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高中数学第一章三角函数.4三角函数的图象与性质第3课时课堂探究学案新人教A版33

1.4 三角函数的图象与性质(第 3 课时) 课堂探究 探究一三角函数奇偶性的判断 1.判断函数奇偶性的常用方法: (1)定义法, 即从 f(-x)的解析式中拼凑出 f(x)的解析式, 再看 f(-x)=-f(x)或 f(- x)=f(x)是否成立. (2)图象法,即作出函数的图象,由图象的对称性确定其奇偶性. (3)验证法,即验证 f(-x)+f(x)=0 或 f(-x)-f(x)=0 ? 或 ? ? ? f ?? x ? = ? 1? 是否成 f ? x? ? 立.此法通常用于函数是非奇非偶的情形. 2.判断函数奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证 f(- x)是否等于-f(x)或 f(x),进而再判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数是非奇非偶函 数. 【典型例题 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xsin(π +x); (2)f(x)= cos x ; sin x ? 1 (3)f(x)=sin xsin ? ?? ? ? x? . ?2 ? 思路分析:先判断函数的定义域是否关于原点对称,再判断 f(-x)与 f(x)的关系,进 而可确定函数的奇偶性. 解:(1)f(x)的定义域为 R, ∵f(x)=xsin(π +x)=-xsin x, ∴f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsin x=f(x). ∴f(x)为偶函数. (2)f(x)有意义时,sin x+1≠0, ∴sin x≠-1. ∴x≠2kπ - ? ,k∈Z. 2 ? ? ∴f(x)的定义域为 ? x x ? 2k? ? ? ? , k ? Z? . 2 ? ∴f(x)的定义域不关于原点对称. ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 1 (3)f(x)的定义域为 R, 由已知可得 f(x)=sin xcos x, ∴f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x). ∴f(x)是奇函数. 探究二 正、余弦函数的单调性 1. 求函数 y=Asin(ω x+φ )或函数 y=Acos(ω x+φ )(A, ω, φ 为常数, A≠0, ω ≠0) 单调区间的方法: 运用整体变量代换法,即将比较复杂的三角函数符号后的整体当作一个角 u,利用基本 三角函数的单调性求所要求的三角函数的单调区间,但要注意 A,ω 的符号对单调性的影 响.A>0 与 A<0 时,单调区间相反,当 ω <0 时,先用诱导公式将 x 的系数化为正. 例如:函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的单调递增区间、递减区间分别由以下不等 式确定: - ? ? ? 3? +2kπ ≤ω x+φ ≤ +2kπ (k∈Z), +2kπ ≤ω x+φ ≤ +2kπ (k∈Z). 2 2 2 2 2.比较三角函数值的大小时: (1)异名函数化为同名函数; (2)利用诱导公式化为同一单调区间; (3)利用函数的单调性比较大小. 【典型例题 2】 (1)函数 y=2sin ? 2 x ? (2)已知 a=sin ? ? ? ? ?? ? 的单调递增区间为__________. 6? ? ? ,则 a,b 的大小关系是__________. ? ? ? ? 53? ? ? 59? ? ,b=sin ? ? ? 7 ? ? 8 解析:(1)∵y=2sin x 的单调递增区间是 ? 2k? ? 令 2kπ - ? 2 , 2k ? ? ?? 2? ? ,k∈Z. ? ? ? ? ? ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z,解得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 2 6 2 6 3 ? ? ∴所求的单调递增区间为 ? k? ? (2)a=-sin ? 6 , k? ? ?? 3? ? ,k∈Z. 53? 3? 3? ? ? =-sin ? 8? ? =sin . ? 7 7 7 ? ? b=-sin 59? 5? ? ? ? 5? ? =-sin ? 8? ? =-sin ? ? ? ? 8 8 ? ? ? 8 ? =sin 5? 3? =sin . 8 8 2 ∵0< 3? 3? ? ? ?? < < ,y=sin x 在 ? 0, ? 上是增函数, 8 7 2 ? 2? 3? 3? >sin .∴a>b. 7 8 ∴sin 答案:(1) ? k? ? , k? ? ? ,k∈Z 6 3? ? 探究三 三角函数的值域(最值) ? ? ?? (2)a>b 三角函数最值问题的常见类型及求解方法 (1)y=asin x+bsin x+c(a≠0),利用换元思想设 t=sin x,转化为二次函数 y=at +bt+c 求最值,t 的范围需要根据定义域来确定. (2)y=Asin(ω x+φ )+b, 可先由定义域求得 ω x+φ 的范围, 然后求得 sin(ω x+φ ) 的范围,最后得最值. 【 典 型 例 题 3 】 (1) 函 数 f(x) = 2sin ? x ? 2 2 ? ? ?? ? ? ?? ? - 1 , x ∈ ?? , ? 的 值 域 为 6? ? 3 2? __________.当 x=__________时,f(x)取最小值,当 x=__________时,f(x)取最大值. (2)函数 f(x)=2cos x-4cos x+1,x∈R 的值域为__________;且当 f(x)取最大值时, 2 x 的取值集合是__________. 思路分析:(1)先利用 x∈ ? ? 函数图象性质求得. (2)把 cos x 看成一个整体,利用换元法转化为求二次函数的值域. 解析:(1)∵- ? ? ? ? ?? , ? 求出 x+ 的范围,再将 x+ 看成整体利用正弦 6 6 ? 3 2? ? ? ? ? 2? ≤x≤ ,∴- ≤x+ ≤ . 3 3 2 6 6 ∴由正弦函数图象性质得, 当

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