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1.2.1任意角三角函数


1.2.1 任意角三角函数( 命题人:乔更云 审题人:郑伟 锋 自主预习 认真阅读教材 P11-14,回答下列问题: 1.任意角的三角函数 (1) 单 位 圆 : 在 直 角 坐 标 系 中 , 称 以 为圆心,以 圆. (2)锐角的三角函数:如图所示,在 Rt △OAB 中,∠OAB=90° ,OA=a,AB=b, OB=r,设∠BOA=α,则有: 为半径的圆为单位

数 正弦 余弦 sinα cosα tanα sinα=y cosα=x y tanα= x (x≠0) (k∈Z)时,tanα 无

正切

(x≠0)

(4)定义:当 a=

意义.除此之外,对于每一个确定的 α,都 分别有 确定的正弦值、余弦值、正切值

与之对应,所以这三个对应法则都是以角 α 为 ,以单位圆上点的坐标或坐标的比

值为函数值的函数,分别叫做正弦函数、余 弦函数、正切函数,这三个函数统称为 , 分别记作 y=sinx, y=cosx, y=tanx. α 的三角函 数 正弦 余弦 正切 定义 AB sinα= = OB OA cosα= = OB AB tanα= = OA 2π 变式 1 (1)求 的正弦、余弦和正切 3 值. (2)已知角 α 的终边经过点 P(3,4), 求 sinα,cosα,tanα. (3)已知角 α 的终边过点 P(5,a),且 12 tanα=- ,求 sinα-cosα 的值. 5 典例讲解 [例 1] 已知角的终边落在直线 y=2x 上,求 sinα,cosα,tanα 的值.

(3)任意角的正弦、余弦、正切:如图所 示,α 是任意角,以 α 的顶点 O 坐标原点, 以 α 的始边为 x 轴的非负半轴,建立平面直 角坐标系. 设 P(x,y)是 α 的终边与单位圆的交点, 则有:

α 的三 角函

定义

记法

形式

[例 2] 确定下列各式的符号: (1)sin105° · cos230°; (2)sin (3)cos6· tan6. 7π 7π · tan ; 8 8

变式 3 求下列三角函数值: (1)cos( - 1050° ) ; (2)tan 31π ). 4 19π ; (3)sin( - 3

变式 2. (1)若 sinθ>0 且 tanθ<0,则 θ 是( ) A.第一象限角 角 C.第三象限角 角 (2)判断下列三角函数值的符号: (1)in(-670° )cos1230° ;(2)sin8· cos8. 1 例 5 已知 sinα= ,求出角 α 的取值集 2 合. D.第四象限 B.第二象限 [例 4] 已知角 α 的终边上一点 P(4t, -3t)(t≠0),求 α 的各三角函数值.

[例 3] 求下列各式的值. (1)cos 25 15 π + tan( - π) ; (2)sin810° + 3 4 变式 5.利用单位圆, 求使下列不等式成 立的 x 的取值范围: 1 2 (1)sinx≤ ;(2)tanx≤1;(3)cosx≥ . 2 2

tan765° -cos360° .

9.如果 α 的终边过点 P(2sin30° ,- 1.2.1 任意角三角函数 课后作业 1.若 sinα<0 且 tanα>0,则 α 的终边在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若角 α 的终边过点(-3,-2),则 ( ) A.sinαtanα>0 B.cosαtanα>0 C.sinαcosα>0 D.sinαcosα<0 3.cos1110° 的值为( 1 A. 2 B. ) 是( 2cos30° ),则 sinα 的值等于( 1 A. 2 1 B. - 2 C. - 3 2 ) D. - 3 3

|sinx| cosx |tanx| 10.函数 y= + + 的值域 sinx |cosx| tanx ) A. {-1,1,3} B. {1,3} C. {-1,3} D. R 11.已知 AT,则有( 11π 的正弦线为 MP,正切线为 6 )

A.MP 与 AT 的方向相同 B.|MP|=|AT| C.MP>0,AT<0 D.MP<0,AT>0 12 已知 sinα>0,tanα<0,则 α 的( )

3 1 3 C.- D.- 2 2 2

4.已知 P(2,-3)是角 θ 终边上一点, 则 tan(2π+θ)等于( 3 A. 2 2 3 B. C.- 3 2 ) 2 D.- 3 )

A.余弦线方向向右,正切线方向向下 B.余弦线方向向右,正切线方向向上 C.余弦线方向向左,正切线方向向下 D.余弦线方向向上,正切线方向向左 13.使得 lg(cosθ· tanθ)有意义的角 θ 是 第________象限角. 14.已知角 α 的终边过点(3a-9,a+ 2)且 cosα≤0, sinα>0, 求实数 a 的取值范围.

