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高中数学 1.4《生活中的优化问题举例》课件(4) 新人教A版选修2-2_图文

1.4 生活中的优化问题举例 问题提出 ? 1 ? 5730 p?? ? ?2? t 1.在什么条件下,函数f(x)在闭区间 [a,b]上一定存在最大值和最小值? 函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线 2.如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x) 的图象是一条连续不断的曲线,那么如 何求出函数f(x)在区间[a,b]上的最大 值和最小值? 将函数f(x)在开区间(a,b)上的所有极值 与区间端点函数值进行比较,其中最大者为 最大值,最小者为最小值. 3.生活中经常遇到求利润最高,产量最 大,成本最低,用料最省等实际问题, 这些问题通常称为优化问题.解决优化问 题的本质就是求函数的最值,因此,以 函数为载体导数为工具,解决生活中的 优化问题,是数学应用领域的一个重要 课题. 探究(一):海报版面尺寸的设计 【背景材料】学校或班级举行活动,通 常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一 张如图所示的竖向张贴的海报,要求版 心面积为128dm2,上、下两边各空2dm, 左、右两边各空1dm. 思考1:版心面积为定值128dm2,海报 的面积是否也为定值? 128 (x + 4)( + 2) x 128 (x + 4)( + 2) - 128 x 思考2:设版心的高为x,则海报的面积 为多少?海报四周空白的面积为多少? 思考3:设海报四周空白的面积为S(x), 则S(x)的最简表达式如何?其定义域是 什么? 512 S (x ) = 2x + + 8, x > 0 x 思考4:海报四周空白的面积S(x)是否存 在最值?若存在,如何求其最值? 512 S (x ) = 2x + + 8, x > 0 x 版心高为16dm, 宽为8dm时, 思考5:如何设计海报的尺寸,才能使四 周空白面积最小? 探究(二):饮料瓶大小对饮料公司利 润的影响 【背景材料】某制造商制造并出售球形 瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本是 0.8π r2分,其中r(单位:cm)是瓶子的 半径.已知每出售1mL的饮料,制造商可 获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最 大半径为6cm. 思考1:1mL饮料所占的体积是多少cm3? 半径为r的瓶子最多能装多少mL的饮料? 4 3 pr 3 思考2:每瓶满装的饮料的利润(单位: 分)是多少? 4 0.2 ? 思考3:设每瓶满装饮料的利润为f(r), 则函数f(r)的定义域是什么? (0,6] 3 pr 3 0.8p r 2 r 2 思考4:函数 f (r ) = 0.8p ( - r )(0 < r ? 6) 3 3 是否存在最值?若存在,如何求其最值? f (x )min 3.2p = f (2) = 3 f (x ) max = f (6) = 28.8 p r 思考5:函数 f (r ) = 0.8p ( - r 2 )(0 < r ? 6) 3 3 的大致图象是什么?据图象分析,瓶子 半径的大小对制造商的利润产生什么影 y 响? 当0<r<3时,利润为负 值;当r=3时,利润为 零;当r>3时,利润为 O 正值,并随着瓶子半径 的增大利润也相应增大. 2 3 6 x 思考6:市场上等量的小包装的物品一般 比大包装的要贵些(如半斤装的白酒比 一斤装的白酒平均价格要高),在数学 上有什么道理? 将包装盒捏成球状,因为小包装的半径 小,其利润低,生产商就提高销售价格 来平衡与大包装的利润. 探究(三):磁盘的最大存储量问题 【背景材料】计算机把信息存储在磁盘 上,磁盘是带有磁性介质的圆盘,并由 操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道 是指不同半径所构成的同心圆轨道,扇 区是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道 上的定长的弧可作为基本存储单元,根 据其磁化与否可分别记录数据0或1,这 个基本单元通常称为比特,磁盘的构造 如图所示. 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间 的宽度必须大于m,每比特所占用的磁道 长度不得小于n.为了数据检索的方便, 磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的 比特数. R r 思考1:现有一张半径为R的磁盘,它的 存储区是半径介于r与R的环形区域,且 最外面的磁道不存储任何信息,那么这 张磁盘的磁道数最多可达多少? R R- r m 最内一条磁道. r 思考2:由于每条磁道上的比特数相同, 那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条 磁道上的比特数? 思考3:要使磁盘的存储量达到最大,那 么最内一条磁道上的比特数为多少? R 2p r n r 思考4:这张磁盘的存储量最大可达到多 少比特? R - r 2p r × m n 思考5:若R为定值,r为变量,那么这张 2p r (R - r )(0 < r < R ) 磁盘的存储量 f (r ) = mn 如何变化?有何最值? R r R r = 时,存储量最大. 2 思考6:如果每条磁道存储的信息与磁道 的长度成正比,那么如何计算磁盘的存 储量?此时,是不是r越小,磁盘的存储 R 量越大? m r = 时,存储量最大. 2 r 2p r 2p (r + m ) 2p ( R - m ) f (r ) = + +L + n n n p = (R + r - m )(R - r ) mn 理论迁移 例 某汽车制造厂有一条价值为60万元 的汽车生产线,现要通过技术改造来提 高其生产能力,进而提高产品的增加值. 已知投入x万元用于技术改造,所获得的 产品的增加值为(60-x)x2万元,并且技 x ? (0, 5] .求当技改投入 改投入比率 60 ? x 多少万元时,所获得的产品的增加值为 最大? 技改投入40万元 小结作业 1.解决优化问题的基本思路: 优化问题 用函数表示的数学问题 优化问题的答案 用导数解决数学问题 2.解决优化问题的实质是将实际问题 化归为函数的最值问题来处理,其探究 过程是

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