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5你熟悉公式 吗最新衡水中学校内自用精品


你熟悉公式 a 读者可能熟悉以下结论: 定理 1 n ? am q n?m (n ? m) 吗 (1) 若 等 差 数 列 ?a n ? 的 通 项 公 式 是 an ? a1 ? (n ? 1)d , 则 ?m ? N* , 都 有 an ? am ? (n ? m)d ; (2)若等比数列 ?a n ? 的通项公式是 an ? a1 q n ?1 ,则 ?m ? N*,都有 an ? am q n?m . 关于它们,还有以下伴随结论: 定理 2 (1)若数列 ?a n ? 从第 m(m ? N*)项开始成等差数列,则 an ? am ? (n ? m)d (n ? m) ; (2)若数列 ?a n ? 从第 m(m ? N*)项开始成等比数列,则 an ? am q n?m (n ? m) . 下面介绍定理 2 在解数列题中的应用. 题 1 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , 且 an ? 0, a1 ? 2 .当 n ? 2 时,S n ? 2an , bn ? log2 an , 则 bn ? 解 . 由 S 2 ? 2a2 ? a1 ? a2 ? 2 ? a2 ,得 a 2 ? 2 . 由 S n ? 2an , S n?1 ? 2an?1 (n ? 2) ,得 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? 2an?1 ? 2an , an?1 ? 2an (n ? 2) 说明 ?a n ? 从第 2 项起成等比数列,所以 an ? a2 q n?2 ? 2 ? 2n?2 ? 2n?1 (n ? 2) ?2 an ? ? n?1 ?2 (n ? 1) (n ? 2) (n ? 1) ?1 bn ? log2 an ? ? ?n ? 1 (n ? 2) 题 2 (2005 年 高 考 北 京 卷 文 科 第 17 题 ) 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 为 S n , 且 1 a1 ? 1, an?1 ? Sn , n ? 1,2,3,? .求: 3 (1) a2 , a3 , a4 的值及数列 ?a n ? 的通项公式; (2) a2 ? a4 ? a6 ? ? ? ?a2 n 的值. 解 (1)由 Sn ? 3an?1 , Sn?1 ? 3an?2 ,得 an?1 ? S n?1 ? S n ? 3an?2 ? 3an?1 an?2 ? 4 an?1 3 1 1 1 又 a2 ? S1 ? a1 ? ,所以 ?a n ? 从第 2 项起成等比数列,得 3 3 3 ?1 ? an ? ? 1 ? 4 ? n ? 2 ?3 ? 3 ? ? ? ? (n ? 1) (n ? 2) 1 4 16 所以 a2 ? , a3 ? , a4 ? . 3 9 27 1? 4? (2)可得 a2 n ? ? ? 3? 3? 2 n?2 1 ? 16 ? ? ? ? ,所以 3? 9 ? n n ?1 1 1 ? 16 ? ? ? ? n ? 3 ?? 16 ? 3 3? 9 ? a 2 ? a 4 ? a6 ? ? ? ? a 2 n ? ? ?? ? ? 1? 16 7? ? ?? 9 ? ? 1? 9 若不熟悉以上定理 2(2),很容易做错题 1 及题 2.

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