当前位置:首页 >> 数学 >>

推理与证明题型归纳


《推理与证明》题型归纳
推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知 识点,需要采用多种数学方法才能解决问题,是提高区分度,增强选拔功能的重 要题型, 因此在最近几年的高考试题中, 推理与证明问题正在成为一个热点题型。 因此,我们必须学好它。如何学好?首要任务是熟练掌握本章的典型题目。 下面将本章题型归纳如下: 题型一 归纳推理发现一般性结论

归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。常见形式有:一是“具有 共同特征”,二是“循环型”(周期性),三是“递推型”。 例1 观察下列两式: ① tan100 ? tan200 ? tan200 ? tan600 ? tan600 ? tan100 ? 1 ; ② tan50 ? tan100 ? tan100 ? tan750 ? tan750 ? tan50 ? 1 . 分析上面两式的共同特点,写出反映一般规律的等式,并证明你的结论。 解:一般规律的等式:若 ? ? ? ? ? ? 900 ,
tan? ? tan ? ? tan ? ? tan? ? tan? ? tan? ? 1 。

证明如下:由 ? ? ? ? 900 ? ? ,得 tan( ? ? ? ) ? tan( 900 ? ? ) , 即
tan? ? tan ? 1 ? tan( 900 ? ? ) ? , 1 ? tan? tan ? tan?

所以 tan ? tan? ? tan? tan? ? 1 ? tan? tan ? 即 tan? ? tan ? ? tan ? ? tan? ? tan? ? tan? ? 1 。 思维启迪: 具有共同特征的几个式子得出一个通式, 是归纳推理的常见题型。 例2
f (2012 )?

设定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) + f ( x ? 2) ? 12 ,若 f (2) ? 2 ,则

解:因为 f ( x) + f ( x ? 2) ? 12 , f (2) ? 2 ,所以 f (4) ? 10 , f (6) ? 2 ,

?2 n是正奇数 f (8) ? 10 ,??,由此归纳出: f (2n) ? ? ?10 n是正偶数
f (2012 ) ? f (2 ? 1006 ) ? 10

,所以


1

思维启迪:本题条件 f ( x) + f ( x ? 2) ? 12 换为 f ( x) · f ( x ? 2) ? 12 ,解题思 路是一致的,属于“循环型”(周期性)。 例 3 (2012 届南通学科基地)如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形” ,
1 他们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为 ( n ? 2) ,每个数 n

是它下一行左右相邻两数的和, 如: 1 ? 1 ? 1 , 1 ? 1 ? 1 , 1 ? 1 ? 1 ?,则第 n(n ? 3) 行第 3 个数字是
1 2 2 2 3 6 3 4 12



解:

1 1 1 1 ? ? y, ? ?x, n ?1 n n ? 2 n ?1

所以 y ? x ?

1 1 2 2 ? ? ? n n ? 2 n ? 1 n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1)(n ? 2)

即第三个数:

思维启迪:设第 n 行的第 2 个数 y ,第 n ? 1 行的第 2 个数 x ,通过对三角形 规律的研究得出答案中的两个式子即可求解,本题属于“递推型”。 题型二 类比推理拓展新知识

类比推理又称类比法,它是根据两个或两类对象有部分属性相同,从而推出它 们的其它属性也相同的推理。简单地说,类比推理是由特殊到特殊的推理。常见 形式有:等差数列性质类比等比数列性质,椭圆性质类比双曲线性质,平面中的 “点、线、圆、三角形、角、面积、周长”分别类比空间中的“线、面、球、三 棱锥、二面角、体积、表面积”等等。 例4 数列 {an } 是正项等差数列, 若 bn ?
a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? nan , 则数列 {bn } 1? 2 ? 3 ?? ? n

也 为 等 差 数 列 。 类 比 上 述 结 论 , 写 出 正 项 等 比 数 列 {cn } , 若

dn =

,则数列{ d n }也为等比数列 。

2

解: (c1 ? c ? c ? ?? ? c )
2 2 3 3

1 n 1? 2?3??? n n

思维启迪: bn ?

a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? nan a ? (a2 +a2)( ? a3 +a3 +a3) ? =? 1 1? 2 ? 3 ? ? n 1? 2 ? 3 ?? ? n

? nan



等差数列 {bn } 和等比数列 {cn } 相类比,则

dn =

1? 2 ? 3? ? n

c1( ? c2 c2) ( ? c3 c3 c3) ??

