
59

2 1 8 1 ? 8 2 1? 8 ? ? 2 ui ? 3 ? ?? 2? ? ? ? ?? 3? ? 80 ? ? ?xi ? x ? ? 2 ? ?ui ? u ? ? 2 ?? ui ? ? ? ui ? ? ? 100 i?1 100 ?? i?1 8 ? i?1 ? ?? i ?1 i ?1

8

2

2

2

2

8

2

?

1 ?80 ? 2 ? ? 0.0078 100 2

35 设 X 1 , X 2 ,?, X n 为总体 X ~ B(1, p) 的一个样本,求样本平均值的数学期望

E ?X ? 和方差 D?X ? ,并求样本方差 s 2 ?

1 n ?X i ? X ?2 的数学期望. ? n ? 1 i ?1

35





?1 n ? 1 n E ?X ? ? E? ? X i ? ? ? E ? X i ? ? E ? X ? ? p ? n i ?1 ? n i ?1

p?1 ? p? 1 ?1 n ? 1 n D?X ? ? D? ? X i ? ? 2 ? D?X i ? ? D? X ? ? n n ? n i ?1 ? n i ?1

E s2 ?

? ?

2 ? 1 ?n 1 ?n 2 2? E ?? ? X i ? X ? ? ? E ? ? X i ? n? X ? ? n ?1 ? ? ? ? i ?1 ? n ? 1 ? i ?1

1? n ? 1 ?n 2 2? ? ?? EX i2 ? nEX 2 ? ? DX ? n?EX ? ? nD?X ? ? n?EX ? ? ? ? n ? i ?1 ? n ? 1 ? i ?1 ?
? 1 ?nDX ? DX ? ? DX ? p?1 ? p ? n ?1

单选题 1 将 3 粒黄豆随机地放入 4 个杯子,则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为( ) A3/32 B 3/8 C 1/16 D 1/8 2 匣中 4 只球,其中红,黑,白球各一只,另有一只红黑白三色球,现从中任取两只, 其中恰有一球上有红色的概率为( ) A1/6 B 1/3 C 1/2 D2/3 )

3 设随机变量 X,Y 相互独立,且 X~N(2,1),Y~N(1,1),则( A P{X-Y≤1}=1/2 B P{X-Y≤0}=1/2 CP{X+Y≤1}=1/2 DP{X+Y≤0}=1/2 4 设随机变量 X 具有分布 P{X=k}=1/5k=1,2,3,4,5,则 D(X)=( A1 B2 C3 D4 ) )

5 已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)=ce-|x|,-∞<x<+∞,则 c=( A0.3 B0.2 C0.4
60

D0.5

6 设 A,B 为两个随机事件,且 P(A)>0,则 P(A∪B|A)=( A.P(A)-P(B) B. P(A) C.P(B) D.1 6 设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布,则下列结论中正确的是( A.E(X)=0.4,D(X)=0.1 B. E(X)=0.5,D(X)=0.25 C. E(X)=2,D(X)=4 D.E(X)=2,D(X)=2





7 设随机变量 X 与 Y 相互独立且 X~N(1,4),Y~N(0,1),令 Z=X-Y,则 E(Z2) =( ) A.2 B.4 C.5 D.6 8 已知 D(X)=4,D(Y)=25,Cov(X,Y)=4,则ρ XY=( A0.01 B0.04 C0.4 ) B 事件 A 发生但事件 B 不发生 D 事件 A 与事件 B 至少有一件发生 D4 )

9 事件表达式 AUB 的意思是 ( A 事件 A 发生且事件 B 不发生 C 事件 B 发生但事件 A 不发生

10 假设事件 A 与事件 B 互为对立,则事件 AIB( ) A 是不可能事件 B 是可能事件 C 发生的概率为 1 D 是必然事件 )

11 已知随机变量 X,Y 相互独立,且都服从标准正态分布,则 X2+Y2 服从 ( B 自由度为 2 的 F 分布 B 自由度为 2 的 c2 分布 C 自由度为 1 的 F 分布 D 自由度为 2 的 F 分布

12 已知随机变量 X,Y 相互独立,X~N(2,4),Y~N(-2,1), 则( ) A.X+Y~P(4) B.X+Y~U(2,4) C.X+Y~N(0,5) D.X+Y~N(0,3) 13 设随机变量 X 具有分布 P{X=k}=1/5,k=1,2,3,4,5,则 E(X)=( A2 B3 C4 D5 )

14 设 A,B 相互独立且都不发生的概率为,又 A 发生而 B 不发生的概率与 B 发生而 A 不发生的概率相等,则 P(A)=( ) A 1/2 B 1/3 C 1/4 D 2/3 15 设随机变量 X~B(2, p), 随机变量 Y~B(3, p),若 P(X≥1)=5/9, 则 P(Y≥1)=( A1/27 B19/27 C1/9 D7/9 16 设 A, B 为两事件,则 P(A-B)等于 ( A P(A)-P(B) BP(A)-P(B)+P(AB) ) CP(A)-P(AB) DP(A)+P(B)-P(AB) )

61

17 以 A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”A,则其对立事件 A A 甲种产品滞销,乙种产品畅销 B 甲乙两种产品均畅销 C 甲种产品滞销 D 甲种产品滞销或乙种产品畅销 )

