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高中数学奥赛辅导系列-二次函数与方程、不等式


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二次函数与方程、不等式
基础知识: 一、二次函数 1. 定义:形如 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0 )的函数叫二次函数.
2

2. 二次函数的有关性质

? a ? 0时,开口向上 ① 开口方向 ? ? a ? 0时,开口向下
② 对称轴方程

x??

b 2a

③ 定义域 ? 3. 图象

?自然定义域:R ?指定定义域:D

y

y

a>0

a<0

0
x??
4. 二次函数的解析式 ① 一般式: y ? ax ? bx ? c
2

x
b 2a

0
x?? b 2a

x

② 顶点式: y ? a( x ? m) ? n ,其中(m,n)是二次函数图象的顶点
2

③ 交点式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ,其中 x1,x2 是一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两实
2

根. 二、二次方程 1. 当 f ( x) ? ax ? bx ? c 中, f ( x) ? 0 时,即得到二次方程
2

ax2 ? bx ? c ? 0
其解的几何意义即为二次函数的图象与 x 轴的交点横坐标. 2. 根的判别式 ? ? b ? 4ac
2

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? >0 时,方程有两个不相等的实数根; ? =0 时,方程有两个相等的实数根; ? <0 时,方程无实数根,但有两个共轭的虚数根.
3. 根与系数的关系(韦达定理)

x1 ? x2 ? ?

b a

x1 x2 ?

c a

4. 二次方程根的分布 根的位置<=>图象位置<=>等价条件

ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )
若有二根 x1 ? 1 , x2 ? 1 则 f (1) ? 0 若有二根 x1,x2 ? (2,3)

? f (2) ? 0 ? f (3) ? 0 ? ? 则 ?? ≥ 0 ? ?? b ? (2, 3) ? 2a ?
三、一元二次不等式 一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 (或<0)的解集,即函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的自变
2
2

量的取值范围,使其函数值 f ( x) ? 0 (或<0)的自变量的取值范围. y a>0 y y

0

x1

x2

x

0

x0

x

0

x

??0
例题: 1. 选择题

??0

??0

① f ( x) ? x ? bx ? c 对任意实数 t 都有 f (2 ? t ) ? f (2 ? t ) ,那么(
2



A. f (2) ? f (1) ? f (4)

B. f (1) ? f (2) ? f (4)

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C. f (2) ? f (4) ? f (1)

彰显数学魅力!演绎网站传奇! D. f (4) ? f (2) ? f (1)

解:由题意, f ( x) 的图象关于直线 x ? 2 对称,且图象开口向上,画出示意图,由 图象知 f (2) ? f (1) ? f (4) ,选 A. ② 已知 y ? log a ( x ? 2 x) 在区间 (-∞, 上单调递增, a 的取值范围是 0) 则 (
2 2



A. a ? 1 B. ?1 ? a ? 1 C. a ? R 且 a ? 0 D. a ? ?1 或 a ? 1 解:由函数的单调性的定义知: x 在(-∞,0)上增大时,函数值 y 随之增大,故有以下过程:

x:

增大 -∞ ??? 0 ?

u ? x 2 ? 2 x : +∞ ?减小 ? 0 ? ?
故必有 0<a2<1 ∴ -1<a<1 且 a≠0.选 B ③ 已知函数 y=log 1 (x2-6x+7) ,则 y(
2



A.有最大值没有最小值 B.有最小值没有最大值 C.有最大值也有最小值 D.没有最大值也没有最小值 解:∵ u=x2-6x+7∈[-2,+∞) 而定义域要求 u>0,即 u∈(0,+∞) ∴ b=log0.5u ∴ b∈(-∞,+∞) .选 D 2. 填空题 ①方程 x ? 2 | x |? a (a ? R )有且仅有两个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是
2

_______. 解:令 y1 ? x ? 2 | x | , y2 ? a
2

则 y1 ? ?

? x 2 ? 2 x ( x ≥ 0) ? ,其函数图象如下: 2 ? x ? 2 x ( x ? 0) ?

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思考:a 为何(范围)值时,方程无实数根?有四个实数根?有三个实数根?

②关于 x 的方程 x ? 2ax ? 9 ? 0 的两个实数根分别为 ?,? ,则 (? ? 1) ? ( ? ? 1) 的最小
2
2 2

值是_______________. 解:方程有实数根, 故 ? ? 4a ? 4 ? 9 ≥ 0
2

∴ a ≤ ?3 或 a ≥ 3 又 ? ? ? ? 2a,?? ? 9 ∴ y ? (? ? 1) ? ( ? ? 1) ? (? ? ? ) ? 2(? ? ? ) ? 2?? ? 2 ? 4a ? 4a ? 16
2 2 2

2

∵ a ≤ ?3 或 a ≥ 3 ∴ y ≥ 8 (a=3 时取等号) ∴ ymin ? 8

3.

