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江西省白鹭洲中学高二数学上学期第一次月考 文 北师大版

白鹭洲中学高二上学期第一次月考数学试卷
说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分,答题时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、 “直线 a 经过平面 ? 外一点 P”用符号表示为:( A. P ? a, a // ? 2、下列说法正确的是 A、三点确定一个平面 C、梯形一定是平面图形 3、 给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 A. ①和② ( ) C. ③和④ D. ②和④ B. a ? ? ? P ( ) B、四边形一定是平面图形 D、平面 ? 和平面 ? 有不同在一条直线上的三个交点 ) D. P ? a, a ? ?

C. P ? a, P ? ?

B. ②和③

P 、 Q 、 R 分别是 AB 、 AD 、 B1C1 的中点.那么,正方 4、正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
体的过 P 、 Q 、 R 的截面图形是( A.三角形 B.四边形 ) C.五边形 D.六边形
?

5、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ,腰和上底边均为 1 的等腰梯 形,则这个平面图形的面积是 A. ( ) C. 1 ? 2 D.

1 2 ? 2 2

B. 2 ? 2

1?

2 2

6、如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为

3 ,且一 2 个内角为 60 的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面 积为( )
正视图 侧视图

俯视图

A. 2 3 C . 4

B. 4 3 D. 8

A' P
7、 如图:直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V , 点 P、 Q 分别在侧棱 AA1 和 CC1 上,AP=C1Q,则四棱锥 B—APQC 的体积为( ) A V V V V A、 B、 C、 D、 2 3 4 5

C' B' Q C B

8、在正四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个结论中不成立 的是 ... ( ) 。 A.BC//平面 PDF C.平面 PDF⊥平面 ABC B.DF⊥平面 PA E D.平面 PAE⊥平面 ABC
/ /

/ / / / / 9、 已知 ABCD ? A B C D 为长方体, 对角线 AC 与平面 A BD 相交于点G, 则G是 ?A BD

的(

) B.重心 C.内心 D.外心

A.垂心

10. 如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱线长为 1,线段 B 1D 1 有两个动点 E,F,且 EF ? (A) AC ? BE

2 ,则下列结论中错误的是( ) 2

(B) EF / /平面ABCD

(C)三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 (D)异面直线 AE, BF 所成的角为定值

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱 的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为 . 12、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,圆台的侧面积为 84? ,则圆 台较小底面的半径为 . 13、一圆锥底面半径为 2,母线长为 8,SA 为一条母线,M 为 SA 中点,由 A 点出发,经过圆

锥侧面绕一条绳子到 M 点,则绳子的最短距离为 14、如图在正三棱锥 A-BCD 中,

.

E、F分别是AB、BC的中点,EF⊥DE,且BC=1,则正三棱锥A-BCD
的体积是 . 15、如图, PA 垂直圆 O 所在的平面, AB 是直径, C 是圆 O 上的 一点, E , F 分别是点 A 在 PB, PC 上的射影,给出下列结论:①

AF ? PB ;② EF ? PB ;③ AF ? BC ;④ AE ? 面PBC .其中
正确命题的序号是 . P

F C A

E

O

B

高二上学期第一次月考数学试卷 答题卷
一、 选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11、 学号 12、 .13、 .

14、

. 15、

.

三、解答题(本大题共 75 分,16—20 题每题 12 分,21 题 15 分) 16、 (12 分)正四棱台的侧棱长为 3cm,两底面边长分别为 1cm 和 5cm,求体积.

17、 (12 分)如图,已知空间四边形 ABCD 中, AB ? DC ? 2 , BC ? AC ? AD ? BD ? 3 , E 是 AB 的中点。 A 求证: (1) AB ? CD ; (2)求空间四边形 ABCD 的体积 E

B

C

D

E 是 AA1 的中点, 18、(12 分) 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, A1 BDE ; (1)求证: AC 1 // 平面 BDE 的距离. (2)求点 A 1 到平面
B1 E C1

D1

A

D

B

C

19、 (12 分)沿边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 BD 将它折成直二面角 A―BD―C.求: (1)A 点到 BC 的距离; A (2)AD 与 BC 所成角的余弦值.

