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县四中高三数学模拟试题四Microsoft Word

湖南省衡阳县第四中学 2011 届高三数学(理)试题四
一.选择题(每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要
1.命题“若 ab =0,则 a =0 或 b =0”的逆否命题是 A.若 a =0 或 b =0,则 ab =0 C.若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 ab ? 0 B.若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 D.若 a ? 0 或 b ? 0 ,则 ab ? 0 ( )

2.已知在等比数列 {an } 中, a1 ? a3 ? 10, a4 ? a6 ? A.

1 2

B.

2 3

C. 2

5 ,则该数列的公比等于( 4 1 D. ? 2




3.某器物的三视图如右图所示,根据图中数据可知该器物的表 面积为 A. 4? B. 5? C. 8? D. 9? 4.已知程序框图如图所示,则该程序框图的功能是 ( )



1 n 1 * B.求数列 { } 的前 10 项和 (n ? N ) 2n 1 * C.求数列 { } 的前 11 项和 (n ? N ) n 1 * D.求数列 { } 的前 11 项和 (n ? N ) 2n
* A.求数列 { } 的前 10 项和 (n ? N )

5.同时具有性质“①最小正周期是 ? ,②图像关于直线 x ? 函数”的一个函数是

?
3

对称;③在 [ ?

? ?

, ] 上是增 6 3
( )

x ? A. y ? sin( ? ) 2 6
C. y ? sin( 2 x ?

B. y ? cos( 2 x ? D. y ? cos( 2 x ?

? ?
3 6

) )

?

6

)

6.设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 3cos ? ( ? 为参数) ,直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 , ? y ? ?1 ? 3sin ?
7 10 的点的个数为 10
C、3 D、4 ) ( )

则曲线 C 上到直线 l 距离为 A、1

B、2

7.已知函数 f ( x ) 的图像如图所示,f '( x)是f ( x) 的导函数, 则下列数值排序正确的是 ( A. 0 ? f '(2) ? f '(3) ? f (3) ? f (2)

B. 0 ? f '(3) ? f (3) ? f (2) ? f '(2) C. 0 ? f '(3) ? f '(2) ? f (3) ? f (2) D. 0 ? f (3) ? f (2) ? f '(2) ? f '(3) 8.若 a ? 1 ,设函数 f ( x) ? a x ? x ? 4 的零点为 m , g ( x) ? loga x ? x ? 4 的零点为 n ,则

1 1 ? 的取值范围是 m n 7 A. ( , ??) B. (1, ??) 2
二、填空题: (每小题 5 分,共 35 分)

( C. (4, ??) D. ( , ??)



9 2

9.若向量 a, b 满足 a ? b ? 1, a 与 b 的夹角为 120°,则 a ? a ? a ? b ? 10.圆 x2 ? y2 ? 4x ? 0 在点 P(1, 3 )处的切线方程为



11.若对于任意实数 x,有 x3 ? a0 ? a1 (x ? 2) ? a2 (x ? 2) 2 ? a3 ( x ? 2) 3 ,则 a2=___ _.

12.如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形, 延长 AB 和 DC 相交于点 P,若

PB 1 PC 1 BC = , = ,则 的值为 PA 2 PD 3 AD
2 2 2

13.已知 a, b, c ? R, 且 a ? b ? c ? 2, a ? 2b ? 3c ? 4 , 则实数 a 的取值范围为_____________. 14.有下列各式:1 ?

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 ,1 ? ? ? 1 ,1 ? ? ? ... ? ? ,1 ? ? ? ... ? ? 2 , ? 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15


则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为:

15.在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,AH 为 BC 边上的高,给出以下四个结 论: ① AH ? BC ? 0 ;② AH ? ( AB ? BC) ? AH ? AB ;③若 AB ? AC ? 0 ,则 ?ABC 为 锐角三角形;④ AC ?

AH | AH |

? c sin B 。其中所有正确结论的序号是



三、解答题(本大题共 6 小题,共计 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ? b ,其中 a =( 2 cos x, 3 sin x) , b ? (cosx,?2 cos x)

(1)求函数 f ( x) 在 ?0, ? ? 上的单调递增区间和最小值; ( 2 ) 在 ?A B C 中 ,

a, b, c 分 别 是 角 A, B, C
的值.