18 随机变量 X 的数字期望为 2, 方差等于 4, 则 E[D(X)], D[E(X)]的值分别为( A(X, X) B(2, 4) C(4, 2) D(4, 0) 19 两个独立的随机变量 X, Y 的方差分别为 4 和 2,则随机变量 X-2Y 的方差等 于:( )A0 B8 C12 D 无法计算 20 设随机变量 X 服从参数为的指数分布则 E(X)=() A1/4 B1/2 C2 D4

21 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X~N(0,9),Y~N(0,1),令 Z=X-2Y,则 D (Z)=( ) A5 B7 C11 D13 22 设事件 4 与 B 互不相容,且 P(A)=0.4,P(B)=0.2,则 P(A∪B)=( A0 B2 C4 D6 )

23 设随机变量 X~B(3,0.3)则 P{X=2}=( ) A0.1 89 B0.2l C0.441 D0.7

24 设随机变量 X~N(3,22),则 E(2X+3)=() A3 B6 C9 D15

25 设 A,B 为随机事件则 P(A-B)=( ) A P(A)-P(B) BP(A)-P(AB) - P(AB) CP(A)-P(B)+ P(AB) D P(A)+P(B)

26 已知随机变量 X~N(2,P{X≤4}=0.84, 则 P{X≤0}= ( A0.16 B0.32 C0.68 D0.84



27 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且都服从标准正态分布,则 2X-Y+1~ ( A.N(0,1) B.N(1,1) C.N(0,5) D.N(1,5)



28 设随机变量 X 与 Y 相互独立,它们的概率密度分别为 f X(x) f Y(y), 则 (X,Y) 的概率密度为( ) A.1/2[ fX(x)+f Y(y)] Bf X(x)+f Y(y)

62

C1/2 f X(x) f Y(y) Df X(x) f Y(y) 29 设随机变量 X~B(n,p), 且 E(X)=2.4,D(X)=1.44, 则参数 n,p 的值 分别为( ) A4 和 0.6 B6 和 0.4 C8 和 0.3 D3 和 0.8 30 设随机变量 X 的方差 D(X)存在,且 D(X)>0,令 Y=-X,则 XY =( A-1 B0 C1 D2 31 已知随机变量 X~N(0,1),则随机变量 Y=2X-1 的方差为( A1 B2 C3 D4 ) )

32 设随机变量 X 服从参数为 0.5 的指数分布,用切比雪夫不等式估计 P(|X-2|≥ 3)≤( ) A 1/9 B1/3 C1/2 D1 33 设 A,B 为两个互不相容事件,则下列各式错误的是( ) B.P(A∪B)=P(A)+P(B) C.P(AB)=P(A)P(B) D.P(B-A)=P(B) 34 设事件 A,B 相互独立,且 P(A)=1/3,P(B)>0,则 P(A|B)=( ) A1/9 B 1/5 C1/4 D1/3 A.P(AB)=0

35 设 x1, x2, ?, x100 为来自总体 X ~ N(0,42)的一个样本,以 x 表示样本均 值,则( ) AN(0,16) BN(0,0.16) CN(0,0.04) DN(0,1.6) 36 某人每次射击命中目标的概率为 p(0<p<1),他向目标连续射击,则第一次未中 第二次命中的概率为( ) Ap2 B(1-p)2 C(1-2p) Dp(1-p) 37 一批产品中有 5%不合格品,而合格品中一等品占 60%,从这批产品中任取一件, 则该件产品是一等品的概率为( ) A0.2 B0.3 C0.38 D0.57 38 设随机变量 X 与 Y 相互独立,X 服从参数为 2 的指数分布,Y~B(6,1/2)则 E(X-Y)=( ) A- 2/5 B1/2 C2 D5 39 设二维随机变量(X,Y)的协方差 Cov(X,Y)=1/6,且 D(X)=4,D(Y)=9,则 X 与 Y 的相关系数 PXY=( ) A1/216 B1/36 C1/6 D1 40 有甲、 乙两人, 每人扔两枚均匀硬币, 则两人所扔硬币均未出现正面的概率为( ) A 1/16 B1/17 C1/18 D1/19 41 某射手对一目标独立射击 4 次,每次射击的命中率为 0.5,则 4 次射击中恰好 命中 3 次的概率为( )A0.4 B0.25 C0.35 D0.5 42 同时抛掷 3 枚均匀的硬币,则恰好三枚均为正面朝上的概率为( ) A0.125 B0.25 C0.375 D0.5

63

43 设 A、B 为任意两个事件,则有( ) A(A∪B)-B=A B(A-B)∪B=A (A∪B)-B CB 包含于 A D(A-B)∪B 包含于 A

44 某人射击三次,其命中率为 0.7,则三次中至多击中一次的概率为( ) A0.027 B0.081 C0.189 D0.216 45 连续抛一枚均匀硬币 6 次,则正面至少出现一次的概率为( ) A 1/64 B3/64 C5/64 D 63/64

46 设事件 A,B 相互独立,且 P(A)=0.5,P(B)=0.2, 则 P(A∪B)=( ) A0.2 B0.3 C0.4 D0.6

47 某人工作一天出废品的概率为 0.2, 则工作四天中仅有一天出废品的概率为 ( ) A0.4091 B0.4092 C0.4096 D0.4093 48 袋中有 5 个黑球 3 个白球,从中任取 4 个球中恰有 3 个白球的概率为( ) A 1/12 B 1/13 C1/14 D 1/15 49 设随机变量 X 服从参数为的指数分布 1/2,则 E (X)=( A 1/4 B1/2 C2 D4 )

