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2017届高考数学二轮复习(浙江专用)课件 考前增分指导三 2


2.函数与导数

1.求函数的定义域,关键是依据含自变量 x的代数式有意义来

列出相应的不等式(组)求解,如开偶次方根,被开方数一定
是非负数;对数式中的真数是正数;列不等式时,应列出所 有的不等式,不应遗漏.
1 [回扣问题 1] 函数 f(x)= x +ln(x-1)的定义域是( 2 -1 )

A.(0,+∞) C.(0,1) 答案 B

B.(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)

2. 求函数解析式的主要方法: (1) 代入法; (2) 待定系数法; (3) 换 元(配凑)法;(4)解方程法等.用换元法求解析式时,要注意新元

的取值范围,即函数的定义域问题.
[回扣问题 2] 已知 f( x)=x+2 x,则 f(x)=________.

答案 x2+2x(x≥0)

3.分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用不同的式子

来表示对应关系的函数,它是一个函数,而不是几个函数.
[回扣问题 3] 已知函数
x ? ? ?1?? e ? ,x<0, f(x)=? 则 f?f?e ??=________. ? ? ? ?? ?ln x,x>0,

1 答案 e

4.函数的奇偶性
若 f(x)的定义域关于原点对称, f(x)是偶函数?f(-x)=f(x)=f(|x|); f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x); 定义域含 0 的奇函数满足 f(0)=0;定义域关于原点对称是函数为 奇函数或偶函数的必要不充分的条件;判断函数的奇偶性,先求 定义域,若其定义域关于原点对称,再找 f(x)与 f(-x)的关系.

[回扣问题 4] ________.

(1)若 f(x)=2x+2-xlg a 是奇函数,则实数 a=

1 答案 10

(2)已知f(x)为偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,若f(lg x)>f(1),

则x的取值范围是________.
答案
?1 ? ? ,10? ?10 ?

5.函数的周期性
由周期函数的定义“函数 f(x)满足 f(x)=f(a+x)(a>0),则 f(x) 是周期为 a 的周期函数”得: ①函数 f(x)满足-f(x)=f(a+x),则 f(x)是周期 T=2a 的周期函 数; 1 ②若 f(x+a)= (a≠0)成立,则 T=2a; f(x) 1 ③若 f(x+a)=- (a≠0)恒成立,则 T=2a. f(x)

[回扣问题5]

已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意x∈R,都 )

有f(x+4)=f(x),若f(1)=2,则f(2 015)等于( A.2 C.2 015 B.-2 D.-2 015

答案 B

6.函数的单调性
①定义法:设 x1,x2∈[a,b],x1≠x2 那么 f(x1)-f(x2) (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0? >0?f(x)在[a,b]上是 x1 -x2 增函数; f(x1)-f(x2) (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0? <0?f(x)在[a,b]上是 x1 -x2 减函数; ②导数法:注意 f ′(x)>0 能推出 f(x)为增函数,但反之不一定.如 函数 f(x)=x3 在(-∞,+∞)上单调递增,但 f′(x)≥0; ∴f ′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件.

③复合函数由同增异减的判定法则来判定. ④求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符号“∪” 和“或”连接,可用“和”连接,或用“, ”隔开.单调区间 必须是“区间”,而不能用集合或不等式代替.

1 [回扣问题 6] (1)函数 f(x)=x的单调减区间为________.
(2)已知函数 f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区 间上单调递增, 则满足
?1 2? A.?3,3? ? ? ?1 2? B.?3,3? ? ?
?1? f(2x-1)<f?3?的 ? ?

x 的取值范围是(
?1 2? D.?2,3? ? ?

)

?1 2? C.?2,3? ? ?

答案 (1)(-∞,0),(0,+∞) (2)D

7.求函数最值(值域)常用的方法:
(1)单调性法:适合于已知或能判断单调性的函数; (2)图象法:适合于已知或易作出图象的函数; (3)基本不等式法:特别适合于分式结构或两元的函数; (4)导数法:适合于可导函数;

(5)换元法(特别注意新元的范围);
(6)分离常数法:适合于一次分式; (7)有界函数法:适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式 子.无论用什么方法求最值,都要考查“等号”是否成立,特别 是基本不等式法,并且要优先考虑定义域.

[回扣问题 7]

2x 函数 y= x 的值域为________. 2 +1

答案 (0,1)

8.函数图象的几种常见变换 (1) 平移变换:左右平移 ——“左加右减”( 注意是针对 x 而言 ) ; 上下平移——“上加下减”. (2)翻折变换:f(x)→|f(x)|;f(x)→f(|x|). (3)对称变换:①证明函数图象的对称性,即证图象上任意点关

于对称中心(轴)的对称点仍在图象上;
②函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称; ③函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于直线x=0(y轴)对称;函数y =f(x)与函数y=-f(x)的图象关于直线y=0(x轴)对称.