的 对 边 , 且 f ( A) ? ?1 , 求

b ? 2c a ? cos(60? ? C )

17.(本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 与 A' ABB ' 都是边长为 a 的正方形, 点 E 是 A' A 的中点, A' A ? 平面ABCD (1) 求证: A' C // 平面 BDE; (2) 求证:平面 A' AC ⊥平面 BDE (3) 求平面 BDE 与平面 ABCD 所成锐二面角的正切值。

18.(本小题满分 12 分) 为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔做实验,将这 200 只家兔随机地分成两组。每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B。下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的实验结果。 (疱疹面积单位: mm )
2

(Ⅰ)甲、乙是 200 只家兔中的 2 只,求甲、乙分在不同组的概率; (Ⅱ)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;

(III)完成下面 2 ? 2 列联表,并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱 疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异” 。

19. 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用 1 个 单位量的水可清除蔬菜上残留农药量的

1 ,用水越多,洗掉的农药量也越多,但总还 2

有农药残留在蔬菜上.设用 x 单位量的水清洗一次以后,蔬菜上残留的农药量与本次清 洗前残留的农药量之比为函数 f ( x ) (1)试规定 f (0) 的值,并解释其实际意义 (2)设 f ( x) ?

1 现有 a(a ? 0) 单位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分 1 ? x2

成 2 份后清洗两次.哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?请说明理由. 20. ( 13 分)设 S n 为数列 {an } 的前 n 项和,且对任意 n ? N 都有 S n ? 2(an ? 1) ,记
*

f (n) ?

3n 2n ? Sn
3 f ( n ) 的大小; 4

(1)求 an ; (2)试比较 f (n ? 1) 与

(3)证明: (2n ? 1) f (n) ? f (1) ? f (2) ? ? ? ? ? f (2n ? 1) ? 3

21.设函数 f (e x ) ? ex , g ( x) ?

1 f ( x) ? ( x ? 1)( e ? 2.718 ......) e

(1)求函数 g(x)的极大值 (2)求证 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? ? ln( n ? 1)( n ? N ? ) 2 3 n 1 (3)若 h( x ) ? x 2 ,曲线 y= h( x) 与 y= f ( x) 是否存在公共点,若存在公共点,在公 2
共点处是否存在公切线,若存在,求出公切线方程,若不存在,说明理由。

答案
1、C,2、A, 3、D, 4、B,5、C,6、B,7、B,8、B,9、 6,12、
16、解:(1)

1 ,10、 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,11、 2

6 1 1 ?2 ? 13、 ? , 2? ,14、 1 ? ? ? 6 , 2 3 ?11 ?

?

1

2

n

?1

?

n 2

15、②④ ,

f ( x) ? 1 ? 2 sin(2 x ? k? ?

?
6

),

5 ? k? ? ? , k ? Z , 又 ? x ? ?0, ? ? 3 6 ?? 5 ? ? 递增区间为? , ? ? ?3 6 ?
? f ( x) min ? ?1
(2)?

?

f ( A) ? ?1,? A ?

?
3

17、证明: (1)设 BD 交 AC 于 M,连结 ME. ? ABCD 为正方形,所以 M 为 AC 中点,[来源:七彩教育网] 又 ?E 为 A' A 的中点? ME 为 ?A' AC 的中位线

? ME // A' C 又 ? ME ? 平面BDE, A' C ? 平面BDE ? A' C // 平面 BDE. ??4 分 (2)? ABCD为正方形? BD ? AC ? A' A ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD? A' A ? BD.

??5 分 ??7 分

又AC ? A' A ? A ? BD ? 平面A' AC. ? BD ? 平面BDE ? 平面A' AC ? 平面BDE.
(3) 平面 BDE 与平面 ABCD 交线为 BD 由(2)已证 BD ? 平面A' AC.