50 若事件 A、B 相互独立,且 P(A)=0.4,P(B)=0.5,则 P(A+B)=( ) A0.7 单选题答案 1B 11B 21D 31D 41B 2B 12C 22D 32C 42A 3A 13B 23A 33B 43C 4 B 14D 24C 34A 44D 5 D 15B 25B 35D 45D 6D 16C 26A 36D 46D 7D 17A 27A 37D 47C 8C 18D 28D 38A 48C 9D 19C 29B 39B 49C 10A 20C 30A 40A 50A B0.8 C5/7 D4

多项选择题 1 若事件 AB 且 P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A-B)=( A0.1 B0.2 C0.3 D3/10 E0.4 )。

64

2 若事件 AB 且 P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A-B)=( A0.1 B0.2 C0.3 D3/10 E0.4

)。

3 甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为 0.7,乙击中敌机的概 率为 0.8.求敌机被击中的概率为( )。 A0.91 B0.92 C0.93 D0.94 E47/50

4.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不少于二个发生可表示为( )。 A(AB+AC+BC) B(BA+CA+CB) C(A=B) D(A+C) E(B+C) 5.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为 0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为( )。 A0.493 B0.492 C0.496 D 62/125 E0.497

(

6.某人进行射击,每次命中的概率为0.6 独立射击4次,则击中二次的概率为 )。 A0.3421 B0.3422 C0.3457 D0.3456 E216/625 7.若事件 A 与事件 B 相互独立,且 P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=( ) A0.1 B0.5 C1/2 D50.00% E40

8.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为 0.6,乙击中敌机的概 率为 0.5.求敌机被击中的概率为( ) A0.7 B0.8 C4/5 D80.00% E8

9 三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为 0.8,0.8,0.7,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为( ) A0.862 B0.863 C0.864 D 108/125 ) E30.00% ) E0.8

10 若事件 AB 且 P(A)=0.5, P(B) =0.2 ,则 P()=( A0.3 B0.4 C0.5 D 3/10

11 若事件 A 与事件 B 互不相容,且 P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A`B)=( A0.4 B0.3 C0.5 D 1/2 E50.00% 12 保险箱的号码锁定若由四位数字组成,则一次就能打开保险箱的概率为( ) A 1/10 B1/100 C0.001 D0.0001 E 万分之一 13 下列属于抽样调查的特点的是( ) A 经济性 B 时效性 C 广泛性
65

D 客观性

E 客观性

14 书架上一共有 3 本英文书,2 本法文书,5 本中文书,从中任取一本,则取得的 书是外文书的概率( )A0.1 B0.5 C1/2 D50% E5 15 小明打开收音机,想听电台报时(1 小时报一次时),则他等待的时间小于 1 刻钟的概率是( ) A0.25 B1/4 C25% D25 E30 16 书架上一共有 3 本英文书,2 本法文书,5 本中文书,从中任取一本,则取得的 书是外文书的概率( )A0.5 B 1/2 C50% D5 E50 17 甲、乙两人向同一目标射击,甲命中的概率为 0.6,乙命中的概率为 0.5,则目 标被两人都击中的概率为( ) A0.4 B0.5 C0.3 D3/10 E30% 18 已知 P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则 P(AIB)= ( ) A0.18 B0.18% C18 D1.8 E8

19 一个袋内有 5 个红球,3 个白球,2 个黑球,任取 3 个球恰为一红、一白、一黑 的概率为( ) A0.25 B1/4 C25% D2.5 E25 20 一种动物的体重 X 是一随机变量,设 E(X)=33, D(X)=4,10 个这种动物的平均 体重记作 Y,则 D(Y)=( ) A0.2 B0.3 C0.4 D2/5 E4 21 三个人独立地向一架飞机射击,每个人击中飞机的概率都是 0.4,则飞机被击 中的概率为( ) A0.784 B0.785 C784/1000 D7.84 E78.4 22 甲、乙两射手射击一个目标,他们射中目标的概率分别是 0.7 和 0.8.先由甲射 击,若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的,则目标被射中的概率为( ) A0.94 B94/100 C0.95 D95/100 E0.96 23 人独立编写同一计算机程序,他们各自能成功的概率分别是 0.3, 0.6, 0.5, 则能将此程序编写成功的概率是( ) A0.86 B0.83 C0.85 D86/100 E0.87

