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2.5夹角的计算


5.夹角的计算

学习目标:
1.了解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面间的夹角的形成; 2.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面间的夹角的定义; 3.掌握用向量方法求解夹角间的计算.

学习重点:
直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面间的夹角.

学习难点:
用向量法解决线线角、线面角、面面角的计算.

1.两直线的夹角 当两条直线l1与l2 共面 时,把两条直线交角中,范围
π 在 [0, 2] 内的角叫做两直线的夹角.

2.异面直线l1与l2的夹角 (1)定义:直线l1与l2是异面直线,在直线l1上任取一点A 作AB∥l2,我们把 直线l1 和直线AB的夹角叫作异面直线l1 与l2的夹角.

(2)计算:设直线 l1 与 l2 的方向向量分别为 s1、s2. π 〈 s1 , s2 〉 当 0≤〈s1,s2〉≤ 时,直线 l1 与 l2 的夹角等于 ; 2 π π-〈s1,s2〉 当 < 〈 s1 , s2〉 ≤π 时, 直线 l1 与 l2 的夹角等于 . 2 3.平面间的夹角 (1)定义: 平面 π1 与 π2 相交于直线 l, 点 R 为直线 l 上任意一 点,过点 R,在 平面π1 上作直线 l1⊥l,在平面π2 上作直线 l2 直线l1和l2 ⊥l,则 的夹角叫作平面 π1 与 π2 的夹角.

(2)计算:已知平面π 1 和π 2 的法向量分别为 n 1 和 n 2, π 当 0≤〈n 1,n 2〉≤ 时,平面π1 和π2 的夹角等于〈n 1,n 2〉 ; 2 π 当 <〈n 1,n 2〉≤π时,平面π1 和π2 的夹角等于π -〈n 1,n 2〉 . 2

直线与平面的夹角 (1) 平面外 一条直线与它在该平面内的 投影 的夹角 叫作该直线与此平面的夹角. (2)如果一条直线与一个平面垂直,这条直线与平面的

? 夹角为 2 .
(3)如果一条直线与一个平面平行或在平面内, 这条直线 与平面的夹角为 0 .

归纳、领悟
1.求空间角时,要注意角的范围.
? π? (1)异面直线夹角范围是?0,2 ?; ? ? ? π? (2)两平面夹角范围是?0,2 ?. ? ?

2.求两异面直线的夹角、两平面夹角时可用定义求 解;也可用直线的方向向量、平面的法向量的夹角进行求 解,但要注意其转化关系.

[例1]

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD

是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a, AD=2a,且PA⊥底面ABCD,∠PDA=30°,AE⊥PD,E 为垂足. (1)求证:BE⊥PD;

(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值.
[思路点拨] 要证明两直线垂直,或求两直线的夹角,

只要适当地建立空间直角坐标系,求出两直线对应的方向 向量,然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得.

[精解详析]

以A为原点,AB,AD,AP所在的直线

为坐标轴,建立空间直角坐标系,如 图,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0), D(0,2a,0). 又∵∠PDA=30° , 3 2 3 ∴AP=AD· tan 30° =2a· = a, 3 3 1 AE=AD· sin 30° =2a·=a. 2 过E作EF⊥AD,垂足为F,在Rt△AFE中,AE=a, a 3 ∠EAF=60° ,∴AF= ,EF= a. 2 2

? ? 2 3 ? 1 ? ? ? ∴P?0,0, a ,E?0, a, 3 ? 2 ? ? ?

3 ? ? a ?. 2 ? ??? ? ? ??? ? ? 1 3 ? 2 3 ? ? ? ? ? (1)证明: BE =?-a, a, a?, PD =?0,2a,- a?, 2 2 ? 3 ? ? ? ??? ? ??? ? ∴ BE · PD =0+a2-a2=0. ??? ? ??? ? ∴ BE ⊥ PD ,∴BE⊥PD. ??? ? ? ??? ? 1 3 ? ? ? (2) AE =?0, a, a?, CD =(-a,a,0). 2 2 ? ? 1 2 ??? ? ??? ? a ??? ? ??? ? 2 CD · 2 AE ??? ? ??? ? 则cos〈 AE , CD 〉= = = , 4 2 a · a | AE || CD | 2 即AE与CD的夹角的余弦值为 4

[一点通] ( 1)求两异面直线的夹角时,可用向量法转化为求两异面 直线的方向向量 a,b 的夹角〈a,b〉 .但两异面直线的夹角范围
? ?π ? π? 是?0,2 ?,所以当〈a,b〉∈?2,π?时,两异面直线的夹角应为 ? ? ? ?

