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浙江省台州市09-10学年高二下学期期末质量评估试题答案 数学理


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2 0 台州市 第0 二9学 年 高二期末质量评估试题 学期



理科) 学(理科)

2010. 2010.7 10

(台州中学) (路桥中学) (新河中学) 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题( 有一项是符合题目要求的) 有一项是符合题目要求的) 1.抛物线 y = 4 x 的准线方程是
2

A. x = 1

B. y = 1

C. x = ?1

D. y = ?1

(1 ? i ) 2 2.已知 i 是虚数单位,则 = i
A.2 B.-2 C. i D. ?2i 3.已知向量 a = (2, 4, ?4) , b = (2, x, 4) ,若 a ⊥ b ,则 x 的值是 A. 3 B. ?3 C. 1 D. ?1

4.若 f ( x ) 满足 f ′( x ) = 4 x 3 , f (1) = ?1 ,则 f ( x ) 为 A. f ( x ) = ?1 + x 4 B. f ( x ) = x 4 ? 2 C. f ( x ) = x 3 ? 2 D.f ( x ) = x 4 + 1

5.在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 B 到平面 AB1C 的距离为

A.

6 a 2

B.

3 a 2

C.

3 a 3

D.

a 3

x2 y 2 6.已知 F1、F2 是椭圆 C : 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的两个焦点, P 为椭圆 C 上的一点,且 a b

PF1 ⊥ PF2 ,若 ?PF1 F2 的面积为 9,则 b 的值为
A. 3 7.下列有关选项正确的是 ... A.若 p ∨ q 为真命题,则 p ∧ q 为真命题 B. x = 5 ”是“ x ? 4 x ? 5 = 0 ”的充分不必要条件 “
2 2
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B. 2 3

C. 4

D. 9

C.命题“若 x < ?1 ,则 x ? 2 x ? 3 > 0 ”的否定为: “若 x ≥ ?1 ,则 x ? 3 x + 2 ≤ 0 ”
2

D.已知命题 p : ?x ∈ R ,使得 x + x ? 1 < 0 ,则 ?p : ?x ∈ R ,使得 x + x ? 1 ≥ 0
2 2

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8. 已知点 P 是椭圆 x + 4 y = 4 上的任意一点,A(4, 0) , M 为线段 PA 中点, 若 则点 M 的
2 2

轨迹方程是 A. ( x ? 2 ) + 4 y = 1
2 2

B. ( x ? 4 ) + 4 y = 1
2 2

C. ( x + 2 ) + 4 y = 1
2 2

D. ( x + 4 ) + 4 y = 1
2 2

9.在棱长都为 2 的侧棱垂直于底面的平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, ∠BAD = 60 , 则面 AB1C 与底面 A1 B1C1 D1 所成角的正弦值为
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A.

1 2

B. 2

C.

5 5

D.

2 5 5

10. 设双曲线 心率为 A.

x2 y2 ? = 1 的一条渐近线与抛物线 y = x 2 + 1 只有一个公共点,则双曲线的离 a2 b2

5 4

B. 5

C.

5 2

D. 5

11. 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 底面是正三角形, 侧棱垂直于底面, AB = 若 与 C1 B 所成的角的大小为 A.60° B.90° C.105°

2 BB1 , AB1 则

D.75°
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12.已知函数 f ( x ) = x 3 ? px 2 ? qx 的图象与 x 轴相切于 (1, 0) 点,则 f ( x )

4 ,极小值是 0 27 4 C.极大值为 0 ,极小值为 ? 27
A.极大值是

B.极大值为 0 ,极小值为 D.极大值为

4 27

4 4 ,极小值为 ? 27 27

13. 已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点, 焦点在 x 轴上, 左右焦点分别为 F1、F2 ,
且它们在第一象限的交点为 P , ?PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若双曲线的离心 率的取值范围为 (1, 2) ,则该椭圆的离心率的取值范围是 1 1 2 1 1 2 A. ( , ) B. ( , ) C. ( , ) 3 2 5 2 3 5
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2 D. ( ,1) 5

14.对任意 x ∈ R ,函数 f (x ) 的导数存在,若 f ′( x ) > f ( x) ,且 a > 0 ,则下列结论正确
的是 A. f (a ) < f (0) B. f ( a ) < e ? f (0)
a

C. f (a ) > f (0)

D. f ( a ) > e ? f (0)
a

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二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 填空题( 小题, 15.若 f ( x) = e x + x ,则 f ′(0) = ▲ _.
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16.若 a = (1, ?1, 0), b = (0, ?1,1) ,则 a, b 的夹角大小等于

▲ _.