? c = (c1 ? c ? c ? ?? ? c )
n n

2 2

3 3

1 n 1? 2?3??? n n

例 5

已知命题:平面直角坐标系 x0 y 中, ?ABC 顶点 A ?? c,0? 和 C (c,0) ,
x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0, c ? a 2 ? b 2 ) 上,椭圆的离心率是 e ,则 2 a b

顶点 B 在椭圆

sin A ? sin C 1 ? 。试将该命题类比到双曲线中,可得到一个命题: sin B e

解:如图,由正弦定理得, AB ? 2 R sin C , AC ? 2 R sin B , BC ? 2 R sin A
sin C ? sin A 1 a 2a AB ? BC ? ? 所以 ? = c 2c AC sin B e
y B

由椭圆的定义类比到双曲线的定义可得: 平面直角坐标系 x0 y 中, ?ABC 顶点
A ?? c,0? 和 C (c,0) ,顶点 B 在双曲线
A O C x

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0, c ? a 2 ? b 2 ) 上,双 2 a b

曲线的离心率是 e ,则|

sin A ? sin C 1 |? 。 sin B e

思维启迪:本题由椭圆的性质类比双曲线的性质。 例6
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

1 若?ABC 内切圆半径为 r,三边长为 a、b、c,则?ABC 的面积 S=2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

r (a+b+c) 类比到空间, 若四面体内切球半径为 R, 四个面的面积为 S1、 S2 、 S3 、 S4,则四面体的体积 V= 。 解:?ABC 内切圆半径为 r 和四面体内切球半径为 R 相对应,三边长与四个 1 面的面积对应,不难类比猜测本题的答案:3 R(S1+S2+S3+S4)。 思维启迪:本题类比主要对象是三角形面积和三棱锥体积。 1 1 一般地,三角形面积计算都要有 ,而棱锥体积则都包含3 。因此最后的结果是 2 1 3 R(S1+S2+S3+S4) 。

3

题型三

“三段论”进行演绎推理

演绎推理是一种由一般性的命题推出特殊性命题的推理模式,是一种必然性 的推理,演绎推理的前提和结论之间有蕴含关系,因而只要前提是正确的,推理 形式是正确的,那么结论必定是真实的,但是错误的前提可能导致错误的结论。 如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,面 1 CDE 是等边三角形,棱 EF // BC 。 ?2 F E FO CDE (1)证明 //平面 ; 例7 (2)设 BC ? 3CD ,证明 EO ? 平面 CDF 。 解: (Ⅰ)证明:取 CD 中点 M,连结 OM。 在矩形 ABCD 中, 1 1 B OM // BC ,又 EF // BC , 2 2
A O C M D

则 EF //OM ,连结 EM,于是四边形 EFOM 为平行四边形。? FO // EM 又 FO ? 平面 CDE,且 EM ? 平面 CDE,∵FO∥平面 CDE (Ⅱ)证明:连结 FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△CDE 中,
CM ? DM , EM ? CD 且 EM ?

3 1 CD ? BC ? EF 。 2 2

因此平行四边形 EFOM 为菱形,从而 EO⊥FM 而 FM∩CD=M,∴CD⊥平 面 EOM,从而 CD⊥EO。而 FM ? CD ? M ,所以 EO⊥平面 CDF。 思维启迪:演绎推理是形式化程度较高的必然推理,在数学发现活动中,它 具有类似于“实验”的功能,它不仅为合情推理提供了前提,而且可以对猜想作出 “判决”和证明,从而为调控探索活动提供依据。 题型四 例 8 直接推理证明 设 a1 , a2 , a3 ,?, a50 是从 ? 1 , 0 , 1 这三个数取值的数列,若

a1 ? a2 ? a3 ? ?+ a50 ? 6 ,(a1 ? 1) 2 ? (a2 ? 1) 2 ? (a3 ? 1) 2 ? ?+ (a50 ? 1) 2 ? 102,则 a1 , a2 , a3 ,?, a50 中有
个1
2 2 2 2

解: (a1 ? 1) 2 ? (a2 ? 1) 2 ? (a3 ? 1) 2 ? ?+ (a50 ? 1) 2 ? ( a1 ? a2 ? a3 +? a50 ) +2( a1 ? a2 ? a3 ? ?+ a50 )+50=102 。因为 a1 ? a2 ? a3 ? ?+ a50 ? 6 ,所以
2 2 2 2 a1 ? a2 ? a3 +? a50 =40,所以 50 个数中有 40 个从 ? 1 中取,另外 10 个 0,由