24 若 D(X)=36,D(Y)=49,cov(X,Y)=21,则 X 与 Y 的相关系数为( ) A0.5 B1/2 C0.4 D0.3 E0.1

25 已知 P(A)=0.6, P(B|A)=0.3 则 P(AB)=() A0.18 多选题答案 1CD 2CD 3DE 4AB 5CD 6DE 7BCD 8BCD 9DE 10ADE B0.19 C0.29 D9/50 E0.5

66

11CDE 20CD

12DE 21AC

13ABC 22AB

14BCD 23AD

15ABC 24AB

16ABC 25AD

17CDE

18AB 19ABC

判断题 1. 概率函数与密度函数是同一个概念。( × ) 2. 当 N 充分大时,超几何分布 H (n, M, N)可近似成泊松分布。( × ) 3. 事件的对立与互不相容是等价的。( ×) 4. 只要是随机变量,都能计算期望和方差。( × ) 5. 期望反映的是随机变量取值的中心位置,方差反映的是随机变量取值的分散程度。 ( √ ) 6. 方差越小,随机变量取值越分散,方差越大越集中。(× ) 7. 方差的实质是随机变量函数的期望。( √ ) 8. 样本矩与总体矩是等价的。( × ) 9. 矩估计法的基本思想是用总体矩代替样本矩,故矩估计量不唯一.( × ) 10. 事件的对立与互不相容是等价的。( ×) 11. 袋中有编号为 0,l,2,3,4 的 5 个球.今从袋中任取一球,取后放回;再从袋中 任取一球,则取到两个 0 号球的概率为 2/25(× ) 12. 设 A,B 为随机事件,则事件“A,B 至少有一个发生”可由 A,B 表示为 AUB( √ ) 13. 设 X 表示某射手在一次射击中命中目标的次数,该射手的命中率为 0.9 则 P{X=0}=0.2( ×) 14. 设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 N(0,0;1,l;0),则(X,Y)的概率密度 F(x,y)=0× 15. 设二维随机变量(X,Y)服从区域 D:-l≤x≤2,0≤y≤2 上的均匀分布,则(X,Y)的 概率密度 f(x,y)在 D 上的表达式为 1/6( √ ) 16. 在一次读书活动中,某同学从 2 本科技书和 4 本文艺书中任选 2 本,则选中的书都 是科 技书的概率为 1/16( × ) 17. 设随机事件 A 与 B 相互独立,且 P(A)=0.5,P(A`B) =0.3,则 P(B)=0.4( √ ) 18. 设 A, B 为随机事件, P (A) =0.5, P (B) =0.4, P (A│B) =0.8, 则P (B│A) =0.64( √) 19. 设袋中有 2 个黑球、3 个白球,有放回地连续取 2 次球,每次取一个,则至少取到 一个 黑球的概率是 16/25( √ ) 20. 设二维随机变量(X,Y)在区域 D 上服从均匀分布,其中 D:0≤x≤2,0≤y≤2. 记(X, Y)的概率密度为 f(x,y),则 f(1,1)=0.26( × ) 21. 设随机变量 X 服从参数为 3 的泊松分布,则 E(X-3)=0(√ ) 22. 设随机变量 X~N(1,1),应用切比雪夫不等式估计概率 P{│X-E(X)│≥2}≤ 0.27( )× 23. 袋中有 5 个黑球,3 个白球,从中任取的 4 个球中恰有 3 个白球的概率为 1/14( √ ) 24. 某地一年内发生旱灾的概率为 则在今后连续四年内至少有一年发生旱灾的概率 为 65/81( √ ) 25. 设某个假设检验的拒绝域为 W,当原假设 H0 成立时,样本(x1,x2,?,xn)落入 W 的概率是 0.1,则犯第一类错误的概率为 0.2( × )
67

26. 设 A,B 为两个随机事件,且 A 与 B 相互独立,P(A)=0.3,P(B)=0.4,则 P(A `B ) =0.18( √ ) 27. 设随机事件 A 与 B 互不相容,且 P(A)=0.2,P(A∪B)=0.6,则 P(B)=0.3( × ) 28. 设事件 A 与 B 相互独立,且 P(A∪B)=0.6,P(A)=0.2,则 P(B)=0.5(√ ) 29. 10 件同类产品中有 1 件次品,现从中不放回地接连取 2 件产品,则在第一次取得 正品的条件下,第二次取得次品的概率是 8/15( √ ) 30. 某工厂一班组共有男工 6 人、女工 4 人,从中任选 2 名代表,则其中恰有 1 名女工 的概率为 3/2( ×) 31. 设随机变量 X~U (0, 5), 且 Y=2X, 则当 0≤y≤10 时, Y 的概率密度 fY (y)=1/10( √ ) 32. A、B 互斥且 A=B,则 P(A)= 0( √ ) 33. 设 A、B 为二事件,P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A `B) =0.6,则 P(A∪B)= ( 0.87 ) × 34. "设某试验成功的概率为 0.5,现独立地进行该试验 3 次,则至少有一次成功的 概 率为 0.875 。( √) 35. 把 9 本书任意地放在书架上,其中指定 3 本书放在一起的概率为 1/12。( √ ) 36. 设 A、B 为随机事件,且 P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(BA)=0.8,则 P(A+B)=0.8 0 (×) 37. 设 A、B 为随机事件,且 P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8,则 P(A+B)=0.7( √ ) 38. 39. 40. 41. 42. 43. 某射手对目标独立射击四次,至少命中一次的概率为 79/81 × 设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布,且 Y =3X -2, 则 E(Y)=4( √ ) 设随机变量 X 服从[0,2]上的均匀分布,Y=2X+1,则 D(Y)=(2/3) × 设 X~B(2,p),Y~B(3,p),且 P{X ≥ 1}=5/9,则 P{Y≥ 1}=19/271( √ ) 设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布,且 Y =3X -2, 则 E(Y)=3× 概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的, 这个原理称为小概率事件原理 ( √) 44. 设 X 是 10 次独立重复试验成功的次数,若每次试验成功的概率为 0.4 则 E(X2)=(18.3)× 45. 设总体 X 服从二项分布 B(2,0.3),为样本均值,则 E( )=0.6( × ) 46. 盒中有 4 个棋子,其中 2 个白子,2 个黑子,今有 1 人随机地从盒中取出 2 个棋子, 则这 2 个棋子颜色相同的概率为 1/2( × ) 47. 设相互独立的随机变量 X,Y 均服从参数为 1 的指数分布,则当 x>0,y>0 时,(X, Y)的概率密度 f (x,y)=E(× ) 48. 在假设检验中,犯第一类错误的概率为 0.01,则在原假设 H0 成立的条件下接受 H0 的概率为 1( × ) 49. 同时扔 3 枚均匀硬币,则至多有一枚硬币正面向上的概率为 1/2( √ ) 50. 已知 P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AC)=0,P(AB)=P(BC)=则 A、B、C 中至少有一个发生 的概率 0.45 (√ ) 名词解释 1 随机试验:可以在相同的条件下重复进行,实验的结果是明确的,可知道的,并且不 止一个的,并且每次试验总是恰好出现在这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却 不能确定出现哪一个的结果的试验。 2、统计包括三方面的涵义:统计活动、统计资料、统计学 3、统计资料:即统计信息,它集中、全面、综合地反应国民经济和社会发展的现象和

