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2017_2018学年高中数学课时跟踪训练十三最大值最小值问题北师大版选修2_22018022223

课时跟踪训练(十三) A.等于 0 C.小于 0 3 2 最大值、最小值问题 ) 1.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x)( B.大于 0 D.以上都有可能 ) 2.函数 f(x)=x -x -x+a 在区间[0,2]上的最大值是 3,则 a 的值为( A.2 C.-2 B.1 D.-1 ) 1 x ? π? 3.函数 f(x)= e (sin x+cos x)在区间?0, ?上的值域为( 2? 2 ? A. ? , e 2 ? ?1 1 ?2 2 ? ? ? B. ? , e 2 ? ?1 1 ?2 2 ? ? ? ? ? C.[1,e 2 ] D.(1,e 2 ) 强 径 4.如图,将直径为 d 的圆木锯成长方体横梁,横截面为矩形,横梁的 度同它的断面高的平方与宽 x 的积成正比(强度系数为 k,k>0).要将直 为 d 的圆木锯成强度最大的横梁,断面的宽 x 应为( A. C. ) d 3 3 d 3 B. D. d 2 2 d 2 1 x -x 5.设 x0 是函数 f(x)= (e +e )的最小值点,则曲线上点(x0,f(x0))处的切线方程是 2 ________. 6.已知函数 f(x)=x -12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M-m =________. 7.求函数 f(x)=e (3-x )在区间[2,5]上的最值. x 2 3 8.(江苏高考)请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片, 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重 合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F 在 AB 上,是被切去的一个等腰 直角三角形斜边的两个端点.设 AE=FB=x(cm). 1 (1)若广告商要求包装盒的侧面积 S(cm )最大,试问:x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm )最大,试问:x 应取何值?并求出此时包装盒的高与 底面边长的比值. 3 2 答 1.选 A 2.选 B f′(x)=3x -2x-1, 2 案 1 令 f′(x)=0,解得 x=- (舍去)或 x=1, 3 又 f(0)=a,f(1)=a-1,f(2)=a+2,则 f(2)最大,即 a+2=3,所以 a=1. 1 x 1 x x 3.选 A f′(x)= e (sin x+cos x)+ e (cos x-sin x)=e cos x, 2 2 π 当 0≤x≤ 时,f′(x)≥0, 2 ? π? ∴f(x)在?0, ?上是增函数. 2? ? ?π ? 1 π ∴f(x)的最大值为 f? ?= e , ?2? 2 2 f(x)的最小值为 f(0)= . 4. 选 C 设断面高为 h, 则 h =d -x .设横梁的强度函数为 f(x), 则 f(x)=k·xh =k·x(d -x ), 0<x<d.令 f′(x)=k(d -3x )=0, 解得 x=± 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 3 d(舍去负值). 当 0<x< d 时, f′(x)>0, 3 3 f(x)单调递增;当 3 d<x<d 时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以函数 f(x)在定义域(0,d)内 3 3 3 d.所以 x= d 时,f(x)有最大值,故选 C. 3 3 只有一个极大值点 x= 1 x -x 5.解析:f′(x)= (e -e ),令 f′(x)=0,∴x=0, 2 2 可知 x0=0 为最小值点.切点为(0,1),f′(0)=0 为切线斜率, ∴切线方程为 y=1. 答案:y=1 6.解析:令 f′(x)=3x -12=0,解得 x=±2.计算 f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)= -8,f(3)=-1,所以 M=24,m=-8, 故 M-m=32. 答案:32 7. 解: ∵f(x)=3e -e x , ∴f′(x)=3e -(e x +2e x)=-e (x +2x-3)=-e (x+3)(x -1), ∵在区间[2,5]上,f′(x)=-e (x+3)(x-1)<0,即函数 f(x)在区间[2,5]上单调递减, ∴x=2 时,函数 f(x)取得最大值 f(2)=-e ;x=5 时,函数 f(x)取得最小值 f(5)=- 22e . 8.解:设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm). 由已知得 5 2 2 x x 2 x x 2 x x 2 x x a= 2x,h= 60-2x = 2(30-x),0<x<30. 2 2 (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15) +1 800, 所以当 x=15 时,S 取得最大值. (2)V=a h=2 2(-x +30x ),V′=6 2x(20-x). 由 V′=0 得 x=0(舍去)或 x=20. 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0. 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值. 2 3 2 h 1 1 此时 = ,即包装盒的高与底面边长的比值为 . a 2 2 3

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