.......... 8分

? BD ? AM , BD ? EM ? 锐角?AME为平面BDE与平面ABCD所成锐二面角的平面角 ........10 分 ? AA' ? 平面ABCD? A' A ? AM ,
在边长为a的正方形中AM ? 而AE ? 1 2 AC ? a 2 2

1 a A' A ? 2 2 AE 2 ? tan?AME ? ? 为所求 AM 2

.......... ...14分

法二:依条件有 AB ? AD, A' A ? AB, A' A ? AD ,以 A 为坐标原点,分别以 AB, AD, A' A 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则有 A(0,0,0), B(a,0,0), D(0, a,0), E (0,0, )

a 2

A' A ? 平面ABCD? 平面ABCD的一个法向量为 n1 ? A' A ? (0,0, a) a BD ? (?a, a,0), BE ? (?a,0, ),设平面BDE的一个法向量为 n 2 ? ( x, y , z ) 2 ?n2 ?BD ? ?ax ? ay ? 0 ? 则n2 ? BD, n2 ? BE ? ? , 可取n2 ? (1,1,2) a n ? BE ? ? ax ? z ? 0 ? 2 2 ? 设平面BDE与平面ABCD所成锐二面角大小为 ?,
……11 分

则 cos? ?| cos ? n1 , n2 ?|?| ? sin ? ?

n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |

|?

2a a? 6

?

6 , 3

3 sin ? 2 , tan? ? ? 为所求.......... .......... .......... .......... .14分 3 cos? 2
sin B ? 2 sin C 1 3 sin A( cosC ? sin C ) 2 2 ? sin(1200 ? C ) ? 2 sin C 3 1 3 ( cosC ? sin C ) 2 2 2 ?2

b ? 2c ? a cos(600 ? C )

18、解: (Ⅰ)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为

P?
(Ⅱ) (i)

99 2C198 100 ? 100 C200 199

??4 分

图Ⅰ注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 率分布直方图

图Ⅱ注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频

可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间,而注射药物 B 后的疱疹 面积的中位数在 70 至 75 之间, 所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹 面积的中位数。 (ii)表 3: ??8 分

K2 ?

200 ? (70 ? 65 ? 35 ? 30) 2 ? 24.56 100 ?100 ?105 ? 95
2

由于 K >10.828,所以有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积于注射药物 B 后 的疱疹面积有差异” 。 19、 (1) f (0) ? 1 表示没有用水清洗时,蔬菜上的农药量没有变化 (2)设清洗前蔬菜上的农药量为 1,那么用 a 单位量的水清洗 1 次后,残留的农药量为 ??12 分

W1 ? 1? f (a ) ?
又如果用

1 1 ? a2

a a 1 单位量的水清洗 1 次,残留的农药量为 1? f ( ) ? 2 2 1 ? ( a )2 2 a 此后再用 单位量的水清洗 1 次后,残留的农药量为 2

? ? 1 a ? 1 ? 16 W2 ? ? f( )?? ? ? 2 2 ?1 ? ( a ) 2 ? (4 ? a 2 ) 2 ?a? 1? ? ? ? 2 ? ?2?
由于 W1 ? W2 ?

2

1 16 a 2 (a 2 ? 8) ? ? 1 ? a 2 (4 ? a 2 )2 (1 ? a 2 )(4 ? a 2 )2

当 a ? 2 2 时, W1 ? W2 此时,把 a 单位的水平均分成 2 份后, 清洗两次,残留的农药量较少 当 a ? 2 2 时, W1 ? W2 此时,两种清洗方式效果相同 当 0 ? a ? 2 2 时, W1 ? W2 ,此时,用 a 单位量的水一次清洗残留的农药量较少

20、解: (1)当 n=1 时,由 S1 ? a1 ? 2(a1 ? 1) ,得 a1 ? 2 当 n ? 1 时, an ? S n ? S n?1 ? 2an ? 2an?1 ,? an ? 2an?1

? an ? 2n (n ? 1)

n=1 适合上式

? an ? 2 n …………………………………………………………………………………3 分
(2)∵ S n ?

2(1 ? 2 n ) ? 2 n ?1 ? 2 1? 2

∴ f (n ? 1) ?