68

过程 4、统计学:即统计理论,是一门独立的方法论科学,它根据自己的研究对象,系统的 阐述统计理论的方法 5、统计总体:是根据一定的目的和要求所确定的研究事物的全体,它是由客观存在的, 具有某种共同性质的许多个别单位构成的整体。 6、总体单位:是指构成总体的个体单位,它是总体的基本单位。(又称个体) 7、指标:是反映社会经济现象总体数量特征的概念和数值。 8、离散变量:数值都是以整数位断开的,其数值要用计算的方法取得 9、确定性变量:变量值的变动受制于某种决定性因素,致使其沿着一定的方向变动 10、随机变量:影响变量值变动的因素有很多,作用不同,因而变量值变动无确定方向 11、统计指标体系:将反映社会经济现象数量特征的一系列相互依存、相互联系的统计 指标有机结合所组成的整体 12、评价指标:反映社会经济总体的结构、比例、速度以及利用状况和效益、效果的统 计指标 13、统计报表:是按国家统一规定的表式,统一的指标项目、统一的报送时间,自下而 上逐级定期提供基本统计资料的调查方式方法 14、专门调查:是为了解与研究某社会情况而专门进行的调查 15、经常性调查:随着被研究现象的变化连续不断的进行登记 16、抽样调查:就是按随机原则,从研究总体的所有单位中,抽取部分单位作为样本, 然后以样本的观测或调查结果对总体的数量特征做出具有一定可靠程 度和精度的估计或推测的一种非全面统计调查方法 17、简单随机抽样:又称纯随机抽样。是不对总体做任何处理,直接按随机原则抽取调 查单位。 18、等距抽样:又叫机械抽样,是先将总体各单位按某一标志进行排队,根据既定的抽 样比例确定抽样间距,然后按一定顺序等间隔地抽取一样本单位。 19、分类抽样:又叫分层抽样或分类抽样。是将总体中的所有单位先按某一主要标志分 成若干(或组),使组内各单位标志表现比较接近,然后从各类中 随机抽取一部分单位,共同组成样本。 20、整群抽样:是先将总体划分为若干个群,每一群内包含若干个单位,然后随机抽取 一部分群作为样本群, 对样本群中的所有总体单位进行全面调查的 调查方式。 21、原始记录:基层填报单位以一定的表格形式对各生产经营或业务管理活动所做的直 接地第一手记录 22、重点调查:是专门组织的一种非全面调查,它是对所要调查的全部单位选择一部分 重点单位进行调查。 23、问卷调查:又称调查表或询问表,是统计调查的重要工具,是一种以书面形式 记 载和反映被调查对象的反映和看法,从而获得所需资料和信息的表式。 24、统计整理:是对统计调查所搜集到的原始资料进行科学的加工整理,使用 之条理 化、系统化,氢反映总体单位的大量原始资料,转化为反映总体的基本统 计指标,统计工作的这一过程。 25、频数分布:在统计分组的基础上,将总体中所有单位按组归类管理,形成总体中各 个单位在各组间的分布 26、频数:各组的单位数。即次数。频数愈小,作用愈小 27、频率:将各组的单位数与总体单位数对比,求得用百分比表示的相对数,即比率