17.过椭圆

x2 y 2 π + = 1 的右焦点 F 作倾斜角为 的直线与椭圆交于 M 、N 两点, O 为坐 3 2 4
▲ _.
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标原点,则 ?OMN 的面积为

18.已知曲线 f ( x ) = x cos x + 1 在点 (

π
2

, 1) 处的切线与直线 ax ? y + 1 = 0 垂直,则实数

a=

▲ _.

19.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴的正半轴上,点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) 在抛物线上, 若 ?ABC 的重心恰为抛物线的焦点 F , 且 | FA | + | FB | + | FC |= 6 ,则抛 物线的方程为 ▲ _.

20.当 a0 , a1 , a2 成等差数列时,有 a0 ? 2a1 + a2 = 0 ,当 a0 , a1 , a2 , a3 成等差数列时,有

a0 ? 3a1 + 3a2 ? a3 = 0 , a0 , a1 , a2 , a3 , a4 成等差数列时, a0 ? 4a1 + 6a2 ? 4a3 + a4 = 0 , 当 有
由此归纳:当 a0 , a1 , a2 ,? , an 成等差数列时,有 Cn a0 ? Cn a1 + Cn a2 ? ? + (?1) Cn an = 0 ,
0 1 2 n n

如果 a0 , a1 , a2 ,? , an 成等比数列,类比上述方法归纳出的等式为
2



_.

三、解答题(本大题共 5 题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题( 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题 21.(本题满分 6 分) 已知命题 p :当 x ∈ R 时,不等式 x ? 2 x + m > 0 恒成立;命题 q : 方程 x 2 ? my 2 = 1 表示双曲线. 若命题 p 和命题 q 中有且只有一个是真命题, 求实数 m 的取值范围. 22. (本题满分 8 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,PD ⊥ 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是 菱形, AC = 6 3 , BD = 6 , PD = 3 6 , E 、 F 分别是 PB 、 CB 上靠近点 B 的一 个三等分点. (Ⅰ)求证: AC ⊥ DE ; (Ⅱ)求 EF 与平面 PAB 所成角的正弦值.
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P

E D A O (第 22 题) F B

C

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23.(本题满分 8 分)已知数列{

1 }的前 n 项和是 S n . n
2
n

(Ⅰ)分别计算 S 2 ? S1 , S 4 ? S 2 的值,并比较 S

? S 2n ?1 与

1 的大小(不必证明) ; 2

(Ⅱ)求使 S1 + S 2 + ? ? ? + S n ?1 = f ( n)( S n ? 1) 对于大于 1 的正整数 n 都成立的函数 f (n) , 并证明你的结论. 24.(本题满分 8 分)已知椭圆 C 的一个焦点 F 与抛物线 y 2 = 12 x 的焦点重合,且椭圆 C 上 的点到焦点 F 的最大距离为 8. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若点 P ( m, n) 是椭圆 C 上的一动点,求直线 l : mx + ny = 1 被圆 O : x 2 + y 2 = 1 所截 得的弦长的取值范围.

