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函数的奇偶性质及其应用


函数的奇偶性质及其应用
云南昭通 昭翼高考补习学校 陈培泽 1.定义: 函数 y ? f ( x) 在其定义域 D 内满足: f (? x) ? f ( x) ,则称函数为偶函数, 函数 y ? f ( x) 在 其定义域 D 内满足: f (? x) ? ? f ( x) 则称函数为奇函数. 分析定义: (1)奇偶函数定义中的自变量 x 与-x 互为相反数,确定了奇,偶函数的定义域必然关于原点对 称. .(2) 奇函数满足: f (? x) ? ? f ( x) ,当 x ? 0 ? D 时,有 f (0) ? 0 ;偶函数在其定义域 D 内满 足: f (? x) ? f ( x) ,当 x ? D 时有 f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) . (3)由定义知道,奇函数图象关于原点对称;偶函数图象关于 y 轴对称,因此奇函数在对称区间 上有相同的单调性,若在区间 ( a, b) 有最大(最小)值 M,则在区间 (?b, ?a) 上有最小(最大)值 -M,最大值与最小值的和为 0; 偶函数在对称区间上有相反的单调性.若在区间 ( a, b) 有最大 (最小)值 M,则在区间 (?b, ?a) 上也有相等的最大(最小)值 M。 (4)若 y ? f ( x) 既是奇函数又是偶函数,,由定义有 f ( x) ? 0 ,由定义域 D 确定,它表示直线或 线段. (5) 若 y ? f ( x) 是 偶 函 数 , 且 图 象 又 关 于 x ? a (a ? 0) 对 称 , 则 有 f (? x) ? f ( x)和

f ( x) ? f (2a ? x) 同时成立,所以有 f ( x) ? f (2a ? x) ,故 y ? f ( x) 又是周期 T ? 2a 的周期
函数.推而广之:函数 y ? f ( x) 图象如果有两条对称轴 x ? a 和 x ? b (ab ? 0, a ? b) 则有

y ? f (2a ? x) 和 y ? f (2b ? x) ,所以有 f (2a ? x) ? f (2b ? x) ,即 f ( x) ? f (2b ? 2a ? x) ,
所以 y ? f ( x) 是周期 T ? 2 | b ? a | 的周期函数. (6) 若 y ? f ( x) 是 奇 函 数 , 图 象 又 关 于 x ? a (a ? 0) 对 称 , 则 有 f (? x) ? ? f ( x)和

f ( x) ? f (2a ? x) 同时成立,所以有 f (? x) ? ? f (2a ? x) , ? f ( x) ? ? f (2a ? x) ? f ( x) ? f (4a ? x) ,所以 y ? f ( x) 又是周期 T ? 4a 的周期函数.
(7)复合函数 y ? f ( x ? a) (a ? 0) 为偶函数,由定义有 f (? x ? a) ? f ( x ? a) ,容易看出函 数图象关于直线 x ? a 对称,令 t ? ? x ? a ;则 f (t ) ? f (2a ? t ) ? f (4a ? t ) ,所以 f ( x ) 是周
1

期 T ? 4 a 的周期函数. (8) 复 合 函 数 y ? f ( x ? a)

(a ? 0) 是 奇 函 数 , 由 定 义 有 f (? x ? a) ? ? f ( x ? a) , 令

t ? ? x ? a ,则有 f (t ) ? ? f (2a ? t ) ,所以 f (t ) ? f (4a ? t ) ,所以 f ( x) 是周期 T ? 4a 的周
期函数. 2.常用结论: (1) 任 意 定 义 域 关 于 原 点 对 称 的 函 数 y ? f ( x) 均 可 以 表 示 成 一 个 奇 函 数

g ( x) ?

f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) 和一个偶函数 h( x) ? 的和, 即: f ( x) ? g ( x) ? h( x) . 2 2

(2) 奇 ? 奇 ? 奇; 偶 ? 偶 ? 偶;; 奇 ? 奇 ? 偶 ; 偶 ? 偶=偶 ; 奇 ? 偶=奇 3.部分重要奇偶函数: (1)奇函数: f ( x) ? a x ? a? x ; f ( x) ?

a x ? a? x a x ? a? x a2x ?1 ; f ( x) ? x ; f ( x) ? 2 x a x ? a? x a ? a? x a ?1

f ( x) ? log a

1? x 2 ; f ( x) ? log a ( x ? x ? 1) (a ? 0, a ? 1) 1? x

(2)偶函数: f ( x) ? a x ? a? x (a ? 0, a ? 1) 4.奇偶函数定义的等价形式: 奇函数等价式: f (? x) ? f ( x) ? 0 ,

f (? x) ? ?1, ( f ( x) ? 0) . f ( x) f (? x) ? 1, ( f ( x) ? 0) ’ f ( x)

偶函数等价式: f (? x) ? f ( x) ? 0 ;

5.常见题型归类: <1>考察奇偶函数的定义域关于原点对称: 例题:(1)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx 是定义在 [a ? 1, 2a] 上的偶函数则 a ? b ?________ . (2)已知 f ( x) ? log2 ( x2 ? a ? b2 ) 是定义在 (b ? 3, a ? 2) 上的偶函数,图象过点 (1,3) 则函 数的定义域是 ________ ;解析式是 ________ . <2>考察函数的定义: 例题:(1)已知函数 f ( x ) ? lg(

2 ? a ) 是奇函数,则使 f ( x) ? 0 的 x 取值范围是: 1? x

A(?1, 0)

B( 0 , 1 )

C (?? , 0 )
x

D(??,0) U (1, ??)