69

28、分布数列:按品质标志分组形成的分布数列成为属性分布数列 29、变量分布数列:按数量标志分组形成的分布数列 30、单变量数列:有称单项数列,其每一个组只用一个变量值表示,在数量标志变动不 太大、变量值的项数不多的情况下,采用这种变量数列 问答题 1、 品质标志和数量标志有什么不同? 品质标志是表明总体单位属性方面的特征,其标志表现不是数量的,只能用文字表 现。 数量标志是可用数值表示的特征。 2 试述统计学研究的对象和统计学的特点。 统计学的研究对象是大量社会经济现象总体的数量方面。 特点:总体性、数量性、具体性、社会性。 3 如何理解变异和变量的含义? 变异是可变标志的标志表现由一种状态变到另一种状态,标志和指标的具体表现不 同。 变量是以数值来反映现象特征的抽象化概念,包括数量标志和所有统计指标。 4 试述统计指标体系和表现形式。 统计指标体系是具有内在联系的一系列指标构成的整体,包括基本统计指标体系和 专题统计指标体系。表现形式:数学等式关系、互相补充关系、相关关系。 5 统计整理的主要内容(程序)有哪些? 1 根据统计研究的目的设计整理汇总方案。 ○ 2 对原始统计数据资料的审核。 ○ 3 对数据资料分组和汇总。○ 4 对整理好的资料再进行一次审核,改正在汇总过程 ○ 中发生的各种差错。⑤编制统计表绘制统计图。⑥统计资料的积累和保管。 6 试述统计分组的作用 1 划分现象类型。○ 2 研究总体结构。 ○ 3 研究现象之间的依存关系。 ○ 7、如何编制变量数列? 1 将调查获得的原始资料按数值大小排列。○ 2 确定编制数列的类型。 ○ 3 确定组数和组距。○ 4 确定各组的单位数进行具体的编制。 ○ 5 绘制次数分布直方图观察总体分布特征。 ○ 8 试述平均指标的含义和作用。 平均指标反映同质总体各单位在一定时间、地点条件下的一般水平的综合指标,是 总体内各单位参差不齐的标志值的代表值,也是对变量分布集中趋势的测定。 作用:○ 1 便于进行对比分析。 2 可以作为判断事物的标准过依据。 ○ 9、运用平均指标应该注意哪些问题? 1 必须是同质的量方可平均。○ 2 总平均数与组平均数结合分析。 ○
70

3 平均数与典型值和分配数列结合分析。○ 4 集中趋势与离散趋势结合分析。 ○ 10、试述标志变异指标的含义和作用。 标志变异指标又称标志变动度,它是用来反映总体中各单位标志值的差异程度和平 均数的代表性的统计指标。表明总体各单位标志值的变动范围和离散程度。 作用:第一,可以衡量平均指标的代表性。第二,可以反映社会经济现象发展变化 的稳定性和均衡性。第三,计算抽样误差的基础。 11、试述影响抽样误差的因素. 1 总体各单位标志值的差异程度。 ○ 2 样本容量的大小。○ 3 抽样方法的不同。 ○ 4 抽样组织方式的不同。 ○ 12、阐述假设检验的步骤。 1 提出原假设和备择假设。○ 2 选择适当的统计量,并确定其分布形式。 ○ 3 规定显著性水平 a,确定临界值。 ○ 4 根据样本资料,计算检验统计量的值。 ○ 5 做出结论。 ○ 13、影响样本容量的因素有哪些? 1 总体标志变动度。○ 2 抽样极限误差。○ 3 概率保证程度。 ○ 4 抽样方法和方式。○ 5 总体单位数目多少(即总体容量)。 ○ 14 试述指数体系的含义和作用. 指数体系是指经济上有一定联系、数量上保持一定对等关系的若干指数构成的有机 整体。 作用:○ 1 利用指数体系,可进行指数之间的相互推算。 2 利用指数体系进行因素分析。 ○ 15 简述时点指标与时期指标的特点。 答:时期指标的特点: (1)可加性; (2)指标值的大小与所属时间的长短有直接关系; (3)指标值采用连续统计的方式获得。 时点指标的特点:(1)不可加性;(2)指标数值的大小与时点间隔的长短一般没有直 接关系;(3)指标值采用间断统计的方式获得。 16 试述数量指标和质量指标的含义。 答:数量指标也称总量指标,它是反映现象总体某一方面绝对数量特征的指标,表明现 象所达到的总规模、总水平或工作总量。 质量指标是反映现象总体内在对比关系或总体间对比关系的指标, 表明现象所达到的相 对水平、平均水平、工作质量或相互依存关系。 17 如何设计统计数据收集方案? 答:一般而言,统计数据收集方案应包括以下内容: (1)数据收集目的(2)数据收集对象和观测单位(3)观测标志和调查表(4)数据收

