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福建省南安第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文


南安一中 2015~2016 学年度上学期期中考 高二年数学(文科)期中考卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1. 某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为 3∶5∶7,现用分层抽样的方法抽出 容量为 n 的样本,其中甲种产品有 18 件,则样本容量 n=( A.54 B.90 C.45 D.126 ) )

2.在右图中,两个变量具有相关关系的图是( A.(1)(2) C.(2)(4) B.(1)(3) D.(2)(3)

(第 2 题图) 3. 某单位有 840 名职工,现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查,将 840 人按 1,2,?,840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[481,720]的人数为( A.11 B.12 C.13
2

)

D.14 )

4.“ m ? 1 ”是“函数 f ( x) ? x ? 6mx? 6 在区间(-∞,3]上为减函数”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5. 为了研究一片大约一万株树木的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位:cm),根据所得数据画出的样本频 率分布直方图如右图,那么在这片树木中底部周长大于 100 cm 的树大约有( A.3000 株 ) B.6000 株 C.7000 株 D.8000 株

6. 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查.现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号,求得间隔 800 数 k= =16, 即每 16 人抽取一个人. 在 1~16 中随机抽取一个数, 如果抽到的是 7, 则从 33~ 50 48 这 16 个数中应取的数是( A.40 B.39 ) ) C.38 D.37

7.下列说法正确的是(

A.事件 A,B 中至少有一个发生的概率一定比 A,B 中恰有一个发生的概率大。 B.事件 A,B 同时发生的概率一定比 A,B 中恰有一个发生的概率小。 C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件。 D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件。
1

8.某工厂对一批新产品的长度(单位: mm )进行检测,如图是检 测结果的频率分 布直方图,据此估计这批产品的中位数为( A. 20 B. 25 C. 22.5 D. 22.75 )
0.08

频率 组距

9.已知 a ???2,0,1,3,4? , b ??1, 2? ,则函数

0.04 0.03 0.02 10 15 20 25 30 35 长度(mm)

f ( x) ? (a2 ? 2) x ? b 为增函数的概率是(
A.

) D.

(第 8 题图)

2 5

B.

3 5

C.

1 2

3 10
)

10.运行如图所示的程序框图,若输出的 S 是 254,则①处应( A. n ? 5 ? B. n ? 6 ? C. n ? 7 ? D. n ? 8 ?

11.一只蜜蜂在一个棱长为 5 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程 中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 2 ,称其为“安全飞行” , 则蜜蜂“安全飞行”的概率为( A. ) C. (第 10 题图)

1 25

B.

8 125

1 125

D.

27 125

12.有 10 个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球任意分 成两堆 , 并求出这两堆乒乓球个数的乘积 ,如此下去 , 直到不能再分为止 ,则所有乘积的和为 ( ) A. 45 B. 55 C. 90 D. 100
开始

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 ;

i ? 12, s ? 1
i ? 11?
是 否 输出 s 结束

2 14. 设 a ? R ,则“直线 y ? a x ? 1 与直线 y ? x ? 1 平行”的

s ? s ?i
i ? i ?1

_______________条件是“ a ? 1 ” 15.已知一个三角形的三边长分别是 5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬 行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点 的距离均超过 2 的概率是 .

(第 13 题图)

16.某校早上 8:00 上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30—7:50 之间到校,且每人在 该时间段的任何时间到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为_____

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
2

17 . (本小题满分 10 分) 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1,2,3,4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球,每个球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号为相同数字的概率; (Ⅱ)求取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率. 18.(本小题满分 12 分) 2015 年 7 月 16 日,电影《捉妖记》上映,上映至今全国累计票房已超过 20 亿。某影院为了 解观看此部电影的观众年龄的情况,在某场次的 100 名观众中随机调查了 20 名观众,已知抽到 的观众年龄可分成 5 组: [ 20,25) , [ 25,30) , [30,35) , [35,40) , [ 40,45) ,根据调查结果得出 年龄情况残缺的频率分布直方图如下图所示。 (Ⅰ)根据已知条件,补充画完整频率分 布直方图, 并估计该电影院观看此部电影的观 众年龄的平均数; ( Ⅱ ) 现 在 从 年 龄 属 于 [ 25,30) 和

[40,45) 的两组中随机抽取 2 人,求他们属于同一年龄组的概率。
19. (本小题满分 12 分) 某地区 2008 年至 2014 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 x 人均纯收入 y 2008 1 2.9 2009 2 3.3 2010 3 3.6 2011 4 4.4 2012 5 4.8 2013 6 5.2 2014 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 x 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2008 年至 2014 年该地区农村居民家庭人均纯收入的 变化情况,并预测该地区 2016 年农村居民家庭人均纯收入.

