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北师大版选修(1-1)第三章《变化率与导数》word教案


§ 3.1 变化率与导数(1) 学习目标 1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景; 2.会求函数在某一点附近的平均变化率; 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数。 学习过程 一、新课导学 ※ 学习探究一 问题 1:气球膨胀率,求平均膨胀率 吹气球时,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如 何描述这种现象? 问题 2:高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:米)与起跳后的时间 t(单位:秒) 存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 新知:平均变化率:_______________=_______ 试试:设 y ? f ( x) , x1 是数轴上的一个定点,在数轴 x 上另取一点 x 2 , x1 与 x 2 的差记为 ?x , 即 ?x = 或者 x 2 = , ?x 就表示从 x1 到 x 2 的变化量或增量,相应地, ?y 函数的变化量或增量记为 ?y ,即 ?y = ;如果它们的比值 ,则上式就表示 ?x 为 ,此比值就称为平均变化率. 反思:所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值. ※ 典型例题 2 例 1 已知函数 f ( x) ? x ,分别计算 f ( x ) 在下列区间上的平均变化率: (1)[1,1.1]; (2)[1,2] 变式:已知函数 f ( x) ? ? x2 ? x 的图象上一点 (?1, ?2) 及邻近一点 (?1 ? ?x, ?2 ? ?y) ,则 ?y = ?x 小结 1.函数 f ( x ) 的平均变化率是 2.求函数 f ( x ) 的平均变化率的步骤: (1)求函数值的增量 (2)计算平均变化率 ※ 学习探究二 问题 3:计算运动员在 0 ? t ? 65 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49 ⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 新知: 1. 瞬时速度定义:物体在某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度. 2.导数的概念 从函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是: f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ' x ? x0 出的导数 ,记作 f ' ( x0 ) 或 y |x? x0 ,即 我 们称它为函数 y ? f ( x) 在 lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x ? 1. f ( x0 )与x0的值有关.不同的x0 ,其导数值 f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 一般也不相同. 2. f ?( x0 )与?x的具体取值无关。 3. f ?( x0 )可以不存在。 说明: 4. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称.※ 典型例题 例 2 位移 s(t) (单位:m)与时间 t(单位:s)的关系为:s(t)=3t+1,求t=2时的 瞬时速度v. 练习 f(x)=3x+5,求 f ' (2) 例 3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热. 如果 在第 xh 时,原油的温度(单位: c )为 f ( x) ? x2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) . 计算第 2h 和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 0 小结 利用导数的定义求导,步骤为: 第一步,求函数的增量 ?y ? f (

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