B

D

C

20. (12 分)如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC =1,AA1 = 2 ,D 是 A1B1 中点. (1)求证: C1D ⊥平面 A1B ; (2)若 F 为 BB1 上的一点且 FC1 ? AB1 ,求 B1F 的值. A B C

F A1 D B1 C1

21、 (15 分) 如图,正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互 相垂直,△ ABE 是等腰直角三角形,

E

AB ? AE, FA ? FE, ?AEF ? 45?
(1)求证: EF ? 平面BCE ;

F

A (2)设线段 CD 的中点为 P ,在直线 AE 上是否存在 一点 M ,使得 PM ∥平面 BCE ?若存在,请指出点 M D 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由; (3)若 AB ? 2 ,求四棱锥 E ? ABCD 内切球的表面积(文科生做) (3)求二面角 F ? BD ? A 的大小的余弦值。 (理科生做) C

B

高二上学期第一次月考数学试卷 答题卷
二、 选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1 D 2 C 3 D 4 D 5 B 6 C 7 B 8 D 9 B 10 D

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11、

14π

12、

7

.13、

4

5

.

14、

2 24

. 15、

①④

.

三、解答题(本大题共 75 分,16—20 题每题 12 分,21 题 15 分) 16、 (12 分)正四棱台的侧棱长为 3cm,两底面边长分别为 1cm 和 5cm,求体积. 解: 正四棱台ABCD ? A1 B1C1 D1

O1 , O是两底面的中心 ? A1C1 ? 2 , AC ? 5 2 ? A1O1 ? 2 AO ? 5 2
2 2
?5 2? ? ? O1O ? 3 ? ? ? 2 2 ? 2 ? ?1 ? ?
2 2

?

1 1 31 ? 1 ? [12 ? 5 2 ? 12 ? 5 2 ] ? [1 ? 25 ? 5] ? (cm 3 ) 3 3 3

17、 (12 分)如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点。 求证: (1)平面 CDE ? 平面 ABD (2)平面 CDE ? 平面 ABC 。 E A

B

C

D

18、(12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA ⊥平面 ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中点. (1)证明:EF∥平面 PAD; (2)求三棱锥 E—ABC 的体积 V.

解: (Ⅰ) 在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中 点,∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴ EF∥AD, 又∵AD ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD. (Ⅱ)连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G,

19、 (12 分)沿矩形 ABCD 的对角线 BD 将它折成直二面角 A―BD―C.若 AB=1,BC= 3 ,求: (1)A 点到 BC 的距离; (2)AD 与 BC 所成角的余弦值。 A

B

D

C

20. (12 分)如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC =BC =1,∠ACB =90°,AA1 = 2 , D 是 A1B1 中点. (1)求证 C1D ⊥平面 A1B ; (2)当点 F 在 BB1 上什么位置时,会使得 AB1 ⊥平面 C1DF ?并证明你的结论. 20. (1)证明:如图,∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱, ∴ A1C1 =B1C1 =1,且∠A1C1B1 =90°. C1D ⊥A1B1 .

又 D 是 A1B1 的中点,∴

∵ ∴

AA1 ⊥平面 A1B1C1 ,C1D ? 平面 A1B1C1 , AA1 ⊥C1D ,∴ C1D ⊥平面 AA1B1B .

(2)解:作 DE ⊥AB1 交 AB1 于 E ,延长 DE 交 BB1 于 F ,连结 C1F ,则 AB1 ⊥平面 C1DF ,点 F 即为所求.

事实上,∵

C1D ⊥平面 AA1BB ,AB1 ? 平面 AA1B1B ,

∴ ∴

C1D ⊥AB1 .又 AB1 ⊥DF ,DF ? C1D =D , AB1 ⊥平面 C1DF .

21、 (本小题满分 15 分) 如图,正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互 相垂直,△ ABE 是等腰直角三角形,

AB ? AE, FA ? FE, ?AEF ? 45?
(I)求证: EF ? 平面BCE ; (II)设线段 CD 的中点为 P ,在直线 AE 上是否存在一点 M ,使得 PM 平面BCE ?若 存在,请指出点 M 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由; (III)求二面角 F ? BD ? A 的大小的余弦值。 (文科生不做) (Ⅰ)因为△ABE 为等腰直角三角形,AB=AE, 所以 AE⊥AB. 又因为平面 ABEF⊥平面 ABCD,AE ? 平面 ABEF, 平面 ABEF∩平面 ABCD=AB, 所以 AE⊥平面 ABCD. 所以 AE⊥AD. 因此,AD,AB,AE 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系 A-xyz. 设 AB=1,则 AE=1,B(0,1,0) ,D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因为 FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°.