(2) a ? R ,函数 f ( x) ? a ? <3>判断函数奇偶性:

2 是奇函数,则 a ?_______ . 2 ?1

2

例题:(1)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(

)

A. y ? x ? 1

2 B. y? ? x

C. y ?

1 x

D. y? x| x|
)

(2) 下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 单调递增的函数是(

A. y ? x3

B. y ?| x | ?1

C. y ? ? x2 ? 1

D. y ? 2?|x|

<4>求函数表达式: 例题:(1)已知 y ? f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时 f ( x) ? 2x2 ? x ,则 f ( x) ?_____________ . (2) 已知 y ? f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时 f ( x) ? e x ? x ,则 f ( x) ?_____________ . (3)(2011 年 全 国 卷 )设 f ( x ) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 , 当 0 ? x ? 1 时 f ( x) ? 2 x(1 ? x) , 则

5 f (? ) ? ___________________ 2
(4)(2011 年 湖 北 卷 ) 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x ) 和 偶 函 数 g ( x) 满 足

f ( x )? g x ? a x ? a? x ? ( )
A.2

a2?( 且 a ? 1) 若 g (2) ? a 则 f (2) ? ( 0
C. 17 4

)

B.

15 4

D.a 2

<5>简单求值计算
2 例题:(1)(2012 年上海卷)已知 y ? f ( x) ? x 是奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则

g (?1) ?________ .
(2) f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,若 g ( x) ? f ( x) ? 4 且 g (?3) ? 5 则 g (3) ?__________ ;若

h( x) ? f ( x) ? 2 在 (0, ??) 上有最大值 5,则 h( x) 在区间 (??, 0) 上的最小值是________.
(3)(2011 年广东卷)设函数 f ( x) ? x3 cos x ? 1 .若 f (a) ? 11 ,则 f (?a) ?______ . (4)设函数 f ( x) ?

( x ? 1)2 ? sin x 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m ? __________ . x2 ? 1
2 x ? sin x 2 x ? sin x ,设 h( x) ? ,则有 h(? x) ? ?h( x) ,是奇函数,设 2 x ?1 x2 ? 1

点评:运用“奇函数在定义域内最大值与最小值的和为 0。 ” 解: Q f ( x ) ? 1 ?

h( x)max ? N , h( x)min ? ? N , f ( x) ? 1 ? h( x),? M ? m ? [1 ? h( x)max ] ? [1 ? h( x)min ] ? 2 ?
练题: (1)设函数 f ( x) ? 1007 ? e ? e 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m ? __________ .
x ?x

3

( 2 ) 设 函 数 f ( x) ? log 2 M+m ? __________ . <6>图象类题型:

1? x ? | x | sin x ? 1007 的 最 大 值 为 M, 最 小 值 为 m, 则 1? x

例题:(1)函数 f ( x) ?| x3 ? 1| ? | x3 ?1| 则下列坐标表示的点一定在函数 f ( x ) 图象上的是 ( )

A.(?a, ? f (a))

B. (a , f ? a ) ) (

C. (a ? f (a ) ) ,

D.(?a, ? f (?a))

(2)(2010 年重庆卷)函数 f ( x) ? A.关于原点对称

4x ? 1 的图象( 2x

) D.关于 y 轴对称

B.关于 y ? x 对称

C.关于 x 轴对称

(3) (2013 年云师大附中)已知:定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且在区间 [0, 2]上是增函数,若方程 f ( x) ? m( m? 0) 在区间 [?8,8] 上有四个不同的根

x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ?_________
<7>不等式类型:
3 例题:(1)设函数 f ( x) ? x ? sin x ,若当 0 ? ? ?

?
2

时, f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 成立,则实

数 m 的取值范围是(

)

A.(0,1)

B. ( , 0 ) ??

1 C.( ??, ) 2

D. ( , 1 ) ??

(2)偶函数 f ( x ) 在区间 [0, ??] 上是递增函数,则满足: f (2x ? 2) ? f ( 2) 的实数 x 的取 值范围是 _____________ 。
2 (3)定义在 [?1,1] 上的奇函数 f ( x ) 又是减函数,且 f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0 则实数 a 的取值

范围是 _____________ 。 (8)复合函数类型: 例题:(1)(2013 年安庆一摸) 函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数则( A. f ( x ) 是偶函数 B. f ( x ) 是奇函数 C. f ( x) ? f ( x ? 2) ) D. f ( x ? 3) 是奇函数

解: f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数, f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,f (-x ? 1) ? ? f ( x ? 1) , 因 ?