π

-〈a,b〉 . (2)合理建立空间直角坐标系,可使两异面直线的夹角问 题转化为向量的坐标运算,也可选用基向量法进行求解.

[例2]

(12分)如图,PA⊥平面

ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2 ,求平面PAB与平面PBC的夹角的余 弦值. [思路点拨] 行求解. 建立空间直角坐标系,利用法向量进

[ 精解详析 ]

如图建立空间直角坐标

系, 则 A (0,0,0), B ( 2, 1,0), C(0,1,0), P(0,0,1), ??? ? ??? ? ??? ? AP =(0,0,1), AB =( 2 ,1,0) , CB =( 2 , ??? 0,0), CP =(0,-1,1). 设平面 PAB 的法向量为 m =(x ,y,z),
m ? AB, m ? AB=0,


m ? AP,


m ? AP=0.

?x ,y,z?·?0,0, 1?=0, ∴ ?x ,y,z?·? 2,1,0?=0. y=- 2x , ∴ z=0. 令 x =1,得 m =(1,- 2,0), 设平面 PBC 的法向量为 n =(x ′,y′,z′), 则
n ? CB, 即 n ? CP, n ? CP=0. n ? CB=0,

?x ′, y′,z′?·? 2,0,0?=0, ∴ ?x ′, y′,z′?·?0,-1,1?=0. x ′=0, ∴ y′=z′. 令 y′= 1,∴n =(0,1,1). m ·n 3 ∴cos〈m ,n 〉= =- . |m||n| 3 π 0, 而平面 PAB 与平面 PBC 夹角∈ 2 ∴平面 PAB 与平面 PBC 夹角的余弦值为 3 . 3

[一点通]

求两平面的夹角有两种方法:

(1)定义法:在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的 直线,这两条直线的夹角即为两平面的夹角.也可转化为求 与两面交线垂直的直线的方向向量的夹角,但要注意其异 同. (2)法向量法:分别求出两平面的法向量n1,n2,则两平 面的夹角为〈n1,n2〉
? ? π? ? ?当〈n1,n2〉∈?0, ?时? 2? ? ? ?

或π-〈n1,

? ?π ? ? n2〉?当〈n1,n2〉∈?2,π?时?. ? ? ? ?

[例3]

在正方体AC1中,试求直线A1B与平面

A1B1CD的夹角. [思路点拨] 建立空间直角坐标系,得到相关点的

坐标,准确找出A1B在平面A1B1CD内的投影,利用空间向 量的数量积可求夹角.也可利用直线A1B的方向向量与平 面A1B1CD的法向量的夹角求解.

[精解详析]

法一:如图以D为原点,

分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设正方体AC1的棱长为1,

则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),
B1(1,1,1). 连接BC1,CB1相交于点O,则BO⊥B1C,BO⊥A1B1, B1C∩A1B1=B1. ∴BO⊥平面A1B1CD,A1O就是A1B在平面A1B1CD上的

投影,故∠BA1O就是A1B与平面A1B1CD的夹角,

???? ???? ???? ? 1 1? 又∠BA1O 是 A1 B 与 A1O 的夹角, 且 A1O =?-2,1,-2?,
? ?

???? A1 B =(0,1,-1),

???? ???? A1O · A1 B ???? ???? ∴cos∠BA1O= | A1O || A1 B |
1 3 1+ 2 2 3 = = , ? 1? ? 1? 3 2 2 2 2 2 2 2 ?- ? +1 +?- ? · 0 +1 +?-1? ? 2? ? 2?



∴∠BA1O=30° ,即 A1B 与平面 A1B1CD 的夹角为 30° .