71

集方式与方法(5)数据所属时间和数据收集期限(6)数据收集地点(7)数据收集的 组织(8)数据及其类型 18 试述统计分组的意义和统计分组应遵循的原则。 答:统计分组就是根据统计研究的目的和事物本身的特点,选择一定的标志(一个或几 个)将研究现象总体划分为若干性质不同的组的一种统计研究。 统计分组必须遵循以下两个原则:a、穷尽原则;b、互斥原则。 19 简述平均指标的概念及其作用。 答:是将变量的各变量值差异抽象化,以反映变量值一般水平或平均水平的指标,即反 映变量分布中心值或代表值的指标。 其主要作用有以下几个方面: (1)反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水平; (2)便于比较同类现象在不同单位间的发展水平; (3)能够比较同类现象在不同时期的发展变化趋势或规律; (4)分析现象之间的依存关系; (5)可以作为研究和评价事物的一种数量标准或参考。 20 简述离散指标的概念及其作用。 答:离散指标也称变异指标或标志变动度指标,是反映变量值变动范围和差异程度的指 标,即反映变量分布中各变量值远离中心值或代表值程度的指标。 作用:(1)可以用来衡量和比较平均数的代表性; (2)可以用来反映各种现象活动过程的均衡性、节奏性或稳定性; (3)为统计推断效果提供依据。 21 简述算术平均数、中位数和众数三者的数量关系说明什么样的变量分布特征。 答:中位数、算术平均数、众数三者完全相等时,变量分布完全对称(正态分布); 中位数、算术平均数、众数三者存在差异时,变量分布不对称。在轻微偏态时,众数与 算术平均数的距离约等于中位数与算术平均数距离的 3 倍。 22 试述抽样分布的含义和影响因素。 答:(1)抽样分布就是样本统计量的概率分布,它由样本统计量的所有可能取值和与 之对应的概率所组成。(2)影响因素:①总量分布;②样本容量;③抽样方法;④抽 样组织形式;⑤估计量构造。 23 试述抽样估计的优良标准(评价抽样分布的优良准则) 答:抽样估计的优良标准是: (1)无偏性,即所有可能的样本指标的平均数等于总体指标的平均数; (2)一致性,随着样本容量的增大,估计量的值会越来越靠近总体参数的真值; (3)有效性,即用样本指标来估计总体指标,其方差比其他估计量小,是更为优良的 估计量。 (4)充分性,若估计量提取了样本中包含的有关总体参数的全部信息,则为充分估计 量, 24 简述检验功效的含义。 答:1-? 越大,意味着当原假设不真实时,检验判断出原假设不真实的概率越大,检验 的判断能力就越好;1-? 越小,意味着当原假设不真实时,检验判断出原假设不真实的 概率越小,检验的判断能力就越差。1-? 是反映统计检验判别能力大小的重要标志,故 把 1-? 称之为检验功效或检验力。 25 编制时间数列应遵循哪些原则? 答:编制时间数列应遵循以下原则: (1)时间的一致性 (2)总体范围的一致性
72

(3)经济内容的一致性(4)计算方法的一致性 论述题 1 论述抽样调查、重点调查和典型调查这三种非全面调查的区别。 1 选取调查单位的方式不同。 ○ 重点调查:根据重点单位的标志总量是否占全部单位总量的绝大比重。 抽样调查:按随机原则从总体单位中抽取一部分。 典型调查:具有代表性的少数单位,具有突出特征。 2 调查目的不同。重点调查:了解总体基本情况。抽样调查:了解总体全面情况。 ○ 典型调查:了解总体一般情况。 3 推算总体指标的准确性和可靠程度不同。 ○ 抽样调查可保证推断的准确性和可靠性,典型调查难以保证推断结果的准确性和可 靠性。 2 论述抽样调查的组织方式以及各种各种组织方式的条件。 简单随机抽样:主要适用于总体单位数目不多且总体单位的差异性不大时和对调查 对象的情况很少了解时。 等距抽样:第一,总体由自然顺序排列形成,第二,大规模的抽样调查;第三,调 查人员的素质不太高时。 整群抽样:其一,总体单位数很多,分布很广,且缺乏包括全部总体单位的抽样框 时,可采用整群抽样;其二,当总体是由一些情况相同,结构类似的较复杂群体所 组成时,可采用整群抽样;其三,当调查费用和调查时间比较紧张时,可采用整群 抽样,省时省力。 多阶段抽样:一是调查面非常广,并且不占有过去的历史资料,无法或很难获得一 个包括所有总体单位的抽样框时,或总体范围太大无法抽取样本时,须采用多阶段 抽样;二是有现成的行政区划、地理范围或组织系统可作为划分多阶段的依据时, 常采用多阶段抽样。 3 论述抽样推断(抽样估计)的特点和意义。 特点:○ 1 抽样推断遵循随机原则。○ 2 抽样推断是由部分推断总体的调查方法。 3 抽样误差可以事先计算和控制。○ 4 抽样推断运用概率估计的方法。 ○ 5 是一种非全面调查。 ○ 意义:○ 1 可以对某些总体的某种假设进行检验。 2 对于具有破坏性的试验或检验,必须进行抽样推断。 ○ 3 可以补充或修正全面调查的数据。 ○ 4 可以用于工业生产过程中的质量控制。 ○