4

a1 ? a2 ? a3 ? ?+ a50 ? 6 可得 23 个 1,17 个 ? 1 。故本题答案:23 个 1
思维启迪: 本题的表象是代数求解问题, 实质是推理。 寻找本题的解题思路, 我们采用分析法,当我们将 (a1 ? 1) 2 ? (a2 ? 1) 2 ? (a3 ? 1) 2 ? ?+ (a50 ? 1) 2 ? 102 展 开,得到 a1 ? a2 ? a3 +? a50 =40,很容易想到只有 ?? 1? ? 1,40 个 ? 1 ,另 10
2 2 2 2
2

个是 0,让我们有一种“柳暗花明”的感觉,这其实就是分析法的妙处。写解题 过程时,我们通常采用综合法,由已知条件出发,推出结论。 题型五 运用反证法证明

利用反证法时, 需要注意的一是否定结论部分,把握住结论的反是什么?二 是导出矛盾部分,矛盾有时是与已知条件矛盾,有时是与假设矛盾,而有时又是 与某定义、定量、公理或事实矛盾,因此要弄明白究竟是与什么矛盾。
? ? ? 例 9 若 a,b,c 均为实数,且 a ? x2 ? 2 y ? , b ? y 2 ? 2 z ? , c ? z 2 ? 2 x ? ,证
3 3 3

明:a,b,c 中至少有一个大于 0 证明:假设 a,b,c 中全不小于 0,即 a ? 0, b ? 0, c ? 0
a ? b ? c ? x2 ? 2 y ?

?
3

? y 2 ? 2z ?

?
3

? z 2 ? 2x ?

?
3

? ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? ( z ? 1)2 ? ? ? 3 ? 0

2 2 2 这与 (x ? 1 ) ? (y ? 1 ) ? (z ? 1 ) ? ? ? 3 ? 0 矛盾。

所以假设不成立,原命题正确。 思维启迪: 对难于从正面入手的数学证明问题, 解题时可从问题的反面入手, 探求已知与未知的关系,从而将问题得以解决。因此当遇到“否定性”、“唯一 性”、“无限性”、“至多”、“至少”等类型命题时,宜选用反证法。 题型六 用数学归纳法证明

常见题型:用数学归纳法证明与自然数 n 有关的等式,用数学归纳法证明整 除性问题。 例 10
1?

用数学归纳法证明等式:

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? (n? N?) 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n 1 1 ? =右,等式成立。 2 2

证明:(1)当 n ? 1 时,左= 1 ?

(2)假设当 n ? k (k ? 2 )时,等式成立,即
5

1?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? 。 2 3 4 2k ? 1 2k k ? 1 k ? 2 2k


1?
?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ?( ? )? ? ??? ?( ? ) 2 3 4 2k ? 1 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2

1 1 1 1 。 ??? ? ? k ?2 2 k 2 k ? 1 2k ? 2

所以当 n ? k ? 1 时,等式也成立。综合(1)、(2),等式对所有正整数都成立。 思维启迪:用数学归纳法证明等式是一类常见题型,注意用数学归纳法证明 的步骤,明确从 k 到 k ? 1 时式子变化了哪些,同时注意归纳假设时,如何凑出要证 的结论,搞清项数与各项的结构。证明的关键是第二步 n ? k ? 1 时提取公因式、 分解因式、添拆项、配方等技巧的合理使用,并用活。 例 11 用数学归纳法证明: n3 ? 5n(n ? N ? ) 能被 6 整除。

答案要点:(1)当 n ? 1 时, 13 ? 5 ?1 能被 6 整除,命题正确; (2)假设 n ? k 时命题正确,即 k 3 ? 5k 能被 6 整除, 所以当 n ? k ? 1 时, (k ? 1) 3 ? 5(k ? 1) ? (k 3 ? 3k 2 ? 3k ? 1) ? (5k ? 5) ? (k 3 ? 5k )
? 3k (k ? 1) ? 6 ,而两个连续的整数的乘积 k (k ? 1) 是偶数,所以 3k (k ? 1) 能被 6 整

除,所以 (k 3 ? 5k ) ? 3k (k ? 1) ? 6 能被 6 整除,即当 n ? k ? 1 时命题也正确,由(1)、 (2) 知命题时 n ? N ? 都正确。 思维启迪:整除问题在考试中并不多见,一般用数学归纳法解决此类问题。 用 数学归纳法证明有关数或式的整除问题时,要充分利用整除的性质。 若干个数(或 式)都能被某一个数(或式)整除,那么其和、差、积也能被这个数(或式)整除。即 若 a 能被 c 整除,则 a 的倍数 ka 也能被 c 整除( k ? Z );若 a 、 b 都能被 c 整除,则
a ? b 也能被 c 整除.

