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2015届高考数学总复习:三角函数、三角恒等变换及解三角形 正弦定理和余弦定理(含答案)

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 7 课时 正弦定理和余弦定理 1. (2013· 无锡期末)在△ABC 中,∠A=45°,∠C=105°,BC= 2,则 AC 的长度为 ________. 答案:1 BC AC 2 解析:∠B=30°,根据正弦定理得 = ,AC= ×sin30°=1. sinA sinB sin45° 2. (2013· 镇江期末)在△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,则 cosC=________. 1 答案:- 4 解析:由 sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,可设 a=2k,b=3k,c=4k,k>0,由余弦定理 a2+b2-c2 4+9-16 1 得 cosC= = =- . 2ab 12 4 π 3. 在△ABC 中,已知 BC=1,B= ,△ABC 的面积为 3,则 AC 的长为________. 3 答案: 13 1 1 3 解析:∵ S= acsinB,∴ 3= ×1×c× ,∴ c=4. 2 2 2 1 又 AC2=12+42-2×1×4× =13,∴ AC= 13. 2 4. (2013· 扬州期末)在△ABC 中,角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,且 a= 5,b =3,sinC=2sinA,则 sinA=________. 5 答案: 5 32+(2 5)2-( 5)2 解析:∵ sinC=2sinA,∴ c=2a=2 5.由余弦定理,得 cosA= 2×3×2 5 2 5 5 = ,∴ sinA= 1-cos2A= . 5 5 5. 在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c,若 sinA= 3sinC,∠B=30°, b=2,则△ABC 的面积是________. 答案: 3 a c 解析:由正弦定理 = ,又 3sinC=sinA,∴ a= 3c. sinA sinC 2 2 2 由余弦定理 b =a +c -2accosB,∴ c=2,a=2 3, 1 ∴ S△ABC= ac·sinB= 3. 2 6. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c,若 a2+b2=2c2,则 cosC 的最 小值为________. 1 答案: 2 a2+b2-c2 a2+b2 1 解析:由余弦定理,得 cosC= = ≥ ,当且仅当 a=b 时取“=”. 2ab 4ab 2 tanA 2c 7. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 1+ = ,则角 A 的大 tanB b 小为________. π 答案: 3 sinAcosB 2sinC 1 解析:1+ = sin(A+B)=2sinCcosA.因为 sinC≠0,所以 cosA= ,A sinBcosA sinB 2 π = . 3 1 8. 在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,若其面积 S= (b2+c2-a2), 4 则∠A=________. π 答案: 4 π 1 1 解析: bcsinA= (b2+c2-a2) a2=b2+c2-2bcsinA sinA=cosA,则∠A= . 2 4 4 1 9. 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,满足 bcosC+ c=a. 2 (1) 求角 B; (2) 若 a、b、c 成等比数列,判断△ABC 的形状. 1 解:(1) 由正弦定理,得 sinBcosC+ sinC=sinA. 2 而 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC, 1 1 故 cosBsinC= sinC.在△ABC 中,sinC≠0,故 cosB= . 2 2 π 因为 0<B<π,所以 B= . 3 π 3 2π (2) 由 b2=ac 及正弦定理,得 sinAsinC=sin2B=sin2 = ,又 A+C=π-B= , 3 4 3 2π 3 1 所以 sinAsin? -A?= sinAcosA+ sin2A 2 ? 3 ? 2 1 - cos2A 3 3 = sin2A+ = , 4 4 4 π 所以 3sin2A-cos2A=2,即 sin?2A- ?=1. 6? ? 2π π π π π 又 0<A< ,所以 2A- = ,A= ,从而 C= . 3 6 2 3 3 故△ABC 是等边三角形. 10. 在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC. (1) 求∠B 的大小; 3 3 (2) 若△ABC 的面积为 ,且 b= 3,求 a+c 的值. 4 解:(1) 因为(2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理,得(2sinA-sinC)· cosB=sinBcosC,即 2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(C+B)=sinA.在△ABC 中,0<A<π,sinA>0,所以 π 1 cosB= .又 0<B<π,故∠B= . 2 3 3 3 1 3 3 (2) 因为△ABC 的面积为 ,所以 acsinB= ,所以 ac=3.因为 b= 3,b2=a2+ 4 2 4 c2-2accosB,所以 a2+c2-ac=3,即(a+c)2-3ac=3.所以(a+c)2=12,所以 a+c=2 3. 11. (2013· 山东)设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 a+c=6,b=2, 7 cosB= . 9 (1) 求 a、c 的值; (2) 求 sin(A-B)的值. 解:(1) 由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,得 b2=(a+c)2-2ac(1+cosB),又 b=2,a 7 +c=6,cosB= ,所以 ac=9, 9 解得 a=3,c=3. 4 2 (2) 在△ABC 中,sinB= 1-cos2B= . 9 asinB 2 2 由正弦定理得 sinA= = . b 3 1 因为 a=c,所

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