5. cos2201.2° 可化为(

A.cos201.2° B.-cos201.2° C.sin201.2° D.tan201.2° 6.已知角 α 的终边经过点 P(m,-3), 4 且 cosα=- ,则 m 等于( 5 )

11 11 A.- B. C.-4 D.4 4 4 P 在第二或三象限,所以 m<0,则 m= -4. 7.如果点 P(sinθ+cosθ,sinθcosθ)位于 第二象限,那么角 θ 所在的象限是( A.第一象限 象限 D.第四象限 8.α 是第二象限角,P(x, 5)为其终边 上一点, 且 cosα= A. 10 4 B. 2 x, 则 sinα 的值为( 4 ) ) 15.求下列各式的值: 25π 23π (1)sin +tan(- ); 3 4 (2)sin 1170° +cos360° -tan 125° .

B.第二象限 C.第三

6 2 10 C. D.- 4 4 4

= 1 1 16.已知 =- ,且 lgcosα 有意 |sinα| sinα 义. (1)试判断角 α 所在的象限; 3 (2)若角 α 的终边上一点是 M( ,m),且 5 |OM|=1(O 为坐标原点),求 m 的值及 sinα 的值.

1 5 2 = ,tanα= =2. 5 1 5 当角的终边在第三象限时, 在角的终边

上取点 Q(-1,-2), 由 r=|OQ|= ?-1?2+?-2?2= 5, 得: sinα= = -2 -1 2 5 5 =- , cosα= =- , tanα 5 5 5 5

-2 =2. -1 2π 变式 1(1) 因为角 的终边与单位圆 3

1 3 的交点为(- , ), 2 2 2π 3 2π 1 2π 所以 sin = ,cos =- ,tan = 3 2 3 2 3 - 3.

(2) x=3, y=4, 得 由 r= 32+42=
18.(2011~2012· 黑龙江五校联考)已知 角 θ 的终边上有一点 P(- 3,m),且 sinθ = 2 m,求 cosθ 与 tanθ 的值. 4 5. y 4 x 3 y 4 ∴sinα= = , cosα= = , tanα= = . r 5 r 5 x 3 (3)由正切函数定义得: a 12 =- ,∴a=-12,r= 52+?-12?2 5 5 =13 a 12 5 ∴sinα= =- ,cosα= 13 13 13 12 5 17 ∴sinα-cosα=- - =- . 13 13 13 例 2(1)∵105° 、230° 分别为第二、第三 象限角, ∴sin105° >0,cos230° <0. 1.2.1 任意角三角函数(第一课时) 1. ( 1 ) 原 点 , 单 位 长 度 ( 2 ) (3)y, x y/x (4) π 于是 sin105° · cos230° <0. π 7π (2)∵ < <π, 2 8 ∴ <0. ∴sin 7π 7π · tan <0. 8 8 7π 7π 7π 是第二象限角,则 sin >0,tan 8 8 8

一,自变量,三角函数 例 1 [ 解析 ]

2+kπ



当角的终边在第一象限

时,在角的终边上取点 P(1,2),由 r=|OP| = 12+22= 5,得 sinα= 2 2 5 = ,cosα 5 5

(3)∵

3π <6<2π, 2

5t. y - 3t 3 x 4t 4 sinα= = =- ,cosα= = = , r 5t 5 r 5t 5 y -3t 3 tanα= = =- ; x 4t 4 当 t<0 时,α 是第二象限角,r=|PO|= -5t, y -3t 3 x 4t sinα= = = ,cosα= = =- r - 5t 5 r -5t ∴ sin( - 4 y - 3t 3 ,tanα= = =- . 5 x 4t 4 例 5[解析] 已知角 α 的正弦值,可知 1 1 MP= ,则 P 点纵坐标为 .所以在 y 轴上取 2 2 1 1 点(0, ),过这点作 x 轴的平行线 y= ,交 2 2 单位圆于 P1、P2 两点,则 OP1、OP2 是角 α π 的终边,因而角 α 的集合为{α|α=2kπ+ 或 6 sin( - 5π α=2kπ+ ,k∈Z},如图: 6

∴6 是第四象限角. 变式 2 (1) B,(2) (1)∵-670° =-2×360°

+ 50° ,∴- 670° 是第一象限角,∴ sin( - 670° )>0. 又 1230° =3×360° +150° , ∴1230° 是第二象限角, ∴ cos1230° <0 ,

670° )cos1230° <0. 5 (2)∵ π<8<3π,即 8 rad 的角是第二象 2 限角,∴sin8>0,cos8<0.∴sin8· cos8<0. 例3 (1)∵-670° =-2×360° +50° ,∴- 670° 是第一象限角,∴sin(-670° )>0. 又 1230° =3×360° +150° , ∴1230° 是第二象限角, ∴ cos1230° <0 , ∴

670° )cos1230° <0. 5 (2)∵ π<8<3π,即 8 rad 的角是第二象 2 限角,∴sin8>0,cos8<0.∴sin8· cos8<0. 变式 3(1)∵-1050° =-3×360° +30° , ∴ cos( - 1050° ) = cos( - 3×360° + 30° ) =cos30° = (2)∵ 3 . 2 变式 5[解析] (1)如图所示,在 0~2π 内作 1 π 5 出正弦值等于 的角:和 π.在图中所示的阴 2 6 6 影区域内的每一个角 x ,其正弦值都满足 1 1 5π sinx≤ , 所以不等式 sinx≤ 的解集为: {x| 2 2 6