倘若以上题型能熟练掌握,我们就可以快速地增进知识、提高能力、开拓思 维,加速更新自己的知识网络,必将信心百倍迎战高考。

6

邮编

222111

地址:江苏省连云港市赣榆县海头镇 学校:江苏省海头高级中学 姓名:匡立柱 邮箱:kuanglizhu@126.com 电话:15950707573

7


相关文章:
推理与证明题型全归纳(AB卷).doc
推理与证明题型归纳(AB卷) - 第五节 合情推理与演绎推理 1.合情推理 (1)归纳推理: ①定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都...
新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结.doc
新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结 - 《推理与证明》知识归纳总结 合情推理 推理 推理与证明 证明 演绎推理 综合法 直接证明 分析法 数学归纳 法 间接...
高二数学推理与证明知识点与习题.doc
高二数学推理与证明知识点与习题 - 选修 2-2:推理与证明 一、推理 1.推理 :前提、结论 2.合情推理: 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: (1)归纳推理...
推理与证明(含答案).doc
推理与证明(含答案) - 推理与证明 考情解读 1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推 理,多以小题形式出现.2.直接证明...
高二数学推理与证明知识点与习题_图文.doc
推理与证明一、推理 1.推理 :前提、结论 2.合情推理:合情推理可分为归纳...选择好证明方法并运用三种证明方 法分析问题或证明数学命题 题型 1 综合法 在...
推理与证明练习题.doc
推理与证明练习题 - 推理证明基础训练,以归纳推理和类比推理为主... 推理与证明练习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。推理证明基础训练,以归纳推理和类比推理为...
推理与证明经典练习题.doc
推理与证明经典练习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高二数学《推理与证明》...n(n ? N * , n ? 1) 时, ,第一步验证不等式 29.用数学归纳法证明:...
第二章推理与证明复习小结_图文.ppt
第二章推理与证明复习小结 - 知识结构 合情推理 推理 推理与证明 证明 间接证明 演绎推理 比较法 归纳推理 类比推理 直接证明 综合法 分析法 反证法 数学归纳法...
高二数学推理与证明知识点与习题.doc
高二数学推理与证明知识点与习题 - 推理与证明知识结构 推理与证明 推理 证明 合情推理 演绎推理 直接证明 间接证明 数学归纳法 类比 归纳推理 ●1. 综合法 ...
高中推理与证明测试题.doc
高中推理与证明测试题 - 高二数学选修 2-2《推理与证明测试题》 一、 选择题
高考数学推理与证明.doc
高考数学推理与证明 - 第十三章 推理与证明 命题探究 考纲解读 考点 内容解读 (1)了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行 简单的推理,了解合情推理在数学...
推理与证明-证明题专项训练.pdf
推理与证明-证明题专项训练 - 推理与证明-2 1.用数学归纳法证明不等式: (且) 2.(本题满分 50 分)设 , 是互不相同的正整数, 求证: . 3.用数学归纳法...
选修2-2《推理与证明测试题A卷》(含答案).doc
选修2-2《推理与证明测试题A卷》(含答案) - 推理与证明测试题 A 卷 (本
推理与证明经典题型.doc
推理与证明经典题型 - 推理与证明经典题 1、 如图所示的三角形数阵叫 “莱布尼
“推理与证明”热点题型解密.doc
推理与证明”热点题型解密 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn “推理与证明”热点题型解密 作者:王晓东 来源:《新高考 高二数学》2013 年第 03 期 ...
选修2-2第一章推理与证明练习题.doc
选修2-2第一章推理与证明练习题 - 高考经典 推理与证明过关检测试题 2 4
2014年全国高考理科数学试题分类汇编17 推理与证明.doc
+g(n)与 n-f(n)的大小,并加以证明. x 21.解:由题设得,g(x)= (x...( ) A.9 B.10 C.11 D.12 4.C [解析] 由归纳推理可知,m=6,p=5,...
高二数学选修1-2推理与证明测试题及答案[1].doc
高二数学选修1-2推理与证明测试题及答案[1] - 第二章 推理与证明测试题 本
2014届高三数学一轮必备“高频题型全掌握”18.推理与证明.doc
2014届高三数学一轮必备“高频题型全掌握”18.推理与证明 - 【精选三年经典试题(数学) 】2014 届高三全程必备《高频题型全掌 握系列》18.推理与证明 1.【北京...
推理与证明测试题.doc
推理与证明测试题 - 推理与证明测试题 一、选择题(本题共 20 道小题,每小题 0 分,共 0 分) 1.下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推理;...
更多相关文章: