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高中数学第一章三角函数.4三角函数的图象与性质第3课时课堂探究学案新人教A版33


1.4 三角函数的图象与性质(第 3 课时) 课堂探究 探究一三角函数奇偶性的判断 1.判断函数奇偶性的常用方法: (1)定义法, 即从 f(-x)的解析式中拼凑出 f(x)的解析式, 再看 f(-x)=-f(x)或 f(- x)=f(x)是否成立. (2)图象法,即作出函数的图象,由图象的对称性确定其奇偶性. (3)验证法,即验证 f(-x)+f(x)=0 或 f(-x)-f(x)=0 ? 或 ? ? ? f ?? x ? = ? 1? 是否成 f ? x? ? 立.此法通常用于函数是非奇非偶的情形. 2.判断函数奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证 f(- x)是否等于-f(x)或 f(x),进而再判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数是非奇非偶函 数. 【典型例题 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xsin(π +x); (2)f(x)= cos x ; sin x ? 1 (3)f(x)=sin xsin ? ?? ? ? x? . ?2 ? 思路分析:先判断函数的定义域是否关于原点对称,再判断 f(-x)与 f(x)的关系,进 而可确定函数的奇偶性. 解:(1)f(x)的定义域为 R, ∵f(x)=xsin(π +x)=-xsin x, ∴f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsin x=f(x). ∴f(x)为偶函数. (2)f(x)有意义时,sin x+1≠0, ∴sin x≠-1. ∴x≠2kπ - ? ,k∈Z. 2 ? ? ∴f(x)的定义域为 ? x x ? 2k? ? ? ? , k ? Z? . 2 ? ∴f(x)的定义域不关于原点对称. ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 1 (3)f(x)的定义域为 R, 由已知可得 f(x)=sin xcos x, ∴f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x). ∴f(x)是奇函数. 探究二 正、余弦函数的单调性 1. 求函数 y=Asin(ω x+φ )或函数 y=Acos(ω x+φ )(A, ω, φ 为常数, A≠0, ω ≠0) 单调区间的方法: 运用整体变量代换法,即将比较复杂的三角函数符号后的整体当作一个角 u,利用基本 三角函数的单调性求所要求的三角函数的单调区间,但要注意 A,ω 的符号对单调性的影 响.A>0 与 A<0 时,单调区间相反,当 ω <0 时,先用诱导公式将 x 的系数化为正. 例如:函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的单调递增区间、递减区间分别由以下不等 式确定: - ? ? ? 3? +2kπ ≤ω x+φ ≤ +2kπ (k∈Z), +2kπ ≤ω x+φ ≤ +2kπ (k∈Z). 2 2 2 2 2.比较三角函数值的大小时: (1)异名函数化为同名函数; (2)利用诱导公式化为同一单调区间; (3)利用函数的单调性比较大小. 【典型例题 2】 (1)函数 y=2sin ? 2 x ? (2)已知 a=sin ? ? ? ? ?? ? 的单调递增区间为__________. 6? ? ? ,则 a,b 的大小关系是__________. ? ? ? ? 53? ? ? 59? ? ,b=sin ? ? ? 7 ? ? 8 解析:(1)∵y=2sin x 的单调递增区间是 ? 2k? ? 令 2kπ - ? 2 , 2k ? ? ?? 2? ? ,k∈Z. ? ? ? ? ? ≤2x- ≤2

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