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2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查69 离散型随机变量的均值与方差、正态分布


开卷速查(六十九)

离散型随机变量的均值与方

差、正态分布
A 级 基础巩固练 1.[2014· 天津]某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学.在 这 10 名同学中,3 名同学来自数学学院,其余 7 名同学来自物理、化 学等其他互不相同的七个学院. 现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学, 到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数, 求随机变量 X 的分布 列和数学期望. 解析: (1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A,
1 0 3 C3 · C2 C7 7+C3· 49 则 P(A)= = 3 C 60. 10

49 所以,选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为60. (2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.
-k Ck C3 4· 6 P(X=k)= C3 (k=0,1,2,3). 10

所以,随机变量 X 的分布列是

X P

0 1 6

1 1 2

2 3 10

3 1 30

1 1 3 1 6 随机变量 X 的数学期望 E(X)=0×6+1×2+2×10+3×30=5.

-1-

2. [2014· 福建]为回馈顾客, 某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋 中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励 额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元, 其余 3 个均 为 10 元,求: (ⅰ)顾客所获的奖励额为 60 元的概率; (ⅱ)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元,并规定袋中的 4 个球只能 由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成,或标有面值 20 元和 40 元的 两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每 位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的 4 个球的面值给出一个合 适的设计,并说明理由. 解析:(1)设顾客所获的奖励额为 X,
1 C1 1 1C3 (ⅰ)依题意,得 P(X=60)= C2 =2, 4

1 即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为2. (ⅱ)依题意,得 X 的所有可能取值为 20,60. 1 C2 1 3 P(X=60)=2,P(X=20)=C2=2, 4 即 X 的分布列为 X P 20 1 2 60 1 2

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1 1 所以顾客所获的奖励额的期望为 E(X)=20×2+60×2=40(元). (2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为 60 元.所以,先寻 找期望为 60 元的可能方案.对于面值由 10 元和 50 元组成的情况,如 果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60 元是面值之和的最大值,所以期 望不可能为 60 元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为 60 元是面值之 和 的 最 小 值 , 所 以 期 望 也 不 可 能 为 60 元 , 因 此 可 能 的 方 案 是 (10,10,50,50),记为方案 1. 对于面值由 20 元和 40 元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和 (40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案 2. 以下是对两个方案的分析: 对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为 X1,则 X1 的分布列为 X1 P 20 1 6 60 2 3 100 1 6

1 2 1 X1 的期望为 E(X1)=20×6+60×3+100×6=60, 1 2 1 X1 的方差为 D(X1)=(20-60)2×6+(60-60)2×3+(100-60)2×6 1 600 = 3 . 对于方案 2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为 X2,则 X2 的分布列为 X2 P 40 1 6 60 2 3 80 1 6

1 2 1 X2 的期望为 E(X2)=40×6+60×3+80×6=60,
-3-

1 2 1 X2 的方差为 D(X2)=(40-60)2×6+(60-60)2×3+(80-60)2×6= 400 3 . 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案 2 奖励额的方 差比方案 1 的小,所以应该选择方案 2. B 级 能力提升练 3. [2014· 湖北]计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站, 过去 50 年的水文资料显示, 水库年入流量 X(年入流量: 一年内上游来 水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在 40 以上.其中,不足 80 的 年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年 份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的频率,并假设 各年的年入流量相互独立. (1)求未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运 行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系: 年入流量 X 发电机最多 可运行台数 40<X<80 1 80≤X≤120 2 X>120 3

若某台发电机运行,则该台年利润为 5 000 万元;若某台发电机未 运行,则该台年亏损 800 万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大, 应安装发电机多少台? 10 解析:(1)依题意,p1=P(40<X<80)=50=0.2, 35 p2=P(80≤x≤120)=50=0.7,

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5 p3=P(X>120)=50=0.1. 由二项分布,在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概 率为
? 9 ?4 ? 9 ?3 ? 1 ? 4 1 3 P=C0 4(1-p3) +C4(1-p3) p3=?10? +4×?10? ×?10?=0.947 7. ? ? ? ? ? ?

(2)记水电站年总利润为 Y(单位:万元). ①安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于 40,故一台发电机运行的概率为 1,对 应的年利润 Y=5 000,E(Y)=5 000×1=5 000. ②安装 2 台发电机的情形. 依题意,当 40<X<80 时,一台发电机运行,此时 Y=5 000-800 =4 200,因此 P(Y=4 200)=P(40<X<80)=p1=0.2;当 X≥80 时, 两台发电机运行,此时 Y=5 000×2=10 000.因此 P(Y=10 000)= P(X≥80)=p2+p3=0.8.由此得 Y 的分布列如下 Y P 4 200 10 000 0.2 0.8

所以,E(Y)=4 200×0.2+10 000×0.8=8 840. ③安装 3 台发电机的情形. 依题意, 当 40<X<80 时, 一台发电机运行, 此时 Y=5 000-1 600 =3 400,因此 P(Y=3 400)=P(40<X<80)=p1=0.2;当 80≤X≤120

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时, 两台发电机运行, 此时 Y=5 000×2-800=9 200, 因此 P(Y=9 200) =P(80≤X≤120)=p2=0.7;当 X>120 时,三台发电机运行,此时 Y =5 000×3=15 000,因此 P(Y=15 000)=P(X>120)=p3=0.1.因此得 Y 的分布列如下: Y P 3 400 9 200 15 000 0.2 0.7 0.1

所以,E(Y)=3 400×0.2+9 200×0.7+15 000×0.1=8 620. 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台. 4.[2014· 课标全国Ⅰ]从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测 量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:

(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2(同一 组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ,σ2),其中 μ 近似为样本平均数 x ,σ2 近似为样本方差 s2. ①利用该正态分布,求 P(187.8<Z<212.2); ②某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产 品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果,
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求 E(X). 附: 150≈12.2. 若 Z~N(μ,σ2),则 P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 6, P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 4. 解析:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2 分 别为 x =170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33×+210×0.24 +220×0.08+230×0.02=200, s2 = ( - 30)2×0.02 + ( - 20)2×0.09 + ( - 10)2×0.22 + 0×0.33 + 102×0.24+202×0.08+302×0.02=150. (2)①由(1)知,Z~N(200,150),从而 P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.682 6. ②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.682 6, 依题意知 X~B(100, 0.682 6), 所以 E(X)=100×0.682 6=68.26.

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