25.(本题满分 10 分)函数 f ( x ) =

a + x ln x (a ≠ 0), g ( x) = x3 ? x 2 ? 3 . x (Ⅰ)试判断函数 g ( x ) 在区间 (0, 2) 上的单调性;
(Ⅱ)如果存在 x1 , x 2 ∈ [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ M 成立,求满足上述条件的最大整 数 M;

(Ⅲ)如果对任意的 x1 , x 2 ∈ [ , 2] ,都有 f ( x1 ) ≥ g ( x 2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.
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1 2

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…………………………………密…………………………………封………………………………线………………………………………

2 0 台州市 第0 二9学 年 高二期末质量评估试题 学期

学校_____________ 班级_____________ 姓名_____________ 准考证号_____________

理科数学答题卷
三 题 号 一 二 21 得 分 22 23 24

2010.7

总 25



小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分,在每小题给出的四个选项中,只 选择题( 有一项是符合题目要求的,请将正确答案填入下表内) 有一项是符合题目要求的,请将正确答案填入下表内) 题号 答案 小题, 二、填空题(本大题共有 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 填空题( 15. 15. 18. 18. .16. 16. 16 .19. 19. 19 . 17. 17. 20. . 20. . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

三、解答题(本大题共 5 题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题( 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 解答题 21.(本题满分 6 分)

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县(市、区)_____________

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22.(本题满分 8 分)

P

E
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D O A B F

C

23. (本题满分 8 分)

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24.(本题满分 8 分)

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25.(本题满分 10 分) … ……………………………
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2 0 台州市 第0 二9学 年 高二期末质量评估试题 学期

数学(理科)答案与评分标准
有一项是符合题目要求的,请将正确答案填入下表内) 有一项是符合题目要求的,请将正确答案填入下表内) 题号 答案 1 C 2
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2010.7

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分,在每小题给出的四个选项中,只 选择题(

3 A

4 B

5 C

6 A

7 B

8 A

9 D

10 D

11 B

12 A

13 C

14 D

B

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(本大题共有 小题, 二、填空题: 本大题共有 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 填空题: ( 15. 2; 16.60 ; 17.
°
n 2 6 2 C 0 ? C1 C2 ( ?1) n Cn ; 18. ; 19.x 2 = 4 y ; 20.a0 n a1 n a2 n ? an =1. 5 π

三、解答题(本大题共 5 题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题( 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题 21.解:命题 p 为真,则 m > 1 , 命题 q 为真,则 m > 0 ………………………… 3 分

?m > 1, ?m ≤ 1, p 真 q 假,则 ? 无解, q 假 p 真,则 ? 即0 < m ≤1 ?m ≤ 0 ?m > 0,
故0 < m ≤1 ………………………………………………………………… 6 分
P

22.解: (Ⅰ)∵PD⊥面 ABCD,∴PD⊥AC ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴BD⊥AC ∴AC⊥面 PBD ∴AC⊥DE
A

E D O B F

C

…………………… 3 分

(Ⅱ)以点 O 为坐标原点, OB 、 OC 所在的直线为 x 轴、 y 轴,建立空间直角坐标系, 则 P ( ?3, 0,3 6), B (3, 0, 0) , EB = 而 BC = (-3,3 3,0), = BF

1 1 PB = (6, 0, ?3 6) = (2, 0, ? 6) , 3 3
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1 BC = 1, 3,0) (3

∴ EF = EB + BF = 1, 3,- 6) ( ,而平面 PAB 的法向量 n = ( 6, ? 2, 2)

∴ cos < n, EF >=

5 ,即为 EF 与平面 PAB 所成角的正弦值…………………… 8 分 5

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1 1 1 7 23.解: 解 (Ⅰ) S 2 ? S1 = , S 4 ? S 2 = + = , 2 3 4 12 当 n ≥1 时, S 2 n ? S 2 n?1 =
n-1

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1 1 1 1 1 n-1 n-1 + n-1 +…+ n(共 2 项)≥ n ×2 = , 2 +1 2 +2 2 2 2

当且仅当 n =1 时,等号成立.………………………………………………… 4 分 (Ⅱ)当 n =2 时,有 1= f ( 2)(1 +

1 ? 1) ? f (2) = 2 , 2 5 1 1 n =3 时,有 = f (3)(1 + + ? 1) ? f (3) = 3 , 2 2 3

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由此猜想 f (n) = n ( n ≥2).…………………………………………… 6 分 下面用数学归纳法证明: ① n =2,3 时,上面已证,猜想正确;
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②设 n = k ( k ≥2)时, f ( k ) = k 即 S1 + S 2 + ??? + S k ?1 = k ( S k ? 1) 成立 则 S1 + S 2 + ??? + S k ?1 + S k = k ( S k ? 1) + S k