19π π =3×2π+ , 3 3

19π π π ∴tan =tan(3×2π+ )=tan = 3. 3 3 3 31π π 31π (3)∵- =-4×2π+ , ∴sin(- ) 4 4 4 π π 2 =sin(-4×2π+ )=sin = . 4 4 2 例 4 因为点 P 的坐标是(4t, -3t)且 t≠0, 所以 r=|PO|= ?4t?2+?-3t?2=5|t|. 当 t>0 时,α 是第四象限角,r=|PO|=

13 +2kπ≤x≤ π+2kπ,k∈Z}. 6 3 . 2

-3 4 C[解析] tan(2π+θ)=tanθ= =- 2

(2)如图所示, 在 0~2π 内作出正切值等 π 5π 于 1 的角: 和 ,则在图中所示的阴影区 4 4 域内的每个角 x(不包括终边在 y 轴上的角) 均满足 tanx≤1.

5

B[解析]

∵201.2° 是第三象限角,

∴cos201.2° <0, 6 C[解析] 由题意得 cosα= m = m2+9

4 4 - ,解得 m=± 4.又 cosα=- <0,则 α 的 5 5 终边在第二或三象限, 则点 P 在第二或三象 限,所以 m<0,则 m=-4. 7. C[ 解 析 ] 由 于 点 P(sinθ + cosθ ,

sinθcosθ) 位 于 第 二 象 限 , 则
? ?sinθ+cosθ<0, ? 所以有 sinθ<0,cosθ<0, ? ?sinθcosθ>0,

所以 θ 是第三象限角. 8 A[解析] ∵|OP|= x2+5,∴cosα= x 2 = x,又因为 α 是第二象限角,∴ 4 x +5
2

x<0,得 x=- 3 ∴sinα= 5 10 = ,故选 A. 4 x2+5 ∵ P(1 , - 3 ) , ∴ r = 3 . 2

9 C[ 解 析 ]

12+?- 3?2=2,∴sinα=- 10 C[解析] 课后作业答案 1. C[解析] 由于 sinα<0,则 α 的终 边在第三或四象限,又 tanα>0,则 α 的终边 在第一或三象限, 所以 α 的终边在第三象限. 2 C[解析] ∵角 α 的终边过点(-3,- 2), ∴sinα<0, cosα<0, tanα>0, ∴sinαcosα>0, 故选 C. 3 B[ 解析 ] 30° )=cos30° = cos1110° = cos(3×360° + 3 . 2 -1. 1;

∵该函数的定义域是 {x|x

kπ ∈R 且 x≠ ,k∈Z},∴当 x 是第一象限角 2 时,y=3; 当 x 是第二象限角时,y=1-1-1=-

当 x 是第三象限角时,y=-1-1+1= -1; 当 x 是第四象限角时,y=-1+1-1=

综上,函数的值域是{-1,3}. 11[答案] A [解析] 三角函数线的方向和三角函数值的 11π 11π 符号是一致的.MP=sin <0,AT=tan 6 6 <0. 12[答案] C [解析] ∵sinα>0,tanα<0,∴α 是第二象限 角.∴cosα<0.∴余弦线方向向左,正切线方 向向下. 13 一或二,12 - 3 , 13 ± 2在角 α 终边 3

的负半轴上的角. 由 lgcosα 有意义可知 cosα>0, ∴α 是第一或第四象限角或终边在 x 轴 的正半轴上的角. 综上可知角 α 是第四象限的角. (2)∵|OM|=1, 3 4 ∴( )2+m2=1,解得 m=± . 5 5 又 α 是第四象限角,故 m<0, 4 从而 m=- . 5 由正弦函数的定义可知 4 - 5 y m 4 sinα= = = =- . r |OM| 1 5 18 (1)当 m=0 时,cosθ=-1,tanθ=0; (2)当 m= 5时,cosθ=- 15 ; 3 (3) 当 m=- 5时, cosθ=- = 15 . 3 6 , tanθ 4 6 ,tanθ=- 4

上任取一点 P(x,y),则 y=x,当 x>0 时,r y x 2 = x2+y2= 2x,sinα+cosα= + = + r r 2 2 = 2,当 x<0 时,r= x2+y2=- 2x, 2 y x 2 2 sinα+cosα= + =- - =- 2., r r 2 2 14 ∵cosα≤0,sinα>0,

∴角 α 的终边在第二象限或 y 轴非负半 轴上, ∵α 终边过(3a-9,a+2),
? ?3a-9≤0 ∴? ,∴-2<a≤3. ?a+2>0 ?

15(1)sin

25π 23π π + tan( - ) = sin(8π + ) + 3 4 3

3+2 π π π 3 tan(-6π+ )=sin +tan = +1= . 4 3 4 2 2 (2)sin1170° +cos360° -tan1125° = sin(3×360° + 90° ) + cos(0° + 360° )- tan(3×360° +45° ) =sin90° +cos0° -tan45° =1+1-1=1. 1 1 16(1)由 =- |sinα| sinα 可知 sinα<0, ∴α 是第三或第四象限角或终边在 y 轴


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