3x-1 [回扣问题 8] (1)函数 y= 的图象关于点________对称. x+2

(2)函数f(x)=|lg x|的单调递减区间为________. 答案 (1)(-2,3) (2)(0,1)

9.二次函数问题 (1) 处理二次函数的问题勿忘数形结合 .二次函数在闭区间上必 有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向,二看对称 轴与所给区间的相对位置关系. (2)二次函数解析式的三种形式: ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); ②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0); ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (3) 一元二次方程实根分布:先观察二次项系数, Δ 与 0 的关系, 对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号,再根据上述特 征画出草图. 尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式, 要考虑到二次项系数可能为零的情形.

[回扣问题 9]

关于x 的方程 ax2 -x + 1=0至少有一个正根的充

要条件是________.

答案

? 1? ?-∞, ? 4? ?

10.指数与对数的运算性质:
(1)指数运算性质: aras=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr(a>0,b >0,r,s∈Q). (2)对数运算性质:已知 a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1,M>0, N>0,则 loga(MN)=logaM+logaN, M loga N =logaM-logaN,logaMn=nlogaM, logbN 对数换底公式:logaN= log a . b 1 n 推论:logamN =mlogaN;logab=log a. b
n

1 1 [回扣问题 10] 设 2 =5 =m,且a+b=2,则 m=(
a b

)

A. 10 C.20

B.10 D.100

答案 A

11.指数函数与对数函数的图象与性质:

可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑,特别注
意底数的取值对有关性质的影响,另外,指数函数y=ax的图象 恒过定点(0,1),对数函数y=logax的图象恒过定点(1,0). 1 1 - 11 [回扣问题 11] (1)已知 a=2 3,b=log23,c=log 3,则( ) 2
A.a>b>c C.c>b>a B.a>c>b D.c>a>b

(2)函数 y=loga|x|的增区间为________.

答案

(1)D

(2) 当 a > 1 时, (0 ,+∞) ;

当0<a<1时,(-∞,0)

12.函数与方程 (1)对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 事实上,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根.

(2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线,且
有 f(a)f(b) < 0 ,那么函数 y = f(x) 在区间 [a , b] 内有零点,即存 在c∈(a,b),使得f(c)=0,此时这个c就是方程f(x)=0的根; 反之不成立.
[回扣问题 12] 设函数 y=x 与
3

?1?x-2 y=?2? 的图象的交点为 ? ?

(x0,y0),则 x0 所在区间是( A.(0,1) B.(1,2)

) C.(2,3) D.(3,4)

答案 B

13.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处 的导数是曲线 y =f(x) 在P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率 f′(x0) ,相 应的切线方程是y-y0=f′(x0)(x-x0).

注意 过某点的切线不一定只有一条.
[回扣问题13] 已知函数f(x)=x3-3x,过点 P(2,-6) 作曲

线y=f(x)的切线,则此切线的方程是____________. 答案 3x+y=0或24x-y-54=0

14.常用的求导方法
(1)(xm)′=mxm-1,(sin x)′=cos x,(cos x)′=-sin x,(ex)′=ex, 1 ?1? 1 ? ? (ln x)′=x , x ′=-x2. ? ?
?u? u′v-uv′ ? ? (2)(u± v)′=u′±v′;(uv)′=u′v+uv′; v ′= (v≠0). 2 v ? ?

[回扣问题 14] 已知 f(x)=xln x,则 f′(x)=________;已知 f(x) ex = x ,则 f′(x)=________.

答案

ln x+1

ex(x-1) x2

15.利用导数判断函数的单调性:设函数y=f(x)在某个区间内可 导,如果f′(x)>0,那么f(x)在该区间内为增函数;如果 f′(x)<

0,那么f(x)在该区间内为减函数;如果在某个区间内恒有f′(x)
=0,那么f(x)在该区间内为常函数. 注意 如果已知f(x)为减函数求字母取值范围,那么不等式

f′(x)≤0恒成立,但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此.

[回扣问题15]

函数f(x)=x3+ax-2在区间(1,+∞)上是增 ) B.[-3,+∞)

函数,则实数a的取值范围是( A.[3,+∞)

C.(-3,+∞)
答案 B

D.(-∞,-3)

16. 导数为零的点并不一定是极值点,例如:函数 f(x) =x3 ,
有f ′(0)=0,但x=0不是极值点.

[回扣问题16] 函数f(x)=x3+3x2+3x-a的极值点的个
数是( A.2 C.0 答案 C ) B.1 D.由a确定


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