???? 法二:建系方法同法一.易求 A1 B =(0,1,-1).
又∵B1C⊥BC1,DC⊥BC1,∴BC1⊥平面 A1B1CD. ???? ? ∴ BC1 为平面 A1B1CD 的一个法向量. ???? ? 而 B(1,1,0),C1(0,1,1),∴ BC1 =(-1,0,1). ???? ? ???? ???? ? ???? BC1 · A1 B ???? ? ???? ∴cos〈 BC1 , A1 B 〉= | BC1 || A1 B | -1 1 = =- . 2 2· 2

设直线 A1B 与平面 A1B1CD 所成角为 θ,

???? ? ???? 1 则 sin θ=|cos〈 BC1 , A1 B 〉|= , 2
π 又 θ∈[0, ],∴θ=30° . 2
[一点通] 在用向量法求直线 OP 与 α 夹角 θ 时一般有

两种途径:一是用定义,求 OP 在平面 α 上的投影 OP′,则 ??? ? ???? cos θ=|cos〈 OP ,OP ? 〉|;二是求出平面的法向量 n,则 sin ??? ? θ=|cos〈n, OP 〉|.

[例 4 ]

(12 分 ) 如图,在三棱锥 A -

BCD 中,侧面 ABD、ACD 是全等的直角三 角形,AD 是公共的斜边,且 AD= 3,BD =CD=1.另一个侧面 ABC 是等边三角形. 点 A 在底面 BCD 上的射影为 H. (1)以 D 点为原点建立空间直角坐标系,并求 A ,B ,C 的坐标;

(2)求平面BAC与平面DAC的夹角的余弦值. (3)在线段AC上是否存在一点E,使ED与面BCD的夹角 为30° ?若存在,确定点E的位置;若不存在,说明理由. ??? ? ??? ? BC =0. [思路点拨] (1)建立坐标系,证明 AD · (2)求两平面法向量的夹角. (3)先假设存在点E满足条件,再建立关于点E的坐标的 方程,判断方程是否有符合题意的解,即可得出结论.

[精解详析] ∴BC= 2.

(1)由题意AB=AC= 2,

则△BDC为等腰直角三角形. 连接BH、CH,∴DB⊥BH,CH⊥BH. ∴四边形BHCD为正方形,以DC为y轴,DB为x轴建立空 间直角坐标系如图所示, 则A(1,1,1),B(1,0,0),C(0,1,0). (2)设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z), (2分) (4分)

??? ? ??? ? BC =-x+y=0. 则由 n1⊥ BC 知:n1· ??? ??? CA =x+z=0. 同理,由 n1⊥ CA 知:n1·

可取 n1=(1,1,-1). n1· n2 1+0+1 6 则 cos〈n1,n2〉= = = , |n1|· |n2| 3 3· 2

(6 分)

同理,可求得平面 ACD 的一个法向量为 n2=(1,0,-1).

6 即所求平面 BAC 与平面 DAC 的夹角的余弦值为 . (8 分) 3 ??? ? ??? (3)假设存在 E 满足条件,设 CE =xCA =(x,0,x)(0≤x≤1), ??? ? ??? ? ??? ? 则 DE = DC + CE =(0,1,0)+(x,0,x)=(x,1,x),平面 BCD 的一 个法向量为 n=(0,0,1),

∵ED与平面BCD的夹角为30° , ??? ? 由图可知 DE 与n的夹角为60° , ??? ? ??? ? · n x 1 DE ??? ? 所以cos〈 DE ,n〉= = = . 2=cos60° 2 1+2x | DE ||n| (10分) 2 2 2 则2x= 1+2x ,解得x= ,即E( ,1, ), (11分) 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? | AC |= 2,|CE CE |=1.
2

故线段AC上存在点E(与C的距离为1),使ED与平面BCD的 夹角为30° . (12分)

[一点通]

解决存在性探究问题,一般先假设存在,

然后进行推理计算,推出的结果若符合题意,则说明假设 正确.若出现矛盾或得出相反的结论,则否定假设,说明

不存在.

回顾小结
用向量法求两异面直线的夹角θ及两平面的夹角φ时,

要注意两异面直线的夹角、两平面夹角与直线的方向向量
a,b的夹角及两平面的法向量n1,n2的夹角的关系: ①当cos〈a,b〉<0时,cos θ=-cos〈a,b〉, 当cos〈a,b〉≥0时,cos θ=cos〈a,b〉,即cos θ=|cos 〈a,b〉|.

②当cos〈n1,n2〉≥0时,cos φ=cos〈n1,n2〉,
当cos〈n1,n2〉<0时,cos φ=-cos〈n1,n2〉,即cos φ =|cos〈a,b〉|.


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