?? 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: b

? x y ? nx ? y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

? ? y ? bx , , a .

3

20. (本小题满分 12 分) 已知全集 U=R,非空集合 A ? {x | ?2 ?

x ?1 ? 1 ? 2} , 3

B ? {x | ((x ? 1 ? m)(x ? 1 ? m) ? 0} (m ? 0)
(Ⅰ)当 m ? 1 时,求 ? CU B ? ? A ; (Ⅱ)命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,若 q 是 p 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试. 甲、乙两人参加了 5 次考试,成绩如下: 第一次 甲的成绩 乙的成绩 第二次 第三次 第四次 第五次

82 75

87 90

86 91

80 74

90 95

(Ⅰ)若从甲、乙两人中选出 1 人参加比赛,你认为选谁合适?写出你认为合适的人选并说 明理由; (Ⅱ)若同一次考试成绩之差的绝对值不超过 5 分,则称该次考试两人“水平相当”. 由上 述 5 次摸底考试成绩统计,任意抽查两次摸底考试,求恰有一次摸底考试两人“水平相当” 的概率.

22.(本小题满分 12 分) 下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分). 已知甲代表队数据的中位数为 76,乙代表队数据的平均数是 75. (Ⅰ)求 x , y 的值; (Ⅱ)若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩不低于 80 分的学生,求抽到的学生中,甲队学生成绩不低于乙队 学生成绩的概率; (III)判断甲、乙两队谁的成绩更稳定,并说明理由. 南安一中 2015~2016 学年度上学期期中 考
4

高二年数学(文科)期中考卷参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1-6 BDBACB 7-12 DCBCCA

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. 132 14.充分不必要 15. 1 ?

? 6

16.

9 32

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.解:设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x,y. 用(x,y)表示抽取结果,则所有可能的结果有 16 种,即 (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)?4 分 (Ⅰ)设“取出的两个球上的标号相同”为事件 A, 则 A={(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4)}. 事件 A 由 4 个基本事件组成,故所求概率 P(A)=
4 1 = .?????????????7 分 16 4

(Ⅱ)设“取出的两个球上标号的数字之积能被 3 整除”为事件 B, 则 B={(1,3) , (3,1) , (2,3) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,3)} 事件 B 由 7 个基本事件组成,故所求概率 P(A)=
7 .???????????????10 分 16

18.解: (Ⅰ)补充完成的频率分布直方图如下:

?????????????????????3 分 估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为

0.05 ? 22.5 ? 0.2 ? 27.5 ? 0.35 ? 32.5 ? 0.3 ? 37.5 ? 0.1? 42.5 ? 33.5 ?????????6 分
(Ⅱ)年龄属于 [ 25,30) 和 [ 40,45) 的分别有 4 人,2 人,分别记为 A1,A2,A3,A4,B1,B2
5

则从中随机抽取两人的所有可能情况有 (A1,A2) , (A1,A3) , (A1,A4) , (A1,B1) , (A1,B2) , (A2, A3) , (A2,A4) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,A4) , (A3,B1) , (A3,B2) , (A4,B1) , (A4,B2) , (B1,B2) , 共 15 种,???????????????????????????????????8 分 其中,两人属于同一年龄组的有(A1,A2) , (A1,A3) , (A1,A4) , (A2,A3) , (A2,A4) , (A3,A4) , (B1,B2)共 7 种,???????????????????????????????10 分 ∴所求的概率为

7 . ???????????????????????????? ?12 分 15

19.解: (Ⅰ)由所给数据得,

x?

1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ?4 7 ??????????????????????????2 分 2.9 ? 3.3 ? 3.6 ? 4.4 ? 4.8 ? 5.2 ? 5.9 ? 4.3 7 ,??????????????????4 分

y?
7

? xi yi ? 134.4
i ?1

?x
i ?1

7

2 i

? 140

b?

?

?x y
i ?1 7 i

7

i

? 7x y ? 7x
2

?x
i ?1

?

2 i

1 2

a ? y ? b x ? 2.3

?

?