1 1 , ). 2 2 1 1 所以 EF ? (0, ? , ) , BE ? (0, ?1,1) , BC ? (1,0,0) . 2 2 1 1 EF ? BE ? 0 ? ? ? 0 , EF ? BC ? 0 . 2 2
从而, F (0, ? 所以 EF⊥BE, EF⊥BC. 因为 BE ? 平面 BCE,BC∩BE=B , 所以 EF⊥平面 BCE. (Ⅱ)存在点 M,当 M 为 AE 中点时,PM∥平面 BCE. M ( 0,0,

1 ), 2

P ( 1,

1 ,0 ). 2

从而 PM = (?1, ?

1 1 , ), 2 2 1 1 1 1 , ) · (0, ? , ? ) =0 2 2 2 2

于是 PM · EF = (?1, ?

所以 PM⊥FE,又 EF⊥平面 BCE,直线 PM 不在平面 BCE 内, 故 PMM∥平面 BCE. ………………………………8 分 (Ⅲ)设平面 BDF 的一个法向量为 n1 ,并设 n1 =(x,y,z).

uuu v BD ? (, 1 ? 1, 0),

uv uuu v ? n g BD ?0 ? 1 uv uuu v ? ? ?n1 gBF ? 0

uuu v 3 1 BF ? (0, ? ,) 2 2


?x ? y ? 0 ? ? 3 1 ? y? z ?0 ? ? 2 2

取 y=1,则 x=1,z=3。从而 n1 ? 。 (, 11, 3) 取平面 ABD 的一个法向量为 n 2 ? 。 (0,0,1)

uv uu v u u v uu v n1 gn 2 3 3 11 。 cos(n1 , n 2 ) ? uv uu ? v ? 11 11g 1 n1 n 2
故二面角 F—BD—A 的大小为 arccos

3 11 。……………………………………12 分 11

19、 如图,AEC 是半径为 a 的半圆,AC 为直径, 点 E 为 AC 的中点, 点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED , FB = 5a . (1)证明: EB ? FD ; (2)求点 B 到平面 FED 的距离. (本小题满分 14 分) (1) 证明 : ∵点 E 为 AC 的中点, 且 AB ? BC , AC 为直径 ∴ EB ? AC

FC ? 平面BED B ? 平面 E B
∴ FC ? BE





E

D

∵FC∩AC=C ∴BE⊥平面 FBD ∵FD∈平面 FBD ∴EB⊥FD (2)解:∵ FC ? 平面BED ,且 BD ? 平面BED ∴ FC ? BD 又∵ BC ? DC ∴ FD ? FB ? 5a ∴ VF ? EBD ?

1 1 1 2a 3 S FED EB ? 2a 5a 2 ? a 2 a ? 3 3 2 3

∵ EB ? 平面BDF , 且FB ? 平面BDF

20. (本小题满分 12 分)

如图,ABCD 的边长为 2 的正方形,直线 l 与平面 ABCD 平行,g 和 F 式 l 上的两个不同点,且 EA=ED,FB=FC, (Ⅰ)证明:直线 和 是平面 ABCD 内的两点, 垂直且平分线段 AD: 和 都与平面 ABCD 垂直,

(Ⅱ)若∠EAD=∠EAB=60°,EF=2,求多面 体 ABCDEF 的体积。 【思路】根据空间线面关系可证线线垂直,由分割法可求得多面体体积,体现的是一种部分 与整体的基本思想。 【解析】(1)由于 EA=ED 且 ED ' ? 面ABCD ? E ' D ? E ' C ? 点 E ' 在线段 AD 的垂直平分线上,同理点 F ' 在线段 BC 的垂直平分线上. 又 ABCD 是四方形 ? 线段 BC 的垂直平分线也就是线段 AD 的垂直平分线

即点 E ' F ' 都居线段 AD 的垂直平分线上. 所以,直线 E ' F ' 垂直平分线段 AD. (2)连接 EB、EC 由题意知多面体 ABCD 可分割成正四棱锥 E—ABCD 和正四面体 E—BCF 两部分. 设 AD 中点为 M,在 Rt△MEE ' 中,由于 ME ' =1, ME ? 3 ? EE ' ? 2 .

?VE —ABCD ? ? S四方形 ABCD ? EE ' ? ? 22 ? 2 ?

1 3

1 3

4 2 3

又 VE —BCF=VC-BEF=VC-BEA=VE-ABC ?

1 S 3

ABC

1 1 2 2 ? EE ' ? ? ? 22 ? 2 ? 3 2 3

? 多面体 ABCDEF 的体积为 VE—ABCD+VE—BCF= 2 2
如图,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60 , AB ? 2, AD ? 4 将
?

?CBD 沿 BD 折起到 ?EBD 的位置,使平面 EDB ? 平面 ABD (I)求证: AB ? DE (Ⅱ)求三棱锥 E ? ABD 的侧面积。

(I)证明:在 ?ABD 中,

AB ? 2, AD ? 4, ?DAB ? 60?