3 3n?1 3 3n f (n) ? n?1 n? 2 ? 4 2 (2 ? 2) 4 2 n (2 n?1 ? 2)

?

3n?1 1 1 ( n ?1 ? n?2 )?0 n?2 2 2 ?1 2 ? 2
3 f (n) …………………………………………………………………6 分 4

∴ f ( n ? 1) ?

3k 32 n ?k (3) f (k ) ? f (2n ? k ) ? k k ?1 ? 2 (2 ? 2) 2 2n?k (2 2n?k ?1 ? 2)

3 1 ? 2 ? ( )n k ?1 2 (2 ? 2)(2 2 n ?k ?1 ? 2)
而 (2
k ?1

? 2)(2 2n?k ?1 ? 2) ? 2 2n?2 ? 4 ? (2 k ?2 ? 2 2n?k ?2 )

? 2 2n?2 ? 4 ? 2 2 k ?2 ? 2 2n?k ?2 ? (2 n?1 ? 2) 2 …………………9 分

∴ f (k ) ? f (2n ? k ) ?

3k 32 n ?k ? 2 k (2 k ?1 ? 2) 2 2n?k (2 2n?k ?1 ? 2)

3 1 3 1 ? 2 ? ( ) n ? n ?1 ? 2 f (n), (k ? 1,2,3, ?) ? 2 ? ( )n k ?1 2 n ? k ?1 2 2 ?2 2 (2 ? 2)(2 ? 2)


f (1) ? f (2n ? 1) ? 2 f (n)

f (2) ? f (2n ? 2) ? 2 f (n)
……

f (2n ? 1) ? f (1) ? 2 f (n)
相加得 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2n ? 1) ? (2n ? 1) f (n), n ? 1 时取等号。……11 分

3 3 3 3 f (n) ? ( ) 2 f (n ? 1) ? ? ? ( ) n f (1) 和 f (1) ? 4 4 4 4 3 3 2 3 2n?2 f (1) ∴ f (1) ? f (2) ? ? ? f (2n ? 1) ? f (1) ? f (1) ? ( ) f (1) ? ? ( ) 4 4 4 3 3 ? ? 4 ? [1 ? ( ) 2 n ?1 ] 4 4 3 2 n ?1 ? 3 ? [1 ? ( ) ] ? 3 …………………………………………13 分 4
由 f (n ? 1) ?
x 21、 (1) 令t ? e , 所以x ? ln t , f (t ) ? e ln t所以f(x) ? e ln x( x ? 0)

g( x )=ln x -( x +1) g ?( x) ? 当 0< x <1 时, g ?( x ) >0 当 x >1 时, g ?( x ) <0

1? x x

所以 g( x )极大值=g(1)=-2…………………3 分 (2)由(1)知, x =1 是极大值点,也是最大值点, 所以 g( x ) ≤g(1)=-2 即 l ln x ? ( x ? 1) ≤-2, ln x ≤ x ? 1 (当且仅当 x =1 时等号成立) 令 u= x -1,得 u≥ln(u+1),取 u=

1 (n ? N ? ) n

1 1 n ?1 ? ln( ? 1) ? ln( )(n ? N ? ) n n n 1 3 1 4 1 n ?1 1 ? ln 2, ? ln , ? ln ,......... ., ? ln( ) 2 2 3 3 n n 1 1 1 3 4 n ?1 所以1 ? ? ? .......... .... ? ? ln(2 ? ? ? ........? ) ? ln(n ? 1) 2 3 n 2 3 n

………………………………………8 分 (3)令 F(x)=h(x)-f(x)=

1 2 x -elnx(x>0) 2

( x ? e )(x ? e ) x 当x ? (0, e )时,F?(x) ? 0, F ( x)递减 F ?( x) ? 当x ? ( e ,??)时,F?(x) ? 0, F(x)递增 所以F(x) 的极小值点为x ? e , F ( x) min ? 0 1 所以两曲线只有一个公 共点为( e , e) 2
1 f ?( e ) ? h?( e ) ? e,可得所求公切线方程为 y ? e x ? e …………………13 分 2


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