???????????????????6 分

所求的回归直线方程为 y ? 0.5 x ? 2.3 .??????????????????????8 分

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b ? 0.5 ? 0 ,故 2008 年至 2014 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年递增, 平均每年增加 0.5 千元.??????????????????????????10 分

? 将 2016 年的年份代换 t ? 9 代人回归直线方程,得 y ? 0.5 ? 9 ? 2.3 ? 6.8
故预测该地区 2016 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元.????????????12 分

20.解:?2 ?

x ?1 ? 1 ? 2 ? ?2 ? x ? 10 即 A= [?2,10] 而 B= [1 ? m, 1 ? m] ???????2 分 3

(1) 当 m ? 1 时, B ? [0,2] , CU B ? (??,0) ? (2,??) ,????????????????4 分
6

(CU B) ? A ? [?2,0) ? (2,10]

??????????????????????6 分

(2)又 q 是 p 的必要不充分条件, 即 p ? q ????????????????????8 分 所以

?1 ? m ? ?2 ? ?1 ? m ? 10

?

m?9

即实数 m 的取值范围为 [9, ? ?) 。 ???????????????????????12 分

21.解: (Ⅰ)解法一: 依题意有 x甲 ?

82 ? 87 ? 86 ? 80 ? 90 ? 85 5 75 ? 90 ? 91 ? 74 ? 95 x乙 ? ? 85 ???????????????????????2 分 5 1 64 2 2 2 2 2 ? ? s甲2 ? ( 82 - 85) ? (87 - 85) ? (86 - 85) ? (80 - 85) ? (90 - 85) ? ???????3 分 ? ? 5 5 1 382 2 2 2 2 2 ? ? s乙2 ? ( 75 - 85) ? (90 - 85) ? (91- 85) ? (74 - 85) ? (95 - 85) ? ??????4 分 ? ? 5 5

答案一:? x甲 ? x乙 ? 85,s甲2 ? s乙2

? 从稳定性角度选甲合适. ??????????6 分

(注:按(Ⅱ)看分数的标准,5 次考试,甲三次与乙相当,两次优于乙,所以选甲合适.?6 分) 答案二:? x甲 ? x乙 ? 85,s甲2 ? s乙2 乙的成绩波动大,有爆发力,选乙合适.?6 分 解法二:因为甲 5 次摸底考试成绩中只有 1 次 90 ,甲摸底考试成绩不低于 90 的概率为 乙 5 次摸底考试成绩中有 3 次不低于 90 ,乙摸底考试成绩不低于 90 的概率为 所以选乙合适.

1 ;?2 分 5

3 .????5 分 5

?????????????????????????6 分

(Ⅱ)依题意知 5 次摸底考试, “水平相当”考试是第二次,第三次,第五次,记为 A, B, C .“水 平不相当”考试是第一次,第四次,记为 a , b . 从这 5 次摸底考试中任意选取 2 次有 ab, aA, aB, aC, bA, bB, bC, AB, AC, BC 共 10 种情况?9 分 恰有一次摸底考试两人“ 水平相当”包括共 aA, aB, aC, bA, bB, bC 共 6 种情况.??10 分

? 5 次摸底考试成绩统计,任意抽查两次摸底考试,恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率

7

P ( A) ?

6 3 ? . ???????????????????????????????12 分 10 5

22.解: (Ⅰ)因为甲代表队的中位数为 76,其中已知高于 76 的有 77,80,82,88,低于 76 的 有 71,71,65,64,所以 x ? 6 ;因为乙代表队的平均数为 75,其中超过 75 的差值为 5,11,13, 14,和为 43,少于 75 的差值为 3,5,7,7,19,和为 41,所以 y ? 3 ;????????4 分 (II)甲队中成绩不低于 80 的有 80,82,88;乙队中成绩不低于 80 的有 80,86,88,89,甲、 乙两队各随机抽取一名,种数为 3 ? 4 ? 12 ,其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有 80,80; 82,80;88,80;88,86;88,88。种数为 3+1+1=5, 所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩 的概率为 P ?

5 .??????????????????????????????8 分 12
1 ? 64 ? 65 ? 71 ? 71 ? 76 ? 76 ? 77 ? 80 ? 82 ? 88? ? 75 , 10

(III)因为甲的平均数为 x甲 ?
2 所以甲的方差 s甲 =

1 2 2 2 2 2 [? 64 ? 75? ? ? 65 ? 75? ? ? 71 ? 75? ? ? 71 ? 75? ? ? 76 ? 75? 10
2 2 2 2

? ? 76 ? 75? ? ? 77 ? 75? ? ?80 ? 75? ? ?82 ? 75? ? ?88 ? 75? ] ? 50.2 ,
2

2 又乙的方差 s乙 =

1 2 2 2 2 2 [? 56 ? 75? ? ? 68 ? 75? ? ? 68 ? 75? ? ? 70 ? 75? ? ? 72 ? 75 ? 10
2

? ? 73 ? 75? ? ?80 ? 75? ? (86 ? 75) ? (88 ? 75) ? (89 ? 75) ] ? 72.8 ,
2

2

2

2

2 2 所以, s甲 ,甲队的成绩更稳定。??????????????????????12 分 ? s乙

8


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