? 函数 f ( x) 关于点 (?1, 0) 和点 (1, 0) 对称,? 周期 T=4,? f ( x ? 1 ? 4) ? ? f (? x ? 1 ? 4)
4

? f (? x ? 3) ? ? f ( x ? 3) ,? 选 D。
(2) (2011 年金华联考) 已知函数 f ( x ? 1) 为奇函数,函数 f ( x ? 3) 为偶函数, f (0) ? 1 ,则 f (8) ?___________ 解: Q f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) 和 f (? x ? 3) ? f ( x ? 3) 同时成立,

? f (8) ? f (5 ? 3) ? f (?5 ? 3) ? f (?2) ? f (?1 ?1) ? ? f (0) ? ?1 。
(3) (2013 银川质检)已知定义在 R 上的偶函数满足: f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (2) 且当 x ? [0, 2] 时, y ? f ( x) 单调递减,給出四个命题: <1> f (2) ? 0 ; <2> x ? ?4 为函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴;<3>函数 y ? f ( x)

在 [8,10] 上单调递减:<4>若方程 f ( x) ? m 在 [?6, ?2] 上的两根为 x1 , x2 则 x1 ? x2 ? ?8 。 以上真命题的序号是 ___________ 。 解:令 x ? ?2 ,得 f (2) ? f (? 2) ? f (2),? f (?2) ? 0 ,又因函数 f ( x ) 是偶函数,故

f (2) ? 0,<1>成立;根据 f (2) ? 0 ,可得: f ( x ? 4) ? f ( x) ,?T ? 4 ,偶函数关于 y
轴对称,故 x ? ?4 也是图象对称轴,<2>成立;由周期性<3>不成立;如果方程 f ( x) ? m 在 区间 [?6, ?2] 上两根为 x1 , x2 ,则 号是<1>,<2>,<4>. (4)已知 f ( x ) 是 R 上的偶函数,若将图象向左平移 1 个单位后,得到一个奇函数的图象, 若 f (2) ? 2014 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (2014) ?_________ 。 解: Q f (? x) ? f ( x) ,又 Q f ( x ? 1) 为奇函数? f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1), 令 ? x ? 1 ? t ,

x1 ? x2 ? ?4 ? x1 ? x2 ? ?8 ,<4>成立。所以真命题的序 2

? f (t ) ? ? f (2 ? t ) ? f (4 ? t ) ,?T ? 4 .由 f (t ) ? ? f (2 ? t ) ,令 t ? 1? f (1) ? 0 ,又

Q f (3) ? f (3 ? 4) ? f (?1) ? f (1) ? 0 , f (4) ? ? f (2 ? 4) ? ? f (?2) ? ? f (2) ? ?2014 .
? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 0 , ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (2014) ? 503 ? 0 + f (1) ? f (2) ? 2014 .
(5) (2013 年,云师大附中四卷) 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,满足 f ( x ? 4)) ? ? f ( x) ,且在区间 [0, 2] 上是增函数,
5

若 方 程 f ( x)? m, (m ?

在 0 ) 区 间 [? 8 , 8上 有 四 个 不 同 的 根 , x1 , x2 , x3 , x4 , 则 ]

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ?___________________ .
解 :

Q
x) ?

f( ?f(

x) ?

?

f ( ?x 4 ?)

f, ( x f ( x) ?)f ( x ? 8) ?T ? 8 ?? 8





Q f (?

x) ? ,f ( f ?x ) ? f (?4 ? x) ,? 对称轴为 x ? ?2 ,设: ? (x 4 )

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,? x1 ? x4 ? x2 ? x3 ? 2 ? (?2) ? ?4 ,? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?8 .
(6)已知函数 f ( x ) 图象向左平移 1 个单位后,图象关于 y 轴对称,当 1 ? x1 ? x2 时,有:

1 [ f ( x2 ) ? f ( x1 )]( x2 ? x1 ) ? 0 成立,设 a ? f (? ) , b ? f (2) , c ? f (3) ,则有( 2 A.a ? b ? c B. c? b a ? C. c? a b ? D.b ? a ? c



解: Q f ( x) 图象向左平移 1 个单位后 f ( x ? 1) 为偶函数, ? f (? x ? 1) ? f ( x ? 1) ,令

? x ? 1 ? t ? x ? 1 ? t ,? f (t ) ? f (2 ? t ) ,? f ( x) ? f (2 ? x) ,? f ( x) 图象关于 x ? 1 对
称,又 1 ? x1 ? x2 时有: [ f ( x2 ) ? f ( x1 )]( x2 ? x1 ) ? 0 ,? f ( x ) 图象在区间 (1, ??) 上递减; 在 (??,1) 上递增,又 a ? f (? ) ? f (2 ? ) ? f ( ) ,? f (2) ? f ( ) ? f (3) ,选 C.

1 2

1 2

5 2

5 2

6


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