已 知 函 数 y ? x ?4 a x?2 a?3 0的 图 象 与 x 轴 无 交 点 , 求 关 于 x 的 方 程
2

x 的根的范围. ?| a ? 1 | ? 1 a?3
分析:由于图象与 x 轴没有交点, 所以 ? ? 0 ,解得 a 的取值范围 又对于每一个 a 值,原方程都是一元一次方程,但由于 a 是变化的,可知,x 是 a 的二 次函数,又再转化为二次函数在有限制的区间内的值域问题. 解:∵ y ? x ? 4ax ? 2a ? 30 的图象与 x 轴无交点,所以 ? ? (?4a) ? 4(2a ? 30) ? 0
2 2

解得:-2.5<a<3 (1)当 a∈(-2.5,1]时,方程化为 x=(a+3) (2-a) =-a2-a+6∈( 9 , 25 ] 4 4 (2)当 a∈(1,3)时,方程化为 x=(a+3)a=a2+3a∈(4,18) 综上所述:x∈(

9 ,18) 4

4.

设 a,b 为实常数,k 取任意实数时,函数 y=(k2+k+1)x2-2(a+k)2x+(k2 +3ak+b)的图象与 x 轴都交于点 A(1,0) .

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① 求 a、b 的值; ② 若函数与 x 轴的另一个交点为 B,当 k 变化时,求|AB|的最大值. 分析:由 A 在曲线上,得 k 的多项式对 k 恒成立,即可求的 a,b 的值. 解:⑴由已知条件,点 A(1,0)在函数图象上, 故(k2+k+1)-2(a+k)2+(k2+3ak+b)=0 整理得: (1-a)k+(b+1-2a2)=0 ∵ 对 k∈ R ,上式恒成立 ∴ 1-a=0 且 b+1-2a2=0 从而 a=1,b=1 y=(k2+k+1)x2-2(k+1)2x+(k2+3k+1) ⑵设 B( ? ,0) ,则|AB|=| ? -1| 2 ∵(k +k+1)x2-2(k+1)2x+(k2+3k+1)=0 的两个根为 1、 ? ,由韦达定理 1? ? =

k 2 ? 3k ? 1 k 2 ? k ?1
2

整理得: (1 ? ? )k ? (3 ? ? )k ? (1 ? ? ) ? 0

? =1 时,得 2k=0 ?k=0 ? ≠1 时,∵ k∈ R ,∴ ?≥ 0
即 (3 ? ? ) ? 4(1 ? ? ) ≥ 0
2

得: ?1 ≤ ? ≤ 且 ? ? 1 综合得: ?1 ≤ ? ≤ ∴

5 3

∴ |AB|=| ? -1|∈[0,2] 即|AB|的最大值为 2. 设实数 a、b、c 满足 a -bc-8a+7=0 …………① 2 2 b +c +bc-6a+6=0 …………② 求 a 的取值范围. 分析:如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题,转化为只含有 a 的不等式,是解 决本题的关键,仔细分析观察方程组的特点,发现可以利用 a 来表示 bc 及 b+c,从而用韦 达定理构造出 a 为变量的一元二次方程,由 ?≥ 0 建立 a 的不等式. 解:由①得:bc=a2-8a+7 …………③ 由①②得: (b+c)2=a2-2a+1 即 b+c=± (a-1) …………④ 由③④得 b,c 为方程 x2± (a-1)x+(a2-8a+7)=0 的两个实数根, 5.
2

5 3 2 ?2 ≤ ? ? 1 ≤ 3

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由于 b,c∈R,所以 ?≥ 0 即:[± (a-1)]2-4(a2-8a+7)≥0 即:a2-10a+9≤0 得:1≤a≤9

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6.

设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a>0) ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两个根 x1,x2 满足
2

0 ? x1 ? x2 ?

1 . a

I.当 x∈(0, x1 )时,证明 x< f ( x) < x1 ; Ⅱ.设函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? x0 对称,证明: x0 ?

x1 . 2

分析:由于涉及方程根的问题,故需用韦达定理来分析和解决. 证明: I.令 F(x)=f(x)-x. 因为 x1、x2 是方程 f(x)-x=0 的根,得 F(x)=a(x-x1) (x-x2) 当 x∈(0,x1)时,由于 x1<x2, x-x1<0,x-x2<0 得(x-x1) (x-x2)>0,又 a>0,得 F(x)=a(x-x1) (x-x2)>0 即 x<f(x) . 而 x1-f(x)=x1-[x-F(x)] =x1-x+a(x-x1) (x-x2) =(x1-x)[1-a(x-x2)] 因为 0<x<x1<x2< 所以 x1-x>0, 1-a(x-x2)>1-a· 得 x1-f(x)>0 即 f(x)<x1. Ⅱ.依题意知 x0=- b . 2a 因为 x1,x2 是方程 f(x)-x=0 的根,即 x1,x2 是方程 ax +(b-1)x+c=0 的根, 所以 x1+x2=-
2

1 a

1 >0 a

b ?1 a

x0=- b ? a( x1 ? x2 ) ? 1 ? ax1 ? ax2 ? 1 2a 2a 2a 因为 ax2 ? 1 ,所以 x0 ?

ax1 x1 ? . 2a 2
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7.

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若关于 x 的二次方程 7x2-(p+13)x+p2-p-2=0 的两根 ?,? 满足 0< ? <1 < ? <2,求实数 p 的取值范围.

解:设 f(x)=7x2-(p+13)x+p2-p-2

? f (0) ? 0 ? 根据题意得: ? f (1) ? 0 ? f (2) ? 0 ?

? p2 ? p ? 2 ? 0 ? 2 即 ?p ? 2p ?8 ? 0 ? p2 ? 3 p ? 0 ?
解得:p∈(-2,-1)∪(3,4) .

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