= (k + 1) S k ? k = (k + 1)( S k +

1 ? 1) = (k + 1)( S k +1 ? 1). k +1

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即 n = ( k + 1) 时,猜想也正确. 综上所述,存在 f (n) = n ,使得 S1 + S 2 + ? ? ? + S n ?1 = f ( n)( S n ? 1) 对于大于 1 的 正整数 n 都成立. ………………………………………………………… 8 分 24. (Ⅰ) 解: 抛物线 y 2 = 12 x 的焦点是 F (3, 0) , 设椭圆 C 的方程为

x2 y2 + = 1(a > b > 0) , a2 b2

? c=3 ?a = 5 x2 y 2 ? ? 则 ? a + c = 8 ,解得 ?b = 4 ,所以椭圆 C 的方程为 + = 1 …………………… 4 分 25 16 ?a 2 = b 2 + c 2 ?c = 3 ? ?
(Ⅱ)因为点 P ( m, n) 在椭圆 C 上运动,所以 1 =

m2 n2 + < m2 + n2 , 25 16 1 又直线 l 与圆 O 相交,所以圆心 O 到直线 l 的距离 d = <1= r . m2 + n2
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直线 l 被圆 O 截得的弦长为 L = 2 r ? d = 2 1 ?
2 2

1 1 = 2 1? 2 9 2 m +n m + 16 25
2
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由于 0 ≤ m ≤ 25 ,所以 16 ≤
2

9 2 15 4 6 m + 16 ≤ 25 ,则 L ∈ [ , ], 25 2 5

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即直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围是 L ∈ [ 25.解: (Ⅰ)∵ g ′( x) = 3 x 2 ? 2 x = x(3 x ? 2)

15 4 6 , ] …………………………… 8 分 2 5
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2 2 ∴ g ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 [ , 2) 上单调递增…………………………………3 分 3 3 2 85 85 (Ⅱ)g (0) = ?3, g ( ) = ? , g (2) = 1 , x ∈ [0, 2] 时,g ( x) min = ? , g ( x)max = 1 , 当 3 27 27 85 112 故 ( g ( x1 ) ? g ( x2 )) max = 1 ? ( ? ) = ,则 M max = 4 ;……………………… 6 分 27 27 1 (Ⅲ)当 x ∈ [ , 2] 时, g ( x ) max = 1 2 a 2 法一: + x ln x ≥ 1 ? a ≥ x ? x ln x , x 2 令 h( x ) = x ? x ln x, h ′( x ) = 1 ? 2 x ln x ? x , h ′(1) = 0
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记 m( x ) = 1 ? 2 x ln x ? x, m ′( x ) = ?3 ? 2 ln x < 0 ,则 m( x ) = h ′( x) 在 [ , 2] 上单调递减, 即在 [ , 1] 上 h ′( x ) > h ′(1) = 0 , h(x ) 单调递增, [1, 2] 上 h ′( x ) < h ′(1) = 0 , h(x ) 单调递减 在

1 2

1 2

h( x) max = h(1) = 1 ,故 a ≥ 1 .…………………………………………………………… 10 分
法二:当 x ∈ [ , 2] 时, g ( x ) max = 1 ,则必须 f (1) = a ≥ 1 ,

1 2 1 a 1 当 a ≥ 1 且 x ∈ [ , 2] 时, f ( x ) = + x ln x ≥ + x ln x 2 x x 1 1 1 令 h( x ) = + x ln x, h ′( x ) = ? 2 + ln x + 1, h ′(1) = 0 , h ′( x ) 在 [ , 2] 上单调递增, x 2 x 1 即在 [ , 1] 上 h ′( x ) < h ′(1) = 0 , h( x ) 单调递减, [1, 2] 上 h ′( x ) > h ′(1) = 0 , h( x ) 单调递增 在 2 h( x) min = h(1) = 1 ,即 h( x) ≥ 1 ,则 f ( x) ≥ 1 .……………………………………… 10 分
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