? BD ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? 2 AD cos ?DAB ? 2 3 ? AB 2 ? BD 2 ? AD 2 ,? AB ? DE
又 平面 EBD ? 平面 ABD 平面 ABD ? BD, AB ? 平面 ABD 平面 EBD

? AB ? 平面 EBD DF ? 平面 EBD,? AB ? DE
(Ⅱ)解:由(I)知 AB ? BD, CD // AB,?CD ? BD , 从而 DE ? D 在 Rt ?DBE 中,

DB ? 2 3, DE ? DC ? AB ? 2

? S?ABE ?


1 DB ? DE ? 2 3 2

AB ? 平面 EBD, BE ? 平面 EBD,? AB ? BE

BE ? BC ? AD ? 4,? S ?ABE ?

1 AB ? BE ? 4 2

DE ? BD, 平面 EBD ? 平面 ABD ? ED ? ,平面 ABD
而 AD ? 平面 ABD,? ED ? AD,? S ?ADE ?

1 AD ? DE ? 4 2

综上,三棱锥 E ? ABD 的侧面积, S ? 8 ? 2 3

如图 7 所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P、M、N 分别为棱 DD1、AB、BC 的中点. (1)求二面角 B1 -MN-B 的正切值; (2)画出一个正方体的表面展开图,使其满足“有 4 个正方形相连成一个长方形”这一 条件,并求展开图中 P、B 两点间的距离(设正方体的棱长为 1).

如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,则下列四个命题: ① P 在直线 BC1 上运动时,三棱锥 A ? D1PC 的体积不变; ② P 在直线 BC1 上运动时,直线 AP 与平面 ACD1 所成角的大小不变; ③ P 在直线 BC1 上运动时,二面角 P ? AD1 ? C 的大小不变; ④M 是平面 A1B1C1D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点,则 M 点的轨迹是过 D1 点 的直线 其中真命题的编号是 答案 ①③④ .(写出所有真命题的编号)

如图,是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图,则搭成这个几何体的小正方体的个 数是 5 .

主视图

左视图

俯视图

解:这种题型最直接的解决方法就是还原法,根据三视图画出它的立体图形。本题的立 体图形如下,所以正确答案应该是 5 个。

如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AB=a. (Ⅰ)求证:直线 A1D⊥B1C1; (Ⅱ)求点 D 到平面 ACC1 的距离; (Ⅲ)判断 A1B 与平面 ADC 的位置关系, 并证明你的结论.

(Ⅰ)证法一:∵点 D 是正△ABC 中 BC 边的中点,∴AD⊥BC, 又 A1A⊥底面 ABC,∴A1D⊥BC ,∵BC∥B1C1,∴A1D⊥B1C1. 证法二:连结 A1C1,则 A1C=A1B. ∵点 D 是正△A1CB 的底边中 BC 的中点, ∴A1D⊥BC ,∵BC∥B1C1,∴A1D⊥B1C1. (4 分) (Ⅱ)解法一:作 DE⊥AC 于 E, ∵平面 ACC1⊥平面 ABC, ∴DE⊥平面 ACC1 于 E,即 DE 的长为点 D 到平面 ACC1 的 距离. AC=2CD= a, AD ? 在 Rt△ADC 中,

3 a. 2

∴所求的距离 DE ? CD ? AD ? 3 a. (9 分) AC 4 解法二:设点 D 到平面 ACC1 的距离为 x , ∵体积 VC ? ACD
1 1

? VD? ACC1 ? 1 ? 3 a 2 ? CC1 ? 1 ? 1 a ? CC1 ? x.
3 8 3 2

?x ?

3 即点 D 到平面 ACC 的距离为 3 . 1 a, a (9 分) 4 4

(Ⅲ)答:直线 A1B//平面 ADC1,证明如下: 证法一:如图 1,连结 A1C 交 AC1 于 F,则 F 为 A1C 的中点,∵D 是 BC 的中点,∴DF∥A1B, 又 DF ? 平面 ADC1,A1B ? 平面 ADC1,∴A1B∥平面 ADC1. (14 分) 证法二:如图 2,取 C1B1 的中点 D1,则 AD∥A1D1,C1D∥D1B, ∴AD∥平面 A1D1B,且 C1D∥平面 A1D1B, ∴平面 ADC1∥平面 A1D1B,∵A1B ? 平面 A1D1B,∴A1B∥平面 ADC1. (14 分)


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