73

5 可以用于大规模总体或无限总体的调查。 ○ 4 相关分析与回归分析有何区别与联系? 答:相关分析:广义上讲,对两个或两个以上现象之间数量上的不确定性依存关系进行 的统计分析。回归分析:对具有相关关系的的两个或两个以上变量之间数量变化的一般 关系进行测定,确定因变量和自变量之间数量变动关系的数学表达式,以便对因变量进 行估计或预测的统计分析方法。区别:(1)回归分析必须根据研究目的的确定其中一 个为因变量,其余为自变量;相关关系可以不区分。在相关分析中,两个变量要求都是 随机的(2)而在回归分析中,要求因变量是随机的,而自变量的值则是给定的。若变 量之间互为因果,或是没有明显因果关系,则可以求出两个回归方程(3)对于相关分 析来说,两个变量之间只能求出一个相关系数。(4)回归方程有较强的应用性。 联系:相关分析的主要任务是研究变量间相关关系的表现形式和密切程度,而回归分析 师在相关分析的基础上,进一步研究现象之间的数量变化规律。 5 时期数列与时点数列有什么区别? 答:时期数列与时点数列区别为: (1)时期数列中不同时间的指标数值可以累计;时点数列中不同时点上数值不可以累 计(或相加没有意义)。(2)时期数列指标值的大小和时期长短有直接关系。一般来 说,时期越长,数值越大;时点数列指标数值的大小和时间长短无直接关系。(3)时 期数列指标值一般是通过连续登记获取的; 时点数列时点指标的数值一般是通过不连续 登记取得的。 6 序时平均数(动态平均数)与静态平均数(一般平均数)有何异同? 答:共性:都反映现象的一般水平或者代表性水平,都是平均数。 差别:(1)一般平均数把同质总体某一数量标志在某一时间上的水平抽象化,从静态 反映现象的一般水平或代表性水平, 而序时平均数则把同一现象在不同时间上的差异抽 象化,从动态上反映现象的一般水平或代表性水平;(2)静态平均数是根据变量数 7 简述并举例说明品质标志与数量标志的区别 答:品质标志是表明总体单位属性方面的特征,其标志表现只能用文字来表示。品质标 志本身不能直接汇总为统计指标, 只有对其标志表现所对应的单位进行汇总才能形成统 计指标,即总体单位总量。数量标志表明总体单位数量方面的特征,其标志表现可以用 数值表示,即标志值,它们从不同方面体现出总体单位在具体时间、地点条件运用的结 果。 数量标志值可以直接汇总综合出数量指标。 如品质标志 “性别” , 其标志表现是 “男 (女)”;数量标志“年龄”,其标志表现为“17”岁、“18”岁、“35”岁等等。 8 简述并举例说明重点调查与典型调查的不同 答:重点调查是专门组织的一种非全面调查,它是对所要调查的全部单位中选择一部分 重点单位进行调查。例如:对大型煤矿的产量及劳动生产率和生产成本的调查。典型调 查是根据调查的目的和任务,对所研究的总体的现象总体进行初步分析的基础上,有意 识地选取若干具有代表性的单位进行调查研究, 借以认识事物的发展规律。 它们不同有: (1)选取单位的方式不同。重点调查是是根据重点单位标志总量是否占全部单位标志 总量的绝大比重来确定; 而典型调查中调查单位是在对总体情况分析的基础上有意识地 抽选出来的;(2)调查目的不同。重点调查的目的是掌握基本情况;而典型调查是用 于分析研究并推断总体。(3)推断总体的可靠性和准确性不同。重点调查不能用来推 断总体,而典型调查虽然可以推断总体,但由于是有意识地选取单位,所以难以保证可 靠性和准确性。 9 论述统计学的学科性质。

74

(1)、统计学就其研究对象而言,具有数量性、总体性和差异性的特点。统计学 的研究对象是各种现象的数量方面。 (2)、统计学就其学科范畴而言,具有方法性、层次性和通用性的特点。 (3)、统计学就其研究方式而言,具有描述性和推断性的特点。 10 试述循环变动与季节变动的联系和区别 答:联系:都是影响时间序列变动的因素. 区别:季节变动是指客观现象由于受自然因素和生产或生活条件的影响 ,在一年内随着 季节的更换而引起的比较有规律的,可以预测的周期变动.循环变动的周期在一年以上, 且周期长短不同,没有固定的变动期限和明显的规律性,很难事先预知.

75


赞助商链接
相关文章:
概率论与数理统计知识点及练习题
概率论与数理统计知识点及练习题 - 第一章 概率论的基本概念 概率的定义 §1.2 一、 概率的性质 (1) 0 ? P( A) ? 1. (2) P(?) ? 0 , P( S...
2016概率论与数理统计练习题(一)
2016概率论与数理统计练习题(一) - 2016 概率论与数理统计模拟题(一) 一、 选择题 1、已知随机变量 X 的概率密度为 f X ( x) ,令 Y ? ?2 X ,则 ...
2017-2017概率论与数理统计期末复习试题
2017-2017概率论与数理统计期末复习试题 - 概率论与数理统计期末复习题一 一、填空题(每空 2 分,共 20 分) 1、设 X 为连续型随机变量,则 P{X=1}=( )...
大学概率论与数理统计试题三套(附答案)
大学概率论与数理统计试题三套(附答案)_工学_高等教育_教育专区。大学数学 南京工业大学 概率论与数理统计课程考试试题(A、闭) (2008/2009 学年第二学期)院(...
2016年10月自考概率论与数理统计(二)(02197)试题及答案...
2016年10月自考概率论与数理统计(二)(02197)试题及答案解析 - 2016 年 10 月高等教育自学考试全国统一命题考试 概率论与数理统计(二) (课程代码 02197) 试卷 ...
概率论与数理统计练习题
概率论与数理统计练习题_教育学_高等教育_教育专区。考研真题 概率论与数理统计模拟练习题一、单项选择题 1. ( 2016 数三)设 A 、 B 为两个随机事件,且 0...
《概率论与数理统计》期末考试试题及答案
概率论与数理统计》期末考试试题及答案 - 《概率论与数理统计》期末考试试题(A) 专业、班级: 题号得分一、单项选择题(每题 3 分共 18 分) 1.D 2.A 3...
概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)
概率论与数理统计试题库及答案(考试必做) - <概率论>试题 A 一、填空题 1.设 A、B、C 是三个随机事件。试用 A、B、C 分别表示事件 1)A、B、C 至少...
概率论与数理统计试题
概率论与数理统计试题 - 山东财经大学期末考察考试试卷 班级: 姓名: 号数 第一部分 基本题 一、选择题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。在每小题给...
概率论与数理统计试题
概率论与数理统计试题_教育学_高等教育_教育专区。《概率论与数理统计》期末试题(1)一、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 设事件 A, B 仅发